排列組合與概率.doc
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億庫教育網(wǎng) http://www.eku.cc 百萬教學資源免費下載 專題三： 排列、組合及二項式定理 一、排列、組合與二項式定理 【基礎(chǔ)知識】 1.分類計數(shù)原理（加法原理）. 2.分步計數(shù)原理（乘法原理）. 3.排列數(shù)公式 ==.(n，m∈N*，且m≤n)． 4.組合數(shù)公式 ===(n，m∈N*，且m≤n). 5.組合數(shù)的兩個性質(zhì)： (1) = ; (2) += （3）. 6.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是： . 7.二項式定理： ; 二項展開式的通項公式：. 【題例分析】 例1、從6名短跑運動員中選4人參加4×100米接力，如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，問共有多少種參賽方法？ 解法：問題分成三類：（1）甲乙二人均不參加，有種；（2）甲、乙二人有且僅有1人參加，有2（－）種；（3）甲、乙二人均參加，有（－2＋）種，故共有252種． 點評：對于帶有限制條件的排列、組合綜合題，一般用分類討論或間接法兩種． 例2: 有5個男生和3個女生，從中選取5人擔任5門不同學科的科代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)： (1)有女生但人數(shù)必須少于男生． (2)某女生一定要擔任語文科代表． (3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔任數(shù)學科代表． (4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數(shù)學科代表． 解：(1)先取后排,有種,后排有種,共有＝5400種． (2)除去該女生后先取后排：種． (3)先取后排,但先安排該男生：種． (4)先從除去該男生該女生的6人中選3人有種,再安排該男生有種,其余3人全排有種,共=360種． 例3、、有6本不同的書 （1）甲、乙、丙3人每人2本，有多少種不同的分法？ （2）分成3堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？ （3）分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？ （4）分給甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少不同的分配方法？ （5）分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少種不同的分堆方法？ （6）擺在3層書架上，每層2本，有多少種不同的擺法？ 解：（1）在6本書中，先取2本給甲，再從剩下的4本書中取2本給乙，最后2本給丙，共有（種）。 （2）6本書平均分成3堆，用上述方法重復了倍，故共有（種）。 （3）從6本書中，先取1本做1堆，再在剩下的5本中取2本做一堆，最后3本做一堆，共有（種） （4）在（3）的分堆中，甲、乙、丙3人任取一堆，故共有（種）。 （5）平均分堆要除以堆數(shù)的全排列數(shù)，不平均分堆則不除，故共有（種）。 （6）本題即為6本書放在6個位置上，共有（種）。 例4、如果在 的展開式中，前三項的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有理項。 解：展開式中前三項的系數(shù)分別為1， ，， 由題意得：2×=1+得=8。 設(shè)第r+1項為有理項，，則r是4的倍數(shù)，所以r=0，4，8。 有理項為。 【鞏固訓練】 一.選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi). 1、設(shè)k=1，2，3，4，5，則（x+2）5的展開式中xk的系數(shù)不可能是 A 10 B 40 C 50 D 80. 2、某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分.一球隊打完15場，積33分.若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況共有 A 3種 B 4種 C 5種 D 6種. 二.填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上. 3、將標號為1，2，…，10的10個球放入標號為1，2，…，10的10個盒子內(nèi)，每個盒內(nèi)放一個球，則恰好有3個球的標號與其所在盒子的標號不一致的放入方法共有 種.（以數(shù)字作答） 4、設(shè) 則― 三.解答題：(解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟) 5、（1）10個優(yōu)秀指標分配給6個班級，每班至少一個，共有多少種不同的分配方法？ （2）10個優(yōu)秀名額分配到一、二、三3個班，若名額數(shù)不少于班級序號數(shù)，共有多少種不同的分配方法？ 6、若=，求（1）―的值。（2）的值。 二、等可能事件的概率 【基礎(chǔ)知識】 等可能性事件的概率. 【題例分析】 例1、 某班有學生36人，血型分別為A型12人,B型10人,AB型8人,O型6人，現(xiàn)從中抽出2人，求這兩人血型不相同的概率. 解:P(兩人血型相同)＝P(兩人血型均為A型)＋P(兩人血型均為B型)＋P(兩人血型均為AB型)＋P(兩人血型均為O型)＝. 所以，P(兩人血型不同)＝1－. 點撥:從四種血型中抽出2種有C24＝6種，依次分類則情形較復雜，所以本題用間接法較簡便. 例2、從男、女學生共有36名的班級中,任意選出兩名委員,任何人都有同樣的機會當選,如果選得同性委員的概率等于，求男、女相差幾名？ 