2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第五課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(一) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第五課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(一) 蘇教版必修5 教學(xué)目標(biāo): 掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其獲取思路,會(huì)用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決一些簡(jiǎn)單的與前n項(xiàng)和有關(guān)的問題;提高學(xué)生的推理能力,增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí). 教學(xué)重點(diǎn): 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)、理解及應(yīng)用. 教學(xué)難點(diǎn): 靈活應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)公式解決一些簡(jiǎn)單的有關(guān)問題. 教學(xué)過(guò)程: Ⅰ.復(fù)習(xí)回顧 經(jīng)過(guò)前面的學(xué)習(xí),我們知道,在等差數(shù)列中: (1)an-an-1=d(n≥1),d為常數(shù). (2)若a,A,b為等差數(shù)列,則A=. (3)若m+n=p+q,則am+an=ap+aq.(其中m,n,p,q均為正整數(shù)) Ⅱ.講授新課 隨著學(xué)習(xí)數(shù)列的深入,我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題. 例:如圖,一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放120支,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆? 這是一堆放鉛筆的V形架,這形同前面所接觸過(guò)的堆放鋼管的示意圖,看到此圖,大家都會(huì)很快捷地找到每一層的鉛筆數(shù)與層數(shù)的關(guān)系,而且可以用一個(gè)式子來(lái)表示這種關(guān)系,利用它便可以求出每一層的鉛筆數(shù).那么,這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆呢?這個(gè)問題又該如何解決呢?經(jīng)過(guò)分析,我們不難看出,這是一個(gè)等差數(shù)求和問題? 首先,我們來(lái)看這樣一個(gè)問題:1+2+3+…+100=? 對(duì)于這個(gè)問題,著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)曾很快求出它的結(jié)果,你知道他是怎么算的嗎? 高斯的算法是:首項(xiàng)與末項(xiàng)的和:1+100=101, 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)的和:2+99=101, 第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和:3+98=101, …… 第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和:50+51=101,于是所求的和是101=5050. 這個(gè)問題,它也類似于剛才我們所遇到的問題,它可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,…,n,…的前100項(xiàng)的和.在上面的求解中,我們發(fā)現(xiàn)所求的和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來(lái)表示,且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和,這就啟發(fā)我們?nèi)绾稳デ笠话愕炔顢?shù)列的前n項(xiàng)的和.如果我們可歸納出一計(jì)算式,那么上述問題便可迎刃而解. 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,即Sn=a1+a2+…+an ① 把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái),Sn又可寫成Sn=an+an-1+…+a1 ② ①+②2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1) 又∵a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3=…=an+a1 ∴2Sn=n(a1+an) 即:Sn= 若根據(jù)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,Sn可寫為:Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d]①,把項(xiàng)的次序反過(guò)來(lái),Sn又可寫為:Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d ②],把①、②兩邊分別相加,得 2Sn==n(a1+an) 即:Sn=. 由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式Sn=. 也就是說(shuō),等差數(shù)列的前n項(xiàng)和等于首末兩項(xiàng)的和與項(xiàng)數(shù)乘積的一半. 用這個(gè)公式來(lái)計(jì)算1+2+3+…+100=?我們有S100==5050. 又∵an=a1+(n-1)d, ∴Sn===na1+d ∴Sn=或Sn=na1+d 有了此公式,我們就不難解決最開始我們遇到的問題,下面我們看具體該如何解決? 分析題意可知,這個(gè)V形架上共放著120層鉛筆,且自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列,可記為{an},其中a1=1,a120=120,n=120. 解:設(shè)自上而下各層的鉛筆成等差數(shù)列{an},其中n=120,a1=1,a120=120. 則:S120==7260 答案:這個(gè)V形架上共放著7260支鉛筆. 下面我們?cè)賮?lái)看一例題: 等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前多少項(xiàng)的和是54? 分析:先根據(jù)等差數(shù)列所給出項(xiàng)求出此數(shù)列的首項(xiàng),公差,然后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求解. 