高考數學一輪復習 第四章 平面向量、數系的擴充與復數的引入 4.4 數系的擴充與復數的引入課件(理).ppt

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第四節(jié) 數系的擴充與復數的引入,【知識梳理】 1.復數的有關概念,a+bi,a,b,b=0,b≠0,a=0且b≠0,a=c且b=d,a=c且b=-d,實軸,虛軸,2.復數的幾何意義 復數z=a+bi(a,b∈R) 復平面內的點Z(a,b) 向量 .,3.復數代數形式的四則運算 (1)運算法則: 設z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則,(ac)+(bd)i,(ac-bd)+(ad+bc)i,(2)復數加法的運算律: 設z1,z2,z3∈C,則復數加法滿足以下運算律: ①交換律:z1+z2=_____; ②結合律:(z1+z2)+z3=__________.,z2+z1,z1+(z2+z3),【特別提醒】 1.i的乘方具有周期性 in= (k∈Z).,2.復數的模與共軛復數的關系 z =|z|2=| |2. 3.兩個注意點 (1)兩個虛數不能比較大小. (2)利用復數相等a+bi=c+di列方程時,注意a,b,c,d∈R的前提條件.,【小題快練】 鏈接教材 練一練 1.(選修2-2P112習題3.2A組T5(3)改編)復數 的共軛復數是 ( ) A.2-i B.2+i C.3-4i D.3+4i,【解析】選C.原式= =(2+i)2=3+4i. 所以其共軛復數為3-4i.,2.(選修2-2P116A組T1(3)改編)若復數m(3+i)-(2+i)在復平面內對應的點位于第四象限，則實數m的取值范圍為( ) A.m1 B.m C.m1 D. m1,【解析】選D.m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-1)i 由題意，得 解得 m1.,感悟考題 試一試 3.(2015廣東高考)已知i是虛數單位,則復數 (1+i)2=( ) A.-2 B.2 C.-2i D.2i 【解析】選D.(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i.,4.(2015全國卷Ⅱ)若a為實數且(2+ai)(a-2i)=-4i, 則a= ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【解析】選B.由題意得4a+(a2-4)i=-4i,所以4a=0, a2-4=-4,解得a=0.,5.(2015北京高考)復數i(1+i)的實部為 . 【解析】i(1+i)=-1+i,所以實部為-1. 答案:-1,考向一 復數的有關概念 【典例1】(1)(2015湖北高考)i為虛數單位,i607的共軛復數為 ( ) A.i B.-i C.1 D.-1 (本題源自A版選修2-2P116B組T2),(2)(2015天津高考)i是虛數單位,若復數(1-2i)(a+i) 是純虛數,則實數a的值為 . 【解題導引】(1)根據in(n∈N*)的周期性化簡i607,再 求其共軛復數. (2)先根據復數的乘法法則化簡,再由純虛數的定義列 方程求實數a.,【規(guī)范解答】(1)選A.因為i607=(i2)303i=-i,-i的共軛復數為i,所以應選A. (2)復數(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,該復數為純虛數,所以a+2=0,且1-2a≠0,所以a=-2. 答案:-2,【母題變式】1.若本例題(2)條件“純虛數”變?yōu)?“實數”,試求實數a的值. 【解析】因為(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i是實數, 所以1-2a=0,即a= .,2.若本例題(2)條件“復數(1-2i)(a+i)是純虛數”變 為“復數(1-2i)(a+i)的模是5”,試求實數a的值. 【解析】因為(1-2i)(a+i)=(a+2)+(1-2a)i, 所以|(1-2i)(a+i)|= =5, 即a2=4,a=2.,【規(guī)律方法】求解與復數概念相關問題的技巧 復數的分類、復數的相等、復數的模,共軛復數的概念都與復數的實部與虛部有關,所以解答與復數相關概念有關的問題時,需把所給復數化為代數形式,即a+bi(a,b∈R)的形式,再根據題意求解.,【變式訓練】(2015重慶高考)設復數a+bi(a,b∈R) 的模為 ,則(a+bi)(a-bi)= . 【解析】因為復數a+bi(a,b∈R)的模為 , 即 所以(a+bi)(a-bi)=a2-b2i2=a2+b2=3. 答案:3,【加固訓練】 1.(2014新課標全國卷Ⅰ)設z= ，則|z|=( ) 【解析】選B.,2.(2014山東高考)已知a,b∈R,i是虛數單位. 若a+i=2-bi，則(a+bi)2=( ) A.3-4i B.3+4i C.4-3i D.4+3i 【解析】選A.因為a+i=2-bi， 所以a=2,b=-1， 所以(a+bi)2=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.,3.