高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 6.4 合情推理與演繹推理課件(理).ppt

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第四節(jié) 合情推理與演繹推理,【知識(shí)梳理】 1.合情推理,部分,全部,部分,整體,個(gè)別,一般,類似,特征,特征,特征,特殊,特殊,類比,猜想,2.演繹推理 (1)定義:從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的 結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之,演繹推理 是由一般到_____的推理.,特殊,(2)“三段論”是演繹推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的_________; ②小前提——所研究的_________; ③結(jié)論——根據(jù)_________,對(duì)特殊情況作出的判斷.,一般原理,特殊情況,一般原理,【特別提醒】 合情推理與演繹推理的關(guān)系 (1)合情推理的結(jié)論是猜想,不一定正確;演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確時(shí),得到的結(jié)論一定正確.,(2)合情推理是發(fā)現(xiàn)結(jié)論的推理;演繹推理是證明結(jié)論的推理.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-2P77練習(xí)T1改編)已知數(shù)列{an}中,a1=1, n≥2時(shí),an=an-1+2n-1,依次計(jì)算a2,a3,a4后,猜想an的表達(dá)式是 ( ) A.an=3n-1 B.an=4n-3 C.an=n2 D.an=3n-1,【解析】選C.a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.,2.(選修2-2P77練習(xí)T3改編)在平面上,若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為1∶2,則它們的面積比為1∶4.類似地,在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2,則它們的體積比為 .,【解析】由平面圖形的面積類比立體圖形的體積得出:在空間內(nèi),若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1∶2,則它們的底面積之比為1∶4,對(duì)應(yīng)高之比為1∶2,所以體積比為1∶8. 答案:1∶8,感悟考題 試一試 3.(2014全國(guó)卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A,B,C三個(gè)城市時(shí), 甲說:我去過的城市比乙多,但沒去過B城市; 乙說:我沒去過C城市; 丙說:我們?nèi)巳ミ^同一城市. 由此可判斷乙去過的城市為 .,【解析】由丙可知,乙至少去過一個(gè)城市,由甲說可知甲去過A,C,且比乙多,故乙只去過一個(gè)城市,且沒有去過C城市,故乙只去過A城市. 答案:A,4.(2016邵陽模擬)在平面幾何中:△ABC的∠C內(nèi)角平 分線CE分AB所成線段的比為 把這個(gè)結(jié)論類比 到空間:在三棱錐A-BCD中(如圖),DEC平分二面角A-CD-B 且與AB相交于點(diǎn)E,則得到類比的結(jié)論是 .,【解析】由平面中線段的比轉(zhuǎn)化為空間中面積的 比可得 答案:,考向一 類比推理 【典例1】(1)(2016蚌埠模擬)已知雙曲正弦函數(shù) shx= 和雙曲余弦函數(shù)chx= 與我們學(xué)過的 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì),請(qǐng)類比正、余 弦函數(shù)的和角或差角公式,寫出雙曲正弦函數(shù)或雙曲余 弦函數(shù)的一個(gè)類似的正確結(jié)論 .,(2)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90,設(shè)a,b,c分別表示三條邊的長(zhǎng)度,由勾股定理,得c2=a2+b2. 類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理, 試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.,【解題導(dǎo)引】(1)將雙曲正弦函數(shù)shx= 和雙曲 余弦函數(shù)chx= ,右端相乘,化簡(jiǎn)整理,再對(duì)比正 弦、余弦函數(shù)和角、差角公式格式可得結(jié)論. (2)考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直,我們可以選 取有3個(gè)面兩兩垂直的四面體,作為直角三角形的類比 對(duì)象.,【規(guī)范解答】(1)chxchy-shxshy = (ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y-ex+y+ex-y+e-x+y-e-x-y) = [2ex-y+2e-(x-y)]= =ch(x-y). 答案:ch(x-y)=chxchy-shxshy,(2)如題圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90. 設(shè)a,b,c分別表示3條邊的長(zhǎng)度,由勾股 定理,得c2=a2+b2. 類似地,在四面體P-DEF中,∠PDF=∠PDE =∠EDF=90.設(shè)S1,S2,S3和S分別表示△PDF,△PDE,,△EDF和△PEF的面積,相應(yīng)于直角三角形的2條直角邊a,b和1條斜邊c,圖中的四面體有3個(gè)“直角面”S1,S2, S3和1個(gè)“斜面”S.于是,類比勾股定理的結(jié)構(gòu),我們猜想S2=S12+S22+S32成立.,【母題變式】 1.把本例(2)條件“由勾股定理,得c2=a2+b2”換成“cos2A+cos2B=1”,則在空間中,給出四面體性質(zhì)的猜想.,【解析】如圖,在Rt△ABC中, cos2A+cos2B=,于是把結(jié)論類比到四面體P-A′B′C′中,我們猜想,三棱錐P-A′B′C′中,若三個(gè)側(cè)面PA′B′,PB′C′, PC′A′兩兩互相垂直,且分別與底面所成的角為α,β,γ,則cos2α+cos2β+cos2γ=1.,2.