2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示教案 新人教A版自主梳理1平面向量基本定理定理:如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)_向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,_一對(duì)實(shí)數(shù)1,2,使a_.其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組_.1不共線有且只有1e12e2基底2夾角(1)已知兩個(gè)非零向量a和b,作a,b,則AOB叫做向量a與b的_(2)向量夾角的范圍是_,a與b同向時(shí),夾角_;a與b反向時(shí),夾角_.(3)如果向量a與b的夾角是_,我們說(shuō)a與b垂直,記作_2.(1)夾角(2)0,0(3)ab3平面向量的正交分解:把一個(gè)向量分解為兩個(gè)_的向量,叫做把向量正交分解3.互相垂直4平面向量的坐標(biāo)表示:在平面直角坐標(biāo)系中,分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i,j作為基底,對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y使axiyj,我們把有序數(shù)對(duì)_叫做向量a的_,記作a_,其中x叫a在_上的坐標(biāo),y叫a在_上的坐標(biāo)4.(x,y)坐標(biāo)(x,y)x軸y軸設(shè)xiyj,則向量的坐標(biāo)(x,y)就是_的坐標(biāo),即若(x,y),則A點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi),反之亦成立.(O是坐標(biāo)原點(diǎn))終點(diǎn)A(x,y)注意:要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同,盡管在形式上它們完全一樣,但意義完全不同,向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.5平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1) 向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模已知向量a(x1,y1),b(x2,y2)和實(shí)數(shù),那么ab_,ab_,a_.|a|_.(x1x2,y1y2)(x1x2,y1y2)(x1,y1) (2)向量坐標(biāo)的求法若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).已知A(),B(),則(x2,y2)(x1,y1)(x2x1,y2y1),即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的_的坐標(biāo)減去_的坐標(biāo)|_. (2)終點(diǎn)始點(diǎn) 6若a(x1,y1),b(x2,y2) (b0),則ab的充要條件是_x1y2x2y10注意:.若a(x1,y1),b(x2,y2),則ab的充要條件不能表示成,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2x2y10.同時(shí),ab的充要條件也不能錯(cuò)記為x1x2y1y20,x1y1x2y20等.7(1)P1(x1,y1),P2(x2,y2),則P1P2的中點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),則P1P2P3的重心P的坐標(biāo)為_(kāi)7.(1) (2)點(diǎn)評(píng):1.基底的不唯一性只要兩個(gè)向量不共線,就可以作為平面的一組基底,對(duì)基底的選取不唯一,平面內(nèi)任意向量a都可被這個(gè)平面的一組基底e1,e2線性表示,且在基底確定后,這樣的表示是唯一的.2.向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a,點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定,此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x,y),但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別,如點(diǎn)A(x,y),向量a(x,y).當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí),向量不變即(x,y),但的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化.基礎(chǔ)檢測(cè)1.設(shè)平面向量a(3,5),b(2,1),則a2b_.(7,3)2.在ABCD中,AC為一條對(duì)角線,(2,4),(1,3),則向量的坐標(biāo)為_(kāi).(3,5)3.已知向量a(1,2),b(3,2),若kab與b平行,則k_.04.在平面坐標(biāo)系內(nèi),已知點(diǎn)A(2,1),B(0,2),C(2,1),O(0,0).給出下面的結(jié)論:直線OC與直線BA平行;2.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 (C)A.1 B.2 C.3 D.45.若向量a(1,1),b(1,1),c(4,2),則c等于 (B)A.3ab B.3ab C.a3b D.a3b6若向量a(x,3)(xR),則“x4”是“|a|5”的 ()A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分又不必要條件A由x4知|a|5;由|a|5,得x4或x4.故“x4”是“|a|5”的充分而不必要條件7設(shè)a,b,且ab,則銳角為 ()A30B45C60D75Bab,sin cos 0,sin 21,290,45.8.已知向量a=(6,-4),b(0,2),cab,若C點(diǎn)在函數(shù)ysin x的圖象上,則實(shí)數(shù)等于 ()A. B. C DAcab(6,42),代入ysin x得,42sin 1,解得.9已知向量a(2,1),b(1,m),c(1,2),若(ab)c,則m_.解析ab(1,m1),由(ab)c,得12(m1)(1)0,所以m1.10.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和,它們的夾角為120.如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng),若xy,其中x,yR,則xy的最大值是_. 