(2014大綱版全國卷)設z= ，則z的共軛復數 為( ) A.-1+3i B.-1-3i C.1+3i D.1-3i 【解析】選D. 則 =1-3i.,4.設m∈R，m2+m-2+(m2-1)i是純虛數，其中i是虛數 單位，則m=________. 【解析】m2+m-2+(m2-1)i是純虛數? ?m=-2. 答案：-2,考向二 復數的幾何意義 【典例2】(1)(2015安徽高考)設i是虛數單位, 則復數 在復平面內所對應的點位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)(2014全國卷Ⅱ)設復數z1,z2在復平 面內的對應點關于虛軸對稱,z1=2+i,則 z1z2=( ) A.-5 B.5 C.-4+i D.-4-i,【解題導引】(1)先將所給復數化簡為a+bi的形式,再求解. (2)轉化點的對稱問題即可.,【規(guī)范解答】(1)選B. =-1+i, 其對應點的坐標為(-1,1),此點在第二象限. (2)選A.因為z1=2+i,z1與z2關于虛軸對稱,所以z2=-2+i,所以z1z2=-1-4=-5.,【規(guī)律方法】復數幾何意義及應用 (1)復數z、復平面上的點Z及向量 相互聯系， 即z=a+bi(a，b∈R)?Z(a，b)? . (2)由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.,【變式訓練】(2016石家莊模擬) 如圖,在復平面內,點A表示復數z,則 圖中表示z的共軛復數的點是( ) A.A B.B C.C D.D,【解析】選B.設點A表示復數z=a+bi,其中a0,所 以其共軛復數是 =a-bi,在圖中應該是點B對應的復 數,故選B.,【加固訓練】 1.(2016太原模擬)復數z= (i為虛數單位)， z在復平面內所對應的點在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】選A.因為 所以z在復平面內所對應的點 在第一 象限.,2.在復平面內，復數z= (i為虛數單位)的共軛 復數對應的點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】選D.z= =i+1, =1-i.所以復數z的共軛復數對應的點位于第四象限.,3.復數z=i(1+i)(i為虛數單位)在復平面上對應的 點位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】選B.因為z=i(1+i)=-1+i,而(-1,1)對應的點在第二象限,所以選B.,考向三 復數的四則運算 【考情快遞】,【考題例析】 命題方向1:復數的加、減、乘法運算 【典例3】(2015北京高考)復數i(2-i)=( ) A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i (本題源自A版選修2-2P112習題3.2A組T4(1)),【解題導引】根據復數乘法法則計算,注意i2=-1. 【規(guī)范解答】選A.i(2-i)=2i-i2=1+2i.,命題方向2:復數的除法運算 【典例4】(2014全國卷Ⅰ) = ( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解題導引】根據冪的運算法則把(1+i)3降冪運算.,【規(guī)范解答】選D. 【一題多解】解答本題，還有以下解法： 選D.,命題方向3：解簡單的復數方程 【典例5】(2015全國卷Ⅰ)設復數z滿足 則|z|=( ) A.1 B. C. D.2 (本題源自A版選修2-2P116B組T1),【解題導引】將 化為z=a+bi(a,b∈R)的形式， 利用|z|= 求解. 【規(guī)范解答】選A.因為 ， 所以 故|z|=1.,【技法感悟】 利用復數的四則運算求復數的一般思路 (1)復數的加、減、乘法運算：滿足多項式的加、減、乘法法則，利用法則后將實部與虛部分別寫出即可，注意多項式乘法公式的運算.,(2)復數的除法運算:主要是利用分子、分母同乘以分母的共軛復數進行運算化簡. (3)解簡單的復數方程： 利用復數的四則運算求解即可.,【題組通關】 1.(2015四川高考)設i是虛數單位，則復數 =( ) A.-i B.-3i C.i D.3i 【解析】選C.,2.(2015湖南高考)已知 =1+i(i為虛數單位)， 則復數z=( ) A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 【解析】選D．驗證各選項，只有ｚ=-１-ｉ時，,3.(2015山東高考)若復數z滿足 =i，其中i為 虛數單位，則z=( ) A.1-i B.1+i C.-1-i D.-1+i 【解析】選A.由 =i，得 =i(1-i)=1+i,z=1-i.,【加固訓練】 1.(2014福建高考)復數(3+2i)i等于( ) A.-2-3i B.-2+3i C.2-3i D.2+3i 【解析】選B．由復數的乘法運算得(3+2i)i=3i+2i2 =-2+3i.,2.(2014天津高考)i是虛數單位，復數 =( ) A.1-i B.-1+i C. D. 【解析】選A.,