解：設(shè)男生有x名，則女生有36－x名，選得2名委員都是男性的概率為＝.選得兩名委員都是女性的概率為＝. 以上兩種選法是互斥的，所以選得兩名委員是同性委員的概率等于其概率和. 依題意＋＝.解得x＝15或x＝21. 即該班男生有15名，女生有36－15＝21人或者男生有21人，女生有36－21＝15人，總之，男女相差6名. 例3、在袋中裝30個小球，其中彩球有n個紅色，5個藍色,10個黃色，其余為白色，求： (1)如果已經(jīng)從中取定了5個黃球和3個藍球，并將它們編上了不同的號碼后排成一排，那么使藍色小球不相鄰的排法有多少種？ (2)如果從袋中取出3個都是顏色相同的彩球（不含白色）的概率是，且n≥2，計算紅球有幾個？ (3)根據(jù)(2)的結(jié)論，計算從袋中任取3個小球至少有一個紅球的概率？ 解：(1)將5個黃球排成一排共有A55種排法，將3個藍球放在5個黃球所形成的6個空位上，有A36種排法.∴所求的排法為A55·A36＝14400（種）. （2）取3個球的種數(shù)為C330＝4060，設(shè)“3個球全是紅色”為事件A，“3個球全是藍色”為事件B.“3個球都是黃色”為事件C，則P(B)＝，P(C)＝. ∵A、B、C彼此互斥，∴P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)， 即＝P(A)＋.∴P(A)＝0，即取3個球，是紅球的個數(shù)小于或等于2. 又∵n≥2，故n＝2. （3）記“3個球至少有一個是紅球”為事件D，則為“3個球中沒有紅球”，則 P(D)＝1－P()＝1－＝. 例4、一種電器控制器在出廠時每四件一等品裝成一箱，工人在裝箱時不小心把兩件二等品和兩件一等品裝入一箱，為了找出該箱中的二等品，我們把該箱中產(chǎn)品逐一取出進行測試. （1）求前兩次取出都是二等品的概率； （2）求第二次取出的是二等品的概率； 解：（1）四件產(chǎn)品逐一取出方式共有A種不同方式. 前兩次取出都是二等品的方式共有A·A種不同方式. 所以前兩次取出都是二等品的概率為： （2）第二次取出是二等品共有：， 所以第二次取出是二等品的概率是： 【鞏固訓練】 一.選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi). 1、數(shù)字1，2，3，4，5，中，隨機抽取3個數(shù)字（允許重復）組成一個三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為（ ） 2、將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標有點數(shù)1，2，3，4，5，6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點向上和概率是 (A) (B) (C) (D) 二.填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上. 3、袋內(nèi)裝有10個相同的球，其中5個球標有數(shù)字0，5個球標有數(shù)字1，若從袋中摸出5個球，那么摸出的5個球所標數(shù)字之和小于2或大于3的概率是 . 4、一次二期課改經(jīng)驗交流會打算交流試點學校的論文5篇和非試點學校的論文3篇。若任意排列交流次序，則最先和最后交流的論文都為試點學校的概率是__________ 三.解答題：(解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟) 5、8支球隊中有3支弱隊，以抽簽的方式將這8支球隊分為A、B兩組，每組4支，求： (1)A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊的概率； (2)A組中至少有兩支弱隊的概率． 6、有一個表面都涂有紅顏色的正方體，被均勻地鋸成了1000個小正方體,將這些正方體混合后，放入一個口袋內(nèi). (1)從該袋中任抽取一個正方體，恰有兩個面涂有紅色的概率是多少? (2)從袋中任取兩個正方體，其中至少有一個面上有紅色的概率是多少? 三、互斥事件的概率 【基礎(chǔ)知識】 1、 (1)互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件. (2)對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件. 2.重點公式 (1)如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生（即A、B中有一個發(fā)生）的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率和，即P（A+B）=P（A）+P（B），推廣:P（A1+A2+…+An）=P（A1）+P（A2）+…+P（An）. (2)對立事件的概率和等于1. P(P)+P()=P（A+）=1. 【題例分析】 例1、甲、乙二人參加普法知識競賽，共有10個不同的題目，其中選擇題6個，判斷題4個.甲、乙二人各抽一題： （1）求甲抽到選擇題，乙抽到判斷題的概率； （2）求甲、乙兩人中至少一人抽到選擇題的概率. 解：（1）甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的可能結(jié)果有C·C個，又甲、乙依次抽到一題的可能結(jié)果有CC個，所以，所求概率為：=. （2）甲、乙二人依次都抽到判斷題的概率為，故甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率為:1-=1-=1-=. 例2、某射手在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0.28，命中8環(huán)的概率是0.19，不夠8環(huán)的概率是0.29.