解析建立如圖所示的坐標(biāo)系, 則A(1,0),B(cos 120,sin 120),即B(,)設(shè),則 (cos ,sin )xy(x,0)(cos ,sin )xysin cos 2sin(30)0120,3030150.xy有最大值2,當(dāng)60時(shí)取最大值探究點(diǎn)一平面向量基本定理的應(yīng)用例1如圖,在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知c,d,試用c,d表示,.解方法一設(shè)a,b,則ad,bc.將代入得adadc(2dc),代入得bc(2dc)(2cd).(2dc),(2cd).方法二設(shè)a,b.因M,N分別為CD,BC的中點(diǎn),所以b,a,因而,即(2dc),(2cd).變式訓(xùn)練1 (1)如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量、,其中與的夾角為120,與的夾角為30,且|1,|2,若(、R),則的值為_(kāi)解析 如右圖, 在OCD中,COD30,OCDCOB90,可求|4,同理可求|2,4,2,6.(2)在ABC中,DEBC,與邊AC相交于點(diǎn)E,ABC的中線AM與DE相交于點(diǎn)N,如圖,設(shè)a,b,試用a和b表示.解,DEBC,M為BC中點(diǎn),(ba).探究點(diǎn)二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2已知A(2,4),B(3,1),C(3,4).設(shè)a,b,c,且3c,2b,(1)求3ab3c;(2) 求M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo).解由已知得a(5,5),b(6,3),c(1,8).(1)3ab3c3(5,5)(6,3)3(1,8)(1563,15324)(6,42).(2) 設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),3c,3c(3,24)(3,4)(0,20).M(0,20).又2b,2b(12,6)(3,4)(9,2),N(9,2).(9,18).變式訓(xùn)練2 (1) 已知點(diǎn)A(1,-2),若向量|與a(2,3)同向,|2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)解析向量與a同向,設(shè)(2t,3t) (t0)由|2,4t29t2413.t24.t0,t2.(4,6)設(shè)B為(x,y),(5,4)(2)已知平行四邊形三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(1,0),(3,0),(1,5),求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo).解如圖所示,設(shè)A(1,0),B(3,0),C(1,5), D(x,y).(1)若四邊形ABCD1為平行四邊形,則,而(x1,y),(2,5).由,得D1(3,5).(2)若四邊形ACD2B為平行四邊形,則2.而(4,0),2(x1,y5).D2(5,5).(3)若四邊形ACBD3為平行四邊形,則3.而3(x1,y),(2,5),D3(1,5).綜上所述,平行四邊形第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,5)或(5,5)或(1,5).探究點(diǎn)三在向量平行下求參數(shù)問(wèn)題例3已知平面內(nèi)三個(gè)向量:a(3,2),b(1,2),c(4,1)(1)求滿足ambnc的實(shí)數(shù)m、n;(2)若(akc)(2ba),求實(shí)數(shù)k.(3)若d滿足(dc)(ab),且|dc|,求d.解(1)ambnc,m,nR,(3,2)m(1,2)n(4,1)(m4n,2mn)解之得(2)(akc)(2ba),且akc(34k,2k),2ba(5,2),(34k)2(5)(2k)0,k.(3)設(shè)d(x,y),dc(x4,y1), ab(2,4),由題意得,解得或,d(3,1)或d(5,3).變式訓(xùn)練3(1)已知向量a(3,1),b(1,3),c(k,7),若(ac)b,則k_.解析ac(3,1)(k,7)(3k,6),且(ac)b,k5.(2)已知a(1,0),b(2,1).求|a3b|;當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí),kab與a3b平行,平行時(shí)它們是同向還是反向?解 因?yàn)閍(1,0),b(2,1),所以a3b(7,3),|a3b|. kab(k2,1),a3b(7,3),因?yàn)閗ab與a3b平行,所以3(k2)70,即k.此時(shí)kab(k2,1),a3b(7,3),則a3b3(kab),即此時(shí)向量a3b與kab方向相反.(3)已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5),t1t2,求點(diǎn)P在第二象限的充要條件.證明:當(dāng)t11時(shí),不論t2為何實(shí)數(shù),A,B,P三點(diǎn)共線;試求當(dāng)t1,t2滿足什么條件時(shí),O,A,B,P能組成一個(gè)平行四邊形.解t1(1,2)t2(3,3)(t13t2,2t13t2),P在第二象限的充要條件是有解.t2t13t2且t20. 證明當(dāng)t11時(shí),有t2,t2,不論t2為何實(shí)數(shù),A,B,P三點(diǎn)共線.解由(t13t2,2t13t2),得點(diǎn)P(t13t2,2t13t2),O,A,B,P能組成一個(gè)平行四邊形有三種情況.當(dāng),有;當(dāng),有;當(dāng),有.點(diǎn)評(píng):1在解決具體問(wèn)題時(shí),合理地選擇基底會(huì)給解題帶來(lái)方便在解有關(guān)三角形的問(wèn)題時(shí),可以不去特意選擇兩個(gè)基本向量,而可以用三邊所在的三個(gè)向量,最后可以根據(jù)需要任意留下兩個(gè)即可,這樣思考問(wèn)題要簡(jiǎn)單得多2.平面直角坐標(biāo)系中,以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量a,點(diǎn)A的位置被a所唯一確定,此時(shí)a的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)都是(x,y)向量的坐標(biāo)表示和以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量是一一對(duì)應(yīng)的,要把點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)區(qū)分開(kāi),相等的向量坐標(biāo)是相同的,但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同,也不能認(rèn)為向量的坐標(biāo)是終點(diǎn)的坐標(biāo),如A(1,2),B(3,4),則(2,2) 一、選擇題1.