本例(2)條件改為“如圖,作CD⊥AB于點(diǎn)D,則有 ”.類比該性質(zhì),試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想.,【解析】類比猜想: 四面體ABCD中,AB,AC,AD兩兩垂直,AE⊥平面BCD, 則 如圖,連接BE交CD于點(diǎn)F,連接AF,,因?yàn)锳B⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, 所以AB⊥平面ACD,而AF?平面ACD,所以AB⊥AF. 在Rt△AEF中,AE⊥BF, 所以 易知在Rt△ACD中,AF⊥CD, 所以 猜想正確.,【規(guī)律方法】 1.類比推理的幾個(gè)角度 類比推理是由特殊到特殊的推理,可以從以下幾個(gè)方面考慮類比:,①類比定義; ②類比性質(zhì); ③類比方法; ④類比結(jié)構(gòu).,2.類比推理的一般步驟 (1)找出兩類事物之間的相似性或一致性. (2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì),得出一個(gè)明確的命題(猜想).,【變式訓(xùn)練】(2016湖北八校聯(lián)考)已知△ABC的頂點(diǎn) A,B分別是離心率為e的圓錐曲線 =1的焦點(diǎn).頂點(diǎn) C在該曲線上;一同學(xué)已正確地推得:當(dāng)mn0時(shí)有 e(sinA+sinB)=sinC.類似地,當(dāng)m0,n0時(shí),有 . 【解題提示】把橢圓性質(zhì)和雙曲線性質(zhì)類比結(jié)合解三 角形推導(dǎo)結(jié)論.,【解析】當(dāng)mn0時(shí), 為橢圓, |AC|+|BC|= ?e(sinA+sinB)=sinC.,當(dāng)m0,n0時(shí), 為雙曲線, ||AC|-|BC||= e|sinA-sinB|=sinC. 答案:e|sinA-sinB|=sinC,【加固訓(xùn)練】 1.如圖所示,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng) 時(shí),其離心率為 ,此類橢圓被稱為 “黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”,可 推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于( ),【解題提示】根據(jù)“黃金橢圓”的性質(zhì)是 , 可以得到“黃金雙曲線”也滿足這個(gè)性質(zhì). 【解析】選A.設(shè)“黃金雙曲線”方程為 則B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黃金雙曲線”中,,所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac. 在等號(hào)兩邊同除以a2,得e=,2.把一個(gè)直角三角形以兩直角邊為鄰邊補(bǔ)成一個(gè)矩形, 則矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即為直角三角形外接圓直徑,以此可 求得外接圓半徑r= (其中a,b為直角三角形兩直 角邊長(zhǎng)).類比此方法可得三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為a,b,c且兩 兩垂直的三棱錐的外接球半徑R= .,【解析】由平面類比到空間,把矩形類比為長(zhǎng)方體, 從而得出外接球半徑為 . 答案:,考向二 歸納推理 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:與數(shù)列(數(shù)字)有關(guān)的推理 【典例2】(1)(2016新鄉(xiāng)模擬)從1開始的自然數(shù)按如圖所示的規(guī)則排列,現(xiàn)有一個(gè)三角形框架在圖中上下或左右移動(dòng),使每次恰有九個(gè)數(shù)在此三角形內(nèi),則這九個(gè)數(shù)的和可以為 ( ),A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014,(2)(2013湖北高考)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家 研究過各種多邊形數(shù),如三角形數(shù)1,3,6,10,…,第n個(gè) 三角形數(shù)為 記第n個(gè)k邊形數(shù)為N(n, k)(k≥3),以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個(gè)數(shù)的表達(dá)式:,三角形數(shù) N(n,3)= n2+ n, 正方形數(shù) N(n,4)=n2, 五邊形數(shù) N(n,5)= n2- n, 六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n, …… 可以推測(cè)N(n,k)的表達(dá)式,由此計(jì)算N(10,24)= .,【解題導(dǎo)引】(1)設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a,則第二層的三個(gè)數(shù)為a+7,a+8,a+9,第三層的五個(gè)數(shù)為a+14,a+15, a+16,a+17,a+18,根據(jù)題意求和驗(yàn)證. (2)通過觀察,得出N(n,k)的通項(xiàng)公式:N(n,k)=akn2+ bkn(k≥3),然后分別得出{ak}與{bk}的通項(xiàng)公式,便可代入求解.,【規(guī)范解答】(1)選B.根據(jù)題干圖所示的規(guī)則排列,設(shè)最上層的一個(gè)數(shù)為a,則第二層的三個(gè)數(shù)為a+7,a+8,a+9,第三層的五個(gè)數(shù)為a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 這9個(gè)數(shù)之和為a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012,得a=212,是自然數(shù).,(2)三角形數(shù) N(n,3)= 正方形數(shù) N(n,4)=n2= 五邊形數(shù) N(n,5)= 六邊形數(shù) N(n,6)=2n2-n= k邊形數(shù) N(n,k)=,所以N(10,24)= =1000. 