2019-2020年高二數(shù)學(xué) 1、2-3-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步練習(xí) 新人教A版選修1-1.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué) 1、2-3-1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步練習(xí) 新人教A版選修1-1 一、選擇題 1.在直角坐標(biāo)平面內(nèi),到點(diǎn)(1,1)和直線x+2y=3距離相等的點(diǎn)的軌跡是( ) A.直線 B.拋物線 C.圓 D.雙曲線 [答案] A [解析] ∵定點(diǎn)(1,1)在直線x+2y=3上,∴軌跡為直線. 2.拋物線y2=x上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)的距離是2,則P點(diǎn)坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. [答案] B [解析] 設(shè)P(x0,y0),則|PF|=x0+=x0+=2, ∴x0=,∴y0=. 3.拋物線y=ax2的準(zhǔn)線方程是y=2,則a的值為( ) A. B.- C.8 D.-8 [答案] B [解析] ∵y=ax2,∴x2=y(tǒng),其準(zhǔn)線為y=2, ∴a<0,2=,∴a=-. 4.(xx湖南文,5)設(shè)拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4,則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 [答案] B [解析] 本題考查拋物線的定義. 由拋物線的定義可知,點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)的距離是4+2=6. 5.設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F的弦為AB,則以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是 ( ) A.相交 B.相切 C.相離 D.以上答案都有可能 [答案] B [解析] 特值法:取AB垂直于拋物線對(duì)稱軸這一情況研究. 6.過(guò)點(diǎn)F(0,3)且和直線y+3=0相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為( ) A.y2=12x B.y2=-12x C.x2=12y D.x2=-12y [答案] C [解析] 由題意,知?jiǎng)訄A圓心到點(diǎn)F(0,3)的距離等于到定直線y=-3的距離,故動(dòng)圓圓心的軌跡是以F為焦點(diǎn),直線y=-3為準(zhǔn)線的拋物線. 7.過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)之和等于5,則這樣的直線( ) A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無(wú)窮多條 D.不存在 [答案] B [解析] 當(dāng)斜率不存在時(shí),x1+x2=2不符合題意. 因?yàn)榻裹c(diǎn)坐標(biāo)為(1,0), 設(shè)直線方程為y=k(x-1), 由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ∴x1+x2==5, ∴k2=,即k=. 因而這樣的直線有且僅有兩條. 8.拋物線y2=8x上一點(diǎn)P到x軸距離為12,則點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)F的距離為( ) A.20 B.8 C.22 D.24 [答案] A [解析] 設(shè)P(x0,12),則x0=18, ∴|PF|=x0+=20. 9.拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)是橢圓4x2+y2=1的一個(gè)焦點(diǎn),則此拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( ) A.2 B. C. D. [答案] B [解析]?。絚=,∴p=. 10.在同一坐標(biāo)系中,方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0(a>b>0)的曲線大致是( ) [答案] D [解析] 解法一:將方程a2x2+b2y2=1與ax+by2=0轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程+=1,y2=-x.因?yàn)閍>b>0,因此>>0. 所以有橢圓的焦點(diǎn)在y軸,拋物線的開(kāi)口向左. 解法二:將方程ax+by2=0中的y換成-y,其結(jié)果不變, 即說(shuō)明ax+by2=0的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱,排除B、C,又橢圓的焦點(diǎn)在y軸,排除A. 二、填空題 11.已知圓x2+y2+6x+8=0與拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線相切,則p=________. [答案] 4或8 [解析] 拋物線的準(zhǔn)線方程為:x=-,圓心坐標(biāo)為(-3,0),半徑為1, 由題意知3-=1或-3=1,∴p=4或p=8. 12.