已知a,b是不共線的向量,若1ab,a2b, (1,2R),則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為 ()A121B121C1210D12101CA、B、C三點(diǎn)共線與共線k1210.2.若,是一組基底,向量xy(x,yR),則稱(x,y)為向量在基底,下的坐標(biāo),現(xiàn)已知向量a在基底p(1,1),q(2,1)下的坐標(biāo)為(2,2),則a在另一組基底m(1,1),n(1,2)下的坐標(biāo)為(D)A.(2,0) B.(0,2) C.(2,0) D.(0,2)3設(shè)兩個(gè)向量a(2,2cos2)和b,其中、m、為實(shí)數(shù)若a2b,則的取值范圍是 ()A6,1B4,8 C(,1D1,63A2b(2m,m2sin ),22m,2cos2m2sin ,(2m2)2mcos22sin ,即4m29m41sin22sin .又21sin22sin 2,24m29m42,解得m2,4.又2m2, 2,621.4.設(shè)02時(shí),已知兩個(gè)向量(cos ,sin ),(2sin ,2cos ),則向量長(zhǎng)度的最大值是 ()A. B.C3D25.在平行四邊形ABCD中,AC為一條對(duì)角線,若(2,4),(1,3),則等于()A(2,4)B(3,5) C(3,5)D(2,4)二、填空題6.如圖所示,在ABC中,點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N,若m,n,則mn的值為_(kāi)62解析方法一若M與B重合,N與C重合,則mn2.方法二 2mn,.O、M、N共線,1. mn2.7在平面直角坐標(biāo)系xOy中,四邊形ABCD的邊ABDC,ADBC.已知A(2,0),B(6,8),C(8,6),則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)(0,2)解析設(shè)D點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y),由題意知,即(2,2)(x2,y),所以x0,y2,D(0,2)8.在四邊形ABCD中,(1,1),則四邊形ABCD的面積為_(kāi)S|sin 60.三、解答題9.(12分)已知A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0)、(3,-1)、(1,2),并且,.求證:.9證明設(shè)E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2),則依題意,得(2,2),(2,3),(4,1),.(x1,y1)(1,0),(x2,y2)(3,1).(x1,y1)(1,0),(x2,y2)(3,1).(x2,y2)(x1,y1).又(4,1),4(1)0,.10在ABC中,a、b、c分別是角A、B、C的對(duì)邊,已知向量m(a,b),向量n(cos A,cos B),向量p(2sin,2sin A),若mn,p29,求證:ABC為等邊三角形證明mn,acos Bbcos A.由正弦定理,得sin Acos Bsin Bcos A,即sin(AB)0.A、B為三角形的內(nèi)角,AB.AB. p29,8sin24sin2A9.41cos(BC)4(1cos2A)9.4cos2A4cos A10,解得cos A.又0A0,b0,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若A、B、C三點(diǎn)共線,則的最小值是_8_.三、解答題11.a(1,2),b(3,2),當(dāng)k為何值時(shí),kab與a3b平行?平行時(shí)它們是同向還是反向?解kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2),a3b(1,2)3(3,2)(10,4),當(dāng)kab與a3b平行時(shí),存在唯一實(shí)數(shù)使kab(a3b),由(k3,2k2)(10,4)得,解得k,當(dāng)k時(shí),kab與a3b平行,這時(shí)kabab(a3b).0,kab與a3b反向.12.如圖所示,P是ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足230,設(shè)Q為CP延長(zhǎng)線與AB的交點(diǎn),令p,試用p表示.解設(shè)a,b,由已知條件32,即3pa2b,(a2b),又()(1)ab,由平面向量基本定理.解得1,因此p.13.如圖,已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(0,0),B(4,1), C(6,8).(1)求頂點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)若2,F(xiàn)為AD的中點(diǎn),求AE與BF的交點(diǎn)I的坐標(biāo).解(1)設(shè)點(diǎn)D(x,y),因?yàn)?,所?x,y)(6,8)(4,1)(2,7),所以頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,7).(2)設(shè)點(diǎn)I(x,y),則有F點(diǎn)坐標(biāo)為,(xE2,yE7)2(6xE,8yE)E,(x4,y1),(x4)3(y1),又xy,聯(lián)立方程組可得x,y,則點(diǎn)I的坐標(biāo)為.14.已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),A(0,2),B(4,6),t1t2.(1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件;(2)求證:當(dāng)t11時(shí),不論t2為何實(shí)數(shù),A、B、M三點(diǎn)都共線;(3)若t1a2,求當(dāng)且ABM的面積為12時(shí)a的值.8.(1)解t1t2t1(0,2)t2(4,4)(4t2,2t14t2).當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí),有故所求的充要條件為t20且t12t20.(2)證明當(dāng)t11時(shí),由(1)知(4t2,4t22).(4,4), (4t2,4t2)t2(4,4)t2,A、B、M三點(diǎn)共線.(3)解當(dāng)t1a2時(shí),(4t2,4t22a2).又(4,4),4t24(4t22a2)40,t2a2,故(a2,a2).又|4,點(diǎn)M到直線AB:xy20的距離d|a21|.SABM12,|AB|d4|a21|12,解得a2,故所求a的值為2.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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