答案:1000,命題方向2:與不等式有關(guān)的推理 【典例3】(2016寶雞模擬)觀察下列不等式,照此規(guī)律,第五個(gè)不等式為 .,【解題導(dǎo)引】觀察不等式兩邊式子的特點(diǎn),總結(jié)指數(shù)、項(xiàng)數(shù)、分子、分母之間的數(shù)量關(guān)系.,【規(guī)范解答】左邊的式子的通項(xiàng)是 右邊式子的分母依次增加1,分子依次增加2,還可以發(fā) 現(xiàn)右邊分母與左邊最后一項(xiàng)分母的關(guān)系,所以第五個(gè)不 等式為 答案:,命題方向3:與圖形有關(guān)的推理 【典例4】(2016成都模擬)某種平面分形圖如圖所示, 一級(jí)分形圖是由一點(diǎn)出發(fā)的三條線段,長(zhǎng)度均為1,兩兩 夾角為120;二級(jí)分形圖是在一級(jí)分形圖的每條線段 的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原來 的線段,且這兩條 線段與原線段兩兩夾角為120,…,依此規(guī)律得到n級(jí) 分形圖.,(1)n級(jí)分形圖中共有 條線段. (2)n級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度之和為 .,【解題導(dǎo)引】(1)根據(jù)圖形找出線段的生發(fā)規(guī)律. (2)由分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為 原來 的線段,可得n級(jí)分形圖中第n級(jí)的所有線段的長(zhǎng) 度為bn=3 (n∈N*).,【規(guī)范解答】(1)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段,由題圖知,一級(jí)分形圖有3=(32-3)條線段,二級(jí)分形圖有9=(322-3)條線段,三級(jí)分形圖中有21=(323-3)條線段,按此規(guī)律n級(jí)分形圖中的線段條數(shù)an=32n-3(n∈N*).,(2)分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條長(zhǎng)度為原 來 的線段,所以n級(jí)分形圖中第n級(jí)的所有線段的長(zhǎng)度 為bn=3 (n∈N*),所以n級(jí)分形圖中所有線段長(zhǎng)度 之和為Sn= 答案:(1)32n-3(n∈N*) (2)9-9,【技法感悟】 歸納推理問題的常見類型及解題策略 (1)與“數(shù)字”相關(guān)問題:主要是觀察數(shù)字特點(diǎn),找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律.,(2)與不等式有關(guān)的推理:觀察所給幾個(gè)不等式兩邊式子的特點(diǎn),注意縱向看、找出隱含規(guī)律. (3)與圖形有關(guān)推理:合理利用特殊圖形歸納推理得出結(jié)論.,【題組通關(guān)】 1.(2016廣元模擬)觀察(x2)′=2x,(x4)′=4x3, (cosx)′=-sinx,由歸納推理可得:若定義在R上的函數(shù) f(x)滿足f(-x)=f(x),記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則 g(-x)= ( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x),【解析】選D.由所給函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)知,偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),因此當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí),其導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為奇函數(shù),故g(-x)=-g(x).,2.(2016潮州模擬)如圖是按一定規(guī)律排列的三角形等式表,現(xiàn)將等式從左至右,從上到下依次編上序號(hào),即第一個(gè)等式為20+21=3,第二個(gè)等式為20+22=5,第三個(gè)等式為21+22=6,第四個(gè)等式為20+23=9,第五個(gè)等式為21+23=10……以此類推,則第99個(gè)等式為 ( ),20+21=3 20+22=5 21+22=6 20+23=9 21+23=10 22+23=12 20+24=17 21+24=18 22+24=20 23+24=24 … A.27+213=8320 B.27+214=16512 C.28+214=16640 D.28+213=8448,【解析】選B.依題意,用(t,s)表示2t+2s,題中的等式的規(guī)律為:第一行為3(0,1);第二行為5(0,2),6(1,2);第三行為9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行為17(0, 4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);……,又因?yàn)?9=(1+2+ 3+…+13)+8,因此第99個(gè)等式應(yīng)位于第14行的從左到右的第8個(gè)位置,即是27+214=16512.,3.(2013陜西高考)觀察下列等式: 12=1, 12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, … 照此規(guī)律,第n個(gè)等式可為 .,【解析】12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), …,12-22+32-42+…+(-1)n+1n2 =(-1)n+1(1+2+…+n)=(-1)n+1 . 