計算這個射手在一次射擊中命中9環(huán)或10環(huán)的概率. 解：設(shè)這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)為事件A，命中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)以及不夠8環(huán)的事件分別記為A1、A2、A3、A4. ∵A2、A3、A4彼此互斥， ∴P（A2+A3+A4）=P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.28+0.19+0.29=0.76. 又∵A1=，∴P(A1)=1-P（A2+A3+A4）=1-0.76=0.24. ∵A1與A2互斥， ∴P（A）＝P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=0.24+0.28＝0.52. 故這個射手在一次射擊中命中10環(huán)或9環(huán)的概率為0.52. 例3、袋中放有3個伍分硬幣，3個貳分硬幣和4個壹分硬幣，從中任取3個，求總值超過8分的概率. 解：記“總值超過8分”為事件A，它應(yīng)有四種情況： （1）“取到3個伍分硬幣”為事件A1； （2）“取到2個伍分和一個貳分硬幣”為事件A2； （3）“取到2個伍分和一個壹分硬幣”為事件A3； （4）“取到一個伍分硬幣和2個貳分硬幣”為事件A4. 則P(A1)==. P(A2)==. P(A3)==. P(A4)==. 依題意，A1、A2、A3、A4彼此互斥， ∴P(A)=P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)= 例4、經(jīng)統(tǒng)計，某大型商場一個結(jié)算窗口每天排隊結(jié)算的人數(shù)及相應(yīng)的概率如下： 排隊人數(shù) 0—5 6—10 11—15 16—20 21—25 25人以上 概 率 0.1 0.15 0.25 0.25 0.2 0.05 （I）每天不超過20人排隊結(jié)算的概率是多少？ （Ⅱ）一周7天中，若有3天以上（含3天）出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率大于0.75，商場就需要增加結(jié)算窗口，請問該商場是否需要增加結(jié)算窗口？ 解：（I）每天不超過20人排隊結(jié)算的概率為：P=0.1+0.15+0.25+0.25=0.75，即不超過20人排隊結(jié)算的概率是0.75. （Ⅱ）每天超過15人排隊結(jié)算的概率為：0.25+0.2+0.05=， 一周7天中，沒有出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為； 一周7天中，有一天出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為； 一周7天中，有二天出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為； 所以有3天或3天以上出現(xiàn)超過15人排隊結(jié)算的概率為： ， 所以，該商場需要增加結(jié)算窗口. 【鞏固訓練】 一.選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi). 1、如果A、B兩個事件互斥，那么（ ?。? A.A+B是必然事件 B.+是必然事件 C.與一定互斥 D.與一定不互斥 2、在第3、6、16路公共汽車的一個?？空?，假定這個車站只能停靠一輛汽車，有一位乘客需5分鐘之內(nèi)趕到廠里，他可乘3路或6路車到廠里，已知3路車，6路車在5分鐘內(nèi)到此車站的概率分別為0.2和0.6，則此乘客在5分鐘內(nèi)能乘到所需車的概率為（ ） A.0.2 B.0.6 C.0.8 D.0.12 二.填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上. 3、甲、乙兩人下成和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿開______. 4、有兩個口袋，甲袋中有3只白球，7只紅球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只紅球，9只黑球，現(xiàn)從兩袋中各取一只球,則兩球顏色相同的概率為_______. 三.解答題：(解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟) 5、已知袋中裝有紅色球3個、藍色球2個、黃色球1個,從中任取一球確定顏色后再放回袋中，取到紅色球后就結(jié)束選取，最多可以取三次，求在三次選取中恰好兩次取到藍色球的概率. 6、擲兩個骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為4點或5點或偶數(shù)點的概率是多少？ 四、獨立事件的概率 【基礎(chǔ)知識】 1.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率P(A·B)= P(A)·P(B). 2.n個獨立事件同時發(fā)生的概率 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 3.（不要求記憶）n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率 【題例分析】 例1、某產(chǎn)品檢驗員檢查每一件產(chǎn)品時，將正品錯誤地鑒定為次品的概率為0.1，將次口錯誤地鑒定為正品的概率為0.2，如果這位檢驗員要鑒定4件產(chǎn)品，這4件產(chǎn)品中3件是正品，1件是次品，試求檢驗員鑒定成正品，次品各2件的概率. 