數(shù)學(xué)排列組合公式.doc
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公式P是指排列,從N個元素取R個進(jìn)行排列。 公式C是指組合,從N個元素取R個,不進(jìn)行排列。 N-元素的總個數(shù) R參與選擇的元素個數(shù) !-階乘 ,如????9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1 從N倒數(shù)r個,表達(dá)式應(yīng)該為n*(n-1)*(n-2)..(n-r+1); ??????????????? 因為從n到(n-r+1)個數(shù)為n-(n-r+1)=r 舉例: Q1:????有從1到9共計9個號碼球,請問,可以組成多少個三位數(shù)? A1:???? 123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的,既屬于“排列P”計算范疇。 ?????? 上問題中,任何一個號碼只能用一次,顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合, 我們可以這么看,百位數(shù)有9種可能,十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能,個位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能,最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式=P(3,9)=9*8*7,(從9倒數(shù)3個的乘積) Q2:??? 有從1到9共計9個號碼球,請問,如果三個一組,代表“三國聯(lián)盟”,可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”? A2:???? 213組合和312組合,代表同一個組合,只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的,屬于“組合C”計算范疇。 ??????? 上問題中,將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C(3,9)=9*8*7/3*2*1 排列、組合的概念和公式典型例題分析 例1 設(shè)有3名學(xué)生和4個課外小組.(1)每名學(xué)生都只參加一個課外小組;(2)每名學(xué)生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加.各有多少種不同方法? ???? 解(1)由于每名學(xué)生都可以參加4個課外小組中的任何一個,而不限制每個課外小組的人數(shù),因此共有 種不同方法. ???? ?。?)由于每名學(xué)生都只參加一個課外小組,而且每個小組至多有一名學(xué)生參加,因此共有 種不同方法. 點評?? 由于要讓3名學(xué)生逐個選擇課外小組,故兩問都用乘法原理進(jìn)行計算. ????例2 排成一行,其中 不排第一, 不排第二, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少種? 解?? 依題意,符合要求的排法可分為第一個排 、 、 中的某一個,共3類,每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出: ∴ 符合題意的不同排法共有9種. 點評?? 按照分“類”的思路,本題應(yīng)用了加法原理.為把握不同排法的規(guī)律,“樹圖”是一種具有直觀形象的有效做法,也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學(xué)模型. 例3 判斷下列問題是排列問題還是組合問題?并計算出結(jié)果. ?。?)高三年級學(xué)生會有11人:①每兩人互通一封信,共通了多少封信?②每兩人互握了一次手,共握了多少次手? (2)高二年級數(shù)學(xué)課外小組共10人:①從中選一名正組長和一名副組長,共有多少種不同的選法?②從中選2名參加省數(shù)學(xué)競賽,有多少種不同的選法? ?。?)有2,3,5,7,11,13,17,19八個質(zhì)數(shù):①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商?②從中任取兩個求它的積,可以得到多少個不同的積? ?。?)有8盆花:①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆,有多少種不同的選法?②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法? 分析?。?)①由于每人互通一封信,甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信,所以與順序有關(guān)是排列;②由于每兩人互握一次手,甲與乙握手,乙與甲握手是同一次握手,與順序無關(guān),所以是組合問題.其他類似分析. ?。?)①是排列問題,共用了 封信;②是組合問題,共需握手 (次). ?。?)①是排列問題,共有 (種)不同的選法;②是組合問題,共有 種不同的選法. ?。?)①是排列問題,共有 種不同的商;②是組合問題,共有 種不同的積. ?。?)①是排列問題,共有 種不同的選法;②是組合問題,共有 種不同的選法. 例4 證明 . 證明 左式 右式. ∴ 等式成立. 點評 這是一個排列數(shù)等式的證明問題,選用階乘之商的形式,并利用階乘的性質(zhì) ,可使變形過程得以簡化. 例5 化簡 . 解法一 原式 解法二 原式 點評?? 解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式,并利用階乘的性質(zhì);解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì),都使變形過程得以簡化. 例6 解方程:(1) ;(2) . 解 (1)原方程 解得 . (2)原方程可變?yōu)? ∵ , , ∴ 原方程可化為 . 即 ,解得 第六章??排列組合、二項式定理 一、考綱要求 1.掌握加法原理及乘法原理,并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題. 2.理解排列、組合的意義,掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì),并能用它們解決一些簡單的問題. 3.掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì),并能用它們計算和論證一些簡單問題. 二、知識結(jié)構(gòu) 三、知識點、能力點提示 (一)加法原理乘法原理 說明??加法原理、乘法原理是學(xué)習(xí)排列組合的基礎(chǔ),掌握此兩原理為處理排 列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù). 例1??5位高中畢業(yè)生,準(zhǔn)備報考3所高等院校,每人報且只報一所,不同的報名方法共有多少種? 解:??5個學(xué)生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名,因而每個學(xué)生都有3種不同的 報名方法,根據(jù)乘法原理,得到不同報名方法總共有 3×3×3×3×3=35(種) (二)排列、排列數(shù)公式 說明??排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題,在中學(xué)代數(shù)中較為獨特,它研 究的對象以及研 究問題的方法都和前面掌握的知識不同,內(nèi)容抽象,解題方法比較靈活,歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題,都是選擇題或填空題考查. 例2??由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中小于50 000的 偶數(shù)共有(????) A.60個????????B.48個????????C.36個????????D.24個 解??因為要求是偶數(shù),個位數(shù)只能是2或4的排法有P12;小于50 000的五位數(shù),萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有P13;在首末兩位數(shù)排定后,中間3個位數(shù)的排法有P33,得P13P33P12=36(個) 由此可知此題應(yīng)選C. 例3??將數(shù)字1、2、3、4填入標(biāo)號為1、2、3、4的四個方格里,每格填一個數(shù)字,則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種? 解:??將數(shù)字1填入第2方格,則每個方格的標(biāo)號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種,即214 3,3142,4123;同樣將數(shù)字1填入第3方格,也對應(yīng)著3種填法;將數(shù)字1填入第4方格,也對應(yīng)3種填法,因此共有填法為 3P13=9(種).- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 數(shù)學(xué) 排列組合 公式
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