解:設(shè)題中的等差數(shù)列為{an},前n項(xiàng)為的Sn,由題意可知:a1=-10,d=(-6)-(-10)=4,Sn=54 由等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式可得: -10n+4=54 解之得:n1=9,n2=-3(舍去) 答案:等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前9項(xiàng)的和是54. [例1]在等差數(shù)列{an}中, (1)已知a2+a5+a12+a15=36,求S16 (2)已知a6=20,求S11. 分析:(1)由于本題只給了一個(gè)等式,不能直接利用條件求出a1,a16,d,但由等差數(shù)列的性質(zhì),可以直接利用條件求出a1+a16的和,于是問題得以解決. (2)要求S11只需知道a1+a11即可,而a1與a11的等差中項(xiàng)恰好是a6,從而問題獲解. 解:(1)∵a2+a15=a5+a12=a1+a16=18 ∴S16==818=144. (2)∵a1+a11=2a6 ∴S11==11a6=1120=220. [例2]有一項(xiàng)數(shù)為2n+1的等差數(shù)列,求它的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的比. 分析一:利用Sn=na1+d解題. 解法一:設(shè)該數(shù)列的首項(xiàng)為a1,公差為d,奇數(shù)項(xiàng)為a1,a1+2d,…其和為S1,共n+1項(xiàng);偶數(shù)項(xiàng)為a1+d,a1+3d,a1+5d,…,其和為S2,共n項(xiàng). ∴==. 分析二:利用Sn=解題. 解法二:由解法一知: S1=,S2= ∵a1+a2n+1=a2+a2n ∴= [例3]若兩個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和之比是(7n+1)∶(4n+27),試求它們的第11項(xiàng)之比. 分析一:利用性質(zhì)m+n=p+qam+an=ap+aq解題. 解法一:設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn. 則:a11=,b11=, ∴===== 分析二:利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn解題. 解法二:由題設(shè),令Sn=(7n+1)nk,Tn=(4n+27)nk 由an=Sn-Sn-1=k(14n-6),得a11=148k,n≥2 bn=Tn-Tn-1=k(8n-23),得b11=111k,n≥2, ∴==. 評(píng)述:對(duì)本例,一般性的結(jié)論有:已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn,則: (1)=;(2) =. [例4]等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30,前2m項(xiàng)和為100,則它的前3m項(xiàng)和為 A.30 B.170 C.210 D.260 答案:C 分析一:把問題特殊化,即命m=1來(lái)解. 解法一:取m=1,則a1=S1=30,a2=S2-S1=70 ∴d=a2-a1=40,a3=a2+d=70+40=110,S3=a1+a2+a3=210 分析二:利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+d進(jìn)行求解. 解法二:由已知,得 解得a1=+,d= ∴S2m=3ma1+d=210. 分析三:借助等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=及性質(zhì)m+n=p+qam+an=ap+aq求解. 解法三:由已知得 由③-②及②-①結(jié)合④,得S3m=210. 分析四:根據(jù)性質(zhì):“已知{an}成等差數(shù)列,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…,Skn-S(k-1)n,…(k≥2)成等差數(shù)列”解題. 解法四:根據(jù)上述性質(zhì),知Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列. 故Sm+(S3m-S2m)=2(S2m-Sm), ∴S3m=3(S2m-Sm)=210. 分析五:根據(jù)Sn=an2+bn求解. 解法五:∵{an}為等差數(shù)列, ∴設(shè)Sn=an2+bn, ∴Sm=am2+bm=30,S2m=4m2a+2mb=100 得a=,b= ∴S3m=9m2a+3mb=210. 分析六:運(yùn)用等差數(shù)列求和公式,Sn=na1+d的變形式解題. 解法六:由Sn=na1+d,即=a1+d 由此可知數(shù)列{}也成等差數(shù)列,也即,,成等差數(shù)列. 由=+,Sm=30,S2m=100 ∴S3m=210. 評(píng)述:一般地,對(duì)于等差數(shù)列{am}中,有= (p≠q). [例5]在a,b之間插入10個(gè)數(shù),使它們同這兩個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,求這10個(gè)數(shù)的和. 分析:求解的關(guān)鍵有二:其一是求和公式的選擇;其二是用好等差數(shù)列的性質(zhì). 解法一:設(shè)插入的10個(gè)數(shù)依次為x1,x2,x3,…,x10,則a,x1,x2,…,x10,b成等差數(shù)列. 令S=x1+x2+x3+…+x10,需求出首項(xiàng)x1和公差d. ∵b=a12=a1+11d ∴d=,x1=a+= ∴S=10x1+d=10+=5(a+b) 解法二:設(shè)法同上,但不求d.依x1+x10=a+b ∴S==5(a+b) 解法三:設(shè)法同上,正難則反 ∴S=S12-(a+b)=-(a+b)=5(a+b) 評(píng)述:求和問題靈活多變,要注意理解和運(yùn)用. [例6]在凸多邊形中,已知它的內(nèi)角度數(shù)組成公差為5的等差數(shù)列,且最小角是 120,試問它是幾邊形? 解:設(shè)這是一個(gè)n邊形,則 n=9 所以這是一個(gè)九邊形. Ⅲ.課堂練習(xí) 課本P42練習(xí)1,2,3,4. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要熟練掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式: Sn==na1+d及其獲取思路. Ⅴ.課后作業(yè) 課本P45習(xí)題 1,2,3- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問題本站不予受理。
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