解：有兩種可能：將原1件次品仍鑒定為次品，原3件正品中1件錯誤地鑒定為次品;將原1件次品錯誤地鑒定為正品，原3件正品中的2件錯誤地鑒定為次品. 概率為 P＝＝0.1998 例2、已知兩名射擊運動員的射擊水平，讓他們各向目標靶射擊10次，其中甲擊中目標7次，乙擊中目標6次，若在讓甲、乙兩人各自向目標靶射擊3次中，求：（1）甲運動員恰好擊中目標2次的概率是多少？（2）兩名運動員都恰好擊中目標2次的概率是多少？（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字） 解. 甲運動員向目標靶射擊1次，擊中目標的概率為7/10=0.7 乙運動員向目標靶射擊1次，擊中目標的概率為6/10=0.6 (1)甲運動員向目標靶射擊3次，恰好都擊中目標2次的概率是 (2)乙運動員各向目標靶射擊3次，恰好都擊中目標2次的概率是 例3、冰箱中放有甲、乙兩種飲料各5瓶，每次飲用時從中任意取1瓶甲種或乙種飲料，取用甲種或乙種飲料的概率相等. （Ⅰ）求甲種飲料飲用完畢而乙種飲料還剩下3瓶的概率； （Ⅱ）求甲種飲料被飲用瓶數(shù)比乙種飲料被飲用瓶數(shù)至少多4瓶的概率. 解：（I）. （II）P6(5)+P5(5)+P4(4) =C65P5(1－P)+C55P5+C44P4= 例4、有一批產(chǎn)品出廠前要進行五項指標檢驗，如果有兩項指標不合格，則這批食品不能出廠，已知每項指標抽檢是相互獨立的，每項指標抽檢出現(xiàn)不合格品的概率都是。 （１）求這批產(chǎn)品不能出廠的概率（保留三位有效數(shù)學） （２）求直至五項指標全部檢驗完畢，才能確定該批產(chǎn)品是否出廠的概率（保留三位有效數(shù)學） 解答： （1）這批產(chǎn)品不能出廠的概率是： 五項指標全部檢驗完畢，這批食品可以出廠的概率是： 五項指標全部檢驗完畢，這批食品不能出廠的概率是： 由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法可知：五項指標全部檢驗完畢才能確定這批產(chǎn)品是否可以出廠的概率是 【鞏固訓練】 一.選擇題：每小題給出的四個選項中只有一項是符合題目要求的，把它選出填在題后的括號內(nèi). 1. 一臺X型號自動機床在一小時內(nèi)不需要工人照看的概率為0.8000,有四臺這中型號的自動機床各自獨立工作,則在一小時內(nèi)至多2臺機床需要工人照看的概率是 ( ) （A）0.1536 （B） 0.1808 （C） 0.5632 （D） 0.9728 2、種植兩株不同的花卉，它們的存活率分別為p和q，則恰有一株存活的概率為 ( ) (A) p+q－2p q (B) p+q－pq (C) p+q (D) pq 二.填空題：把正確答案填寫在題中的橫線上. 3、某射手射擊1次，擊中目標的概率是0.9.他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響.有下列結(jié)論： ①他第3次擊中目標的概率是0.9； ②他恰好擊中目標3次的概率是0.93×0.1； ③他至少擊中目標1次的概率是1-0.14. 其中正確結(jié)論的序號是 （寫出所有正確結(jié)論的序號） 4、某健美中心對第一期60人進行減肥訓練，結(jié)果40人達到減肥標準目的，按此比率，現(xiàn)有5人參加第二期該訓練，求：至少有4人沒有達到減肥目的的概率. 。 三.解答題：(解答應(yīng)寫文字說明，證明過程或演算步驟) 5、 已知甲、乙兩人投籃的命中率分別為0.4和0.6．現(xiàn)讓每人各投兩次，試分別求下列事件的概率：（Ⅰ）兩人都投進兩球；（Ⅱ）兩人至少投進三個球. 6、設(shè)每門高射炮命中飛機的概率為0.6，試求： （1）兩門高射炮同時射擊一發(fā)炮彈而命中飛機的概率； （2）若今有一飛機來犯，問需要多少門高射炮射擊，才能以至少99％的概率命中它？ 五、概率與期望 【基礎(chǔ)知識】 1、離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)： （1）;（2）. 2、數(shù)學期望 3、數(shù)學期望的性質(zhì)： （1）E（aξ+b）=aE(ξ)+b；（2）若ξ～B（n，p），則Eξ=np.（二項分布） （3）若ξ服從幾何分布，且P（ξ=k）=g(k,p), Eξ=1/p. 4、方差: 5、標準差:=. 6、方差的性質(zhì): (1) （2）ξ～B（n，p），則Dξ=np（1-p）. (3) 若ξ服從幾何分布，且P（ξ=k）=g(k,p), Dξ=q/p2. 7、 抽樣方法 (1)簡單隨機抽樣：概率 其中n為樣本容量， N為個體總數(shù) (2)分層抽樣： 其中n為樣本容量， N為個體總數(shù) n1為分層樣本容量， N1為分層個體總數(shù) 【題例分析】 例1：甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格. （Ⅰ）求甲答對試題數(shù)ξ的概率分布及數(shù)學期望； （Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率. 解：（Ⅰ）依題意，甲答對試題數(shù)ξ的概率分布如下： 甲答對試題數(shù)ξ的數(shù)學期望 （Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則 因為事件A、B相互獨立， ∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為 ∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為 答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為. 例2. 某射擊運動員每次射擊擊中目標的概率為p（0下載提示(請認真閱讀)
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