2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.6兩角和與差的正弦余弦正切(第一課時) 大綱人教版必修.doc
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2019-2020年高一數(shù)學(xué) 4.6兩角和與差的正弦余弦正切(第一課時) 大綱人教版必修 ●教學(xué)目標(biāo) (一)知識目標(biāo) 1.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式; 2.兩角和的余弦公式. (二)能力目標(biāo) 1.掌握平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式和兩角和的余弦公式; 2.能用以上公式進(jìn)行簡單的求值. (三)德育目標(biāo) 1.培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識; 2.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì). ●教學(xué)重點(diǎn) 余弦的和角公式及簡單應(yīng)用 ●教學(xué)難點(diǎn) 余弦的和角公式的推導(dǎo) ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式 1.引導(dǎo)學(xué)生建立一直角坐標(biāo)系xOy,同時在這一坐標(biāo)系內(nèi)作單位圓O,并作出角α、β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點(diǎn)P1,終邊交⊙O于點(diǎn)P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于P3,角-β的始邊為OP1,終邊交⊙O于點(diǎn)P4.并引導(dǎo)學(xué)生用α、β、-β的三角函數(shù)標(biāo)出點(diǎn)P1、P2、P3、P4的坐標(biāo).(這一過程也可用多媒體課件處理,讓學(xué)生仔細(xì)觀察作圖過程,并加以領(lǐng)會.)并充分利用單位圓、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式,使學(xué)生弄懂由距離等式|P1P3|=|P2P4|化得的三角恒等式,并整理成為余弦的和角公式,從而克服本節(jié)課的重點(diǎn). 2.強(qiáng)調(diào)兩角和的三角函數(shù)的意義,例如cos (α+β)是兩角α與β的和的余弦,它表示角α+β終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比.在一般情況下,cos (α+β)≠cos α+cos β,并變換α、β的取值,以突出本節(jié)課的重點(diǎn). ●教具準(zhǔn)備 多媒體課件 第一張:(§4.6.1 A) 第二張:(§4.6.1 B) 第三張:(§4.6.1 C) 練習(xí)題: 1.求下列三角函數(shù)值 ①cos (45°+30°) ②cos 105° 2.若cos αcos β=-,cos(α+β)=-1,求sinαsinβ. 3.求cos 23°cos 22°-sin23°sin22°的值. 4.若點(diǎn)P(-3,4)在角α終邊上,點(diǎn)Q(-1,-2)在角β的終邊上,求cos (α+β)的值. ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 [師]在這一章的第一部分咱們共同學(xué)習(xí)了任意角的三角函數(shù),在研究三角函數(shù)時,我們還常常會遇到這樣的問題:已知任意角α、β的三角函數(shù)值,如何求α+β、α-β或2α的三角函數(shù)值?即:α+β、α-β或2α的三角函數(shù)值與α、β的三角函數(shù)值有什么關(guān)系? Ⅱ.講授新課 (打出課件§4.6.1 A,讓同學(xué)觀察) [師]我們在初中已經(jīng)求過數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離,下面請同學(xué)們回憶兩點(diǎn)間(數(shù)軸上)的距離是如何求得的? (學(xué)生作答,老師板書) [生](口答)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離就等于這兩點(diǎn)所表示的兩個數(shù)的差的絕對值. [師](板書) |AB|=|x2-x1| [師]那么,我們是否可以用點(diǎn)的坐標(biāo)來求平面內(nèi)任意兩點(diǎn)之間的距離呢?下面我們一起來看幻燈片. (結(jié)合圖形講解并推導(dǎo)出平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式). [師]在這個坐標(biāo)平面內(nèi)有兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),不妨從點(diǎn)P1,P2分別作x軸的垂線P1M1、P2M2,與x軸交于點(diǎn)M1(x1,0),M2(x2,0);再從點(diǎn)P1,P2分別作y軸的垂線P1N1,P2N2,與y軸交于點(diǎn)N1(0,y1),N2(0,y2).直線P1N1與P2M2相交于點(diǎn)Q,那么: |P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|, |QP2|=|N1N2|=|y2-y1|. 于是由勾股定理,可得 |P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2 =|x2-x1|2+|y2-y1|2 =(x2-x1)2+(y2-y1)2 由此可得平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離公式: |P1P2|= [師]用此公式可將坐標(biāo)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離用其坐標(biāo)求得. 