2019-2020年高二上學期期末試題 數(shù)學理 含答案.doc
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2019-2020年高二上學期期末試題 數(shù)學理 含答案 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 1.已知復數(shù)滿足方程(為虛數(shù)單位),則 A. B. C. D. 2.已知函數(shù),若,則的值等于 A. B. C. D. 3.如圖,函數(shù)y=f(x)的圖象,則該函數(shù)在的瞬時變化率大約是 A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 x y O y=(x) 第5題圖 4.過曲線圖象上一點(2,2)及鄰近一點(2,2) 作割線,則當時割線的斜率為 A. B. C.1 D. 5.若二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸有兩個異號交點,它的導函數(shù)(x)的 圖象如右圖所示,則函數(shù)f(x)圖象的頂點在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.已知向量=(2,4,5),=(3,x,y) 分別是直線l1、l2的方向向量,若l1∥l2,則 A.x=6、y=15 B.x=3、y= C.x=3、y=15 D.x=6、y= 7.對于兩個復數(shù),,有下列四個結論:①;②;③;④,其中正確的結論的個數(shù)為 第8題圖 A.1 B.2 C.3 D.4 8.如圖,在棱長為2的正方體中,O是底面ABCD 的中心,E、F分別是、AD的中點,那么異面直線OE和 所成的角的余弦值等于 A. B. C. D. 9.已知函數(shù),則 A. B. C. D. 10.已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線方程是y=x,它的一個焦點在拋物線y2=24x的準線上,則雙曲線的方程為 A. B. C. D. 11.已知不等式恒成立,則k的最大值為 A.e B. C. D. 12.對于三次函數(shù),給出定義:設是函數(shù)y=f(x)的導數(shù),是的導數(shù),若方程有實數(shù)解,則稱點為函數(shù)y=f(x)的“拐點”.某同學經過探究發(fā)現(xiàn):任何一個三次函數(shù)都有“拐點”;任何一個三次函數(shù)都有對稱中心,且“拐點”就是對稱中心. 設函數(shù),則= A.xx B.2013 C. D.1007 第二卷(非選擇題,共90分) 二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.已知復平面上的正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別為,那么第四個頂點對應的復數(shù)是 ▲ . 14.若直線的方向向量,平面的一個法向量,則直線與平面所成角的正弦值等于 ▲ . 15.橢圓()的左、右焦點分別是,過作傾斜角為的直線與橢圓的一個交點為,若垂直于,則橢圓的離心率為 ▲ . 第16題圖 16.如圖,直線將拋物線與軸所圍圖形 分成面積相等的兩部分,則= ▲ . 三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本題滿分12分)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合,且兩個坐標系的單位長度相同.已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為. (Ⅰ)若直線l的斜率為-1,求直線l與曲線C交點的極坐標; (Ⅱ)若直線l與曲線C相交弦長為,求直線l的參數(shù)方程(標準形式). 18.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)= ex-ax-1. (Ⅰ)若a=1,求證:; (Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的值域. 第19題圖 19.(本題滿分12分)如圖,直三棱柱中,,,D是棱上的動點. (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)若平面BDC1分該棱柱為體積相等的兩個部分, 試確定點D的位置,并求二面角的大小. 20.(本題滿分12分)一塊長為、寬為的長方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長均為的小正方形,然后做成一個無蓋方盒. (Ⅰ)試把方盒的容積V表示為的函數(shù); (Ⅱ)試求方盒容積V的最大值. 21.(本題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中,已知兩點和,動點M滿足,設點M的軌跡為C,半拋物線:(),設點. (Ⅰ)求C的軌跡方程; (Ⅱ)設點T是曲線上一點,曲線在點T處的切線與曲線C相交于點A和點B,求△ABD的面積的最大值及點T的坐標. 22.(本小題滿分12分)已知函數(shù),. (Ⅰ)若,求函數(shù)的極值; (Ⅱ)設函數(shù),求函數(shù)的單調區(qū)間; (Ⅲ)若在區(qū)間上不存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍. 