到點(diǎn)A(-1,0)和直線x=3距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是________. [答案] y2=8-8x [解析] 設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), 由題意得=|x-3|, 化簡(jiǎn)得y2=8-8x. 13.以雙曲線-=1的中心為頂點(diǎn),左焦點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線方程是__________. [答案] y2=-20x [解析] ∵雙曲線的左焦點(diǎn)為(-5,0),故設(shè)拋物線方程為y2=-2px(p>0), 又p=10,∴y2=-20x. 14.圓心在第一象限,且半徑為1的圓與拋物線y2=2x的準(zhǔn)線和雙曲線-=1的漸近線都相切,則圓心的坐標(biāo)是________. [解析] 設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b),則a>0,b>0. ∵y2=2x的準(zhǔn)線為x=-, -=1的漸近線方程為3x4y=0. 由題意a+=1,則a=. |3a4b|=5,解得b=或b=, ∴圓心坐標(biāo)為、. 三、解答題 15.若拋物線y2=2px(p>0)上一點(diǎn)M到準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為10和6,求M點(diǎn)的橫坐標(biāo)及拋物線方程. [解析] ∵點(diǎn)M到對(duì)稱軸的距離為6, ∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,6). ∵點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為10, ∴,解得,或, 故當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為9時(shí),拋物線方程為y2=4x. 當(dāng)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1時(shí),拋物線方程為y2=36x. 16.已知點(diǎn)A(0,-2),B(0,4),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足=y(tǒng)2-8. (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程. (2)設(shè)(1)中所求軌跡與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn). 求證:OC⊥OD(O為原點(diǎn)) [解析] (1)由題意可得=(-x,-2-y)(-x,4-y)=y(tǒng)2-8 化簡(jiǎn)得x2=2y (2)將y=x+2代入x2=2y中,得x2=2(x+2) 整理得x2-2x-4=0 可知Δ=20>0 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2) x1+x2=2,x1x2=-4 ∵y1=x1+2,y2=x2+2 ∴y1y2=(x1+2)(x2+2)=x1x2+2(x1+x2)+4=4 ∵=x1x2+y1y2=0 ∴OC⊥OD 17.過(guò)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的任意一條直線m,交拋物線于P1,P2兩點(diǎn),求證:以P1P2為直徑的圓和該拋物線的準(zhǔn)線相切. [證明] 如下圖,設(shè)P1P2的中點(diǎn)為P0,過(guò)P1,P2,P0分別向準(zhǔn)線l引垂線,垂足分別為Q1,Q2,Q0,根據(jù)拋物線的定義,得|P1F|=|P1Q1|,|P2F|=|P2Q2|,所以|P1P2|=|P1F|+|P2F|=|P1Q1|+|P2Q2|.因?yàn)镻1Q1∥P0Q0∥P2Q2,|P1P0|=|P0P2|,所以|P0Q0|=(|P1Q1|+|P2Q2|)=|P1P2|.由此可知,P0Q0是以P1P2為直徑的圓P0的半徑,且P0Q0⊥l,因此,圓P0與準(zhǔn)線相切. 18.拋物線的焦點(diǎn)F是圓x2+y2-4x=0的圓心. (1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)直線l的斜率為2,且過(guò)拋物線的焦點(diǎn),若l與拋物線、圓依次交于A,B,C,D,求|AB|+|CD|. [解析] (1)由圓的方程知圓心坐標(biāo)為(2,0).因?yàn)樗蟮膾佄锞€以(2,0)為焦點(diǎn),所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=8x. (2)如右圖,|AB|+|CD|=|AD|-|BC|,又|BC|=4,所以只需求出|AD|即可. 由題意,AD所在直線方程為y=2(x-2),與拋物線方程y2=8x聯(lián)立得?x2-6x+4=0,設(shè)A(x1,y1),D(x2,y2),所以x1+x2=6,x1x2=4,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=6+4=10,所以|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=6. [點(diǎn)撥] 本題求出x1+x2=6,x1x2=4后可以利用弦長(zhǎng)公式來(lái)求,但直接利用拋物線定義得|AD|=|AF|+|DF|=x1+x2+p,則簡(jiǎn)單利落.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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