例如:平面內(nèi)A(2,1),B(3,5) 則:|AB|= (利用兩點(diǎn)間的距離公式,推導(dǎo)兩角和的余弦公式) [師]接下來,我們繼續(xù)考慮如何運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式,把兩角和的余弦cos (α+β)用α,β的三角函數(shù)來表示的問題. 首先,我們來回憶一下三角函數(shù)的定義. [生](口答)設(shè)α是一個任意角,α的終邊上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),它到原點(diǎn)的距離是r(r=>0),那么: sinα=;cos α=;tanα=. (打出課件§4.6.1 B,結(jié)合圖形講解并推導(dǎo)出兩角和的余弦公式) [師]在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,并作出角α,β與-β,使角α的始邊為Ox,交⊙O于點(diǎn)P1,終邊交⊙O于點(diǎn)P2;角β的始邊為OP2,終邊交⊙O于點(diǎn)P3;角-β的始邊為OP1,終邊交⊙O于點(diǎn)P4,則點(diǎn)P1,P2,P3,P4的坐標(biāo)分別是: (師生共答):P1(1,0), P2(cos α,sinα), P3(cos (α+β),sin(α+β)), P4(cos (-β),sin(-β)). 師(板書):由兩點(diǎn)間的距離公式可得: |P1P3|= |P2P4|= 又由|P1P3|=|P2P4|,得 [cos (α+β)-1]2+sin2(α+β) =[cos (-β)-cos α]2+[sin(-β)-sinα]2 [生]展開并整理,得2-2cos(α+β)=2-2(cos αcos β-sinαsinβ) 即:cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ [師]這一式子充分說明了兩角和的余弦cos(α+β)與α,β的三角函數(shù)cosα,cosβ,sinα,sinβ的關(guān)系. 即兩角和的余弦公式為: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β)) 這個公式對于任意的角α,β都成立. 但要注意:cos (α+β)是兩角α與β的和的余弦,它表示角α+β終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比. 例如:當(dāng)α=,β=時, cos(α+β)=cos(+)=cos=0 cosα+cosβ=cos+cos= ∴cos(α+β)≠cosα+cosβ 即,不能把cos(α+β)按分配律展開,應(yīng)按兩角和的余弦公式展開. 如:cos(+)=coscos-sinsin =· =0≠cos+cos Ⅲ.課堂練習(xí) (打出課件§4.6.1 C,讓學(xué)生板演練習(xí)) [生](板演) 解:①cos(45°+30°)=cos 45°cos 30°-sin45°sin30° == ②cos 105° =cos (60°+45°) =cos 60°cos 45°-sin60°sin45° = [師](講評)從這兩道練習(xí)題可看出一些非特殊角的三角函數(shù)值可通過特殊角的三角函數(shù)值求得. 如:①中cos(45°+30°)=cos 75°= ②中cos 105°= 75°,105°角均非特殊角,但其可化為兩特殊角之和,所以其余弦值不必通過查表,只要利用兩角和的余弦公式便可求出. 另外,cos 105°=cos(180°-75°)=-cos 75° [生]2.解:由cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 得:sinαsinβ=cosαcosβ-cos(α+β) 將cosαcosβ=- cos(α+β)=-1代入上式 可得:sinαsinβ= [師]這一練習(xí)提示我們應(yīng)熟練掌握兩角和的余弦公式,以便靈活應(yīng)用其解決一些問題. [生]3.解:cos 23°cos 22°-sin23°sin22° =cos(23°+22°)=cos 45°= [生]4.解:由點(diǎn)P(-3,4)為角α終邊上一點(diǎn);點(diǎn)Q(-1,-2)為角β終邊上一點(diǎn), 得:cos α=-,sinα=;cosβ=-,sinβ=-. ∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ =(-)×(- [師]對于此類習(xí)題,首先要仔細(xì)分析題意,尋找突破口,以便求解. Ⅳ.課時小結(jié) 1.平面內(nèi)P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點(diǎn)間的距離 公式: |P1P2|= 2.兩角和的余弦公式: cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ(C(α+β)) 3.以上兩公式的推導(dǎo)及應(yīng)用. Ⅴ.課后作業(yè) (一)課本P40習(xí)題4.6 3.(3)(4)(6)(8) (二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容 課本P35 2.預(yù)習(xí)提綱 (1)將公式C(α+β)中的β用-β代替,看會得到什么新的結(jié)果? (2)將公式C(α+β)中的β用代替,看會得到什么新的結(jié)果? ●板書設(shè)計 §4.6.1 兩角和的余弦 一、平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式及推導(dǎo) 若P1(x1,y1),P2(x2,y2) 則|P1P2|= 二、兩角和與差的三角函數(shù) 兩角和的余弦公式及推導(dǎo) cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 三、例題講解 復(fù)習(xí)回顧 數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離 |AB|=|x2-x1|- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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