海南中學xx第一學期期末考試高二數(shù)學(理科) 參考解答與評分標準 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C D B D D C B B C A A 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分) 13.; 14.; 15.; 16.. 三、解答題(本大題共6小題,共70分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 17.(本題滿分12分)已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合,極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合,且兩個坐標系的單位長度相同,已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),曲線C的極坐標方程為. (Ⅰ)若直線l的斜率為-1,求直線l與曲線C交點的極坐標; (Ⅱ)若直線l與曲線C相交弦長為,求直線l的參數(shù)方程(標準形式). 17.解:(Ⅰ)直線l的方程:y1=1(x+1),即y=x;(1分) C:ρ=4cos θ,即x2+y24x=0,(2分) 聯(lián)立方程得2x24x=0,∴A(0,0),B(2,2);(4分) 極坐標為A(0,0),B;(5分) (Ⅱ) C:(x2)2+y2=4,弦心距,(6分) 設直線l的方程為kxy+k+1=0,∴ ,∴k=0或k=.(8分) ∴直線l: (t為參數(shù))或 (t為參數(shù))(10分) 18.(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)= ex-ax-1. (Ⅰ)若a=1,求證:; (Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)的值域. 18.解:(Ⅰ)當a=1時,f(x)= ex-x-1,由得 x () 0 f’(x) 0 + f(x) 單調減 極小值 單調增 ∴,從而,即證恒成立;(6分) (Ⅱ)f(x)的定義域為R,. 若,則,所以f(x)在R上單調遞增,值域為R;(8分) 若,則當時,;當時,; 所以,f(x)在上單調遞減,在上單調遞增, ,值域為.(12分) 第19題圖 19.(本題滿分12分)如圖,直三棱柱中,,,D是棱上的動點. (Ⅰ)證明:; (Ⅱ)若平面BDC1分該棱柱為體積相等的兩個部分, 試確定點D的位置,并求二面角的大?。? 19.解:(Ⅰ)∵C1C⊥平面ABC,∴C1C⊥BC(1分) 又,即BC⊥AC,AC∩C1C = C ∴BC⊥平面ACC1A1, 又DC1平面ACC1A1,∴BC⊥DC1;(4分) (Ⅱ)∵, 依題意, ∴,D為AA1中點; (7分) (法1)取的中點,過點作于點,連接 ,面面面 ,得點與點重合,且是二面角的平面角. (10分) 設,則,,得二面角的大小為. (12分) (法2)以C為空間坐標原點,CA為x軸正向、CB為y軸正向、CC1為z軸正向,建立空間直角坐標系,設AC的長為1,則A(1,0,0)、B(0,1,0)、D(1,0,1)、A1(1,0,2)、B1(0,1,2)、C1(0,0,2). (8分) 作AB中點E,連結CE,則CE⊥AB,從而CE⊥平面A1BD,平面A1BD的一個法向量 (9分) 設平面BC1D的一個法向量為,則 ∴,令,得,∴ ∴ 故二面角為. (12分) 20.(本題滿分12分)一塊長為、寬為的長方形鐵片,鐵片的四角截去四個邊長均為的小正方形,然后做成一個無蓋方盒. (Ⅰ)試把方盒的容積V表示為的函數(shù); (Ⅱ)試求方盒容積V的最大值. 20.解:(Ⅰ)依題意,折成無蓋方盒的長為、寬為、高為,故體積 ,其中常數(shù);(5分) (Ⅱ)由(6分)得,(7分) 在定義域內列極值分布表(10分) x (0, ) f’(x) + 0 f(x) 單調增 極大值 單調減 ∴.(12分) 21.(本題滿分12分)在平面直角坐標系xOy中,已知兩點和,動點M滿足,設點M的軌跡為C,半拋物線:(),設點. (Ⅰ)求C的軌跡方程; (Ⅱ)設點T是曲線上一點,曲線在點T處的切線與曲線C相交于點A和點B,求△ABD的面積的最大值及點T的坐標. 21.解:(Ⅰ)設點,由,得, 所以的軌跡方程是;(4分) (Ⅱ)拋物線為,設(),則,所以切線為: ,即,聯(lián)立,, 判別式△,設,,則,過點作軸的垂線交直線于點,于是,得,則, 故△ABD的面積,此時.(12分) 22.(本小題滿分12分)已知函數(shù),. (Ⅰ)若,求函數(shù)的極值; (Ⅱ)設函數(shù),求函數(shù)的單調區(qū)間; (Ⅲ)若在區(qū)間上不存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍. 22.解:(Ⅰ)當時,,列極值分布表 ∴在上遞減,在上遞增,∴的極小值為; …… 3分 (Ⅱ) ∴ …… 4分 ①當時,,∴在上遞增; ②當時,, ∴在上遞減,在上遞增; ……… 7分 (Ⅲ)先解區(qū)間上存在一點,使得成立 在上有解當時, ……… 8分 由(Ⅱ)知 ①當時,在上遞增,∴ ∴ ②當時,在上遞減,在上遞增 (ⅰ)當時,在上遞增,∴,∴無解 (ⅱ)當時, 在上遞減 ∴,∴; (ⅲ)當時, 在上遞減,在上遞增 ∴ 令,則 ∴在遞減,∴,∴無解, 即無解; 綜上:存在一點,使得成立,實數(shù)的取值范圍為:或. 所以不存在一點,使得成立,實數(shù)的取值范圍為. ………… 12分- 配套講稿:
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