答案:12-22+32-42+…+(-1)n+1n2 =(-1)n+1,【加固訓(xùn)練】(2016達(dá)州模擬)有一個(gè)奇數(shù)組 成的數(shù)陣排列如下: 1 3 7 13 21 … 5 9 15 23 … … 11 17 25 … … …,19 27 … … … … 29 … … … … … … … … … … … 則第30行從左到右第3個(gè)數(shù)是 .,【解析】觀察每一行的第一個(gè)數(shù),由歸納推理可得第30 行的第1個(gè)數(shù)是1+4+6+8+10+…+60= -1=929. 又第n行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1個(gè)數(shù)大2n,第3個(gè)數(shù)比 第2個(gè)數(shù)大2n+2,所以第30行從左到右的第2個(gè)數(shù)比第1 個(gè)數(shù)大60,第3個(gè)數(shù)比第2個(gè)數(shù)大62,故第30行從左到右 第3個(gè)數(shù)是929+60+62=1051. 答案:1051,考向三 演繹推理 【典例5】(2016保定模擬)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為 Sn,已知a1=1,an+1= Sn(n∈N*),證明: (1)數(shù)列 是等比數(shù)列. (2)Sn+1=4an.,【解題導(dǎo)引】(1)利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1. (2)根據(jù) 是等比數(shù)列得到Sn+1與Sn-1的關(guān)系,再利用 an= Sn-1證明.,【規(guī)范解答】(1)因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 所以 (小前提) 故 是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義,這里省略了),(2)由(1)可知 所以Sn+1=4(n+1) =4an(n≥2)(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以對(duì)于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an.(結(jié)論),【誤區(qū)警示】解答本題會(huì)出現(xiàn)以下錯(cuò)誤: 不知利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1,從而導(dǎo)致解題無思路.,【規(guī)律方法】三段論的依據(jù)及應(yīng)用時(shí)的注意點(diǎn) (1)三段論推理的依據(jù)是:如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P. (2)應(yīng)用三段論的注意點(diǎn):解決問題時(shí),首先應(yīng)該明確什么是大前提,小前提,然后再找結(jié)論.,【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=- (a0,且a≠1). (1)證明:函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱. (2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.,【解析】(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù),任取一點(diǎn) (x,y),它關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1-x,-1-y).,所以-1-y=f(1-x)，即函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱．,(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. 所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 則f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.,【加固訓(xùn)練】 1.“因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)y=logax是增函數(shù)(大前提),而y= 是對(duì)數(shù)函數(shù)(小前提),所以y= 是增函數(shù)(結(jié)論)”, 以上推理錯(cuò)誤的原因是 ( ),A.大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤 D.大前提和小前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤,【解析】選A.當(dāng)a1時(shí),函數(shù)y=logax是增函數(shù);當(dāng)0a1時(shí),函數(shù)y=logax是減函數(shù).故大前提錯(cuò)誤導(dǎo)致結(jié)論錯(cuò)誤.,2.(2016惠州模擬)我們將具有下列性質(zhì)的所有函數(shù) 組成集合M:函數(shù)y=f(x)(x∈D),對(duì)任意x,y, ∈D均 滿足 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)等號(hào)成立. (1)若定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)∈M,試比較f(3)+ f(5)與2f(4)的大小. (2)設(shè)函數(shù)g(x)=-x2,求證:g(x)∈M.,【解析】(1)對(duì)于 [f(x)+f(y)],令x=3,y=5 得f(3)+f(5)2f(4). (2) [g(x1)+g(x2)]= 所以 [g(x1)+g(x2)],所以 g(x)∈M.,3.已知函數(shù)y=f(x)滿足:對(duì)任意a,b∈R,a≠b,都有af(a)+bf(b)af(b)+bf(a),試證明:f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).,【證明】設(shè)x1,x2∈R,取x1x1f(x2)+x2f(x1), 所以x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)0, 因?yàn)閤10,f(x2)f(x1). 所以y=f(x)為R上的單調(diào)增函數(shù).,