2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案 新人教A版高考要求: 1.理解對數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù),了解對數(shù)在簡化運(yùn)算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念,理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn),知道指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)(a0,a1),體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型知識梳理1.對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義如果axN(a0且a1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作_ xlogaN _,其中_ a _叫做對數(shù)的底數(shù),_ N _叫做真數(shù).真數(shù)N為正數(shù)(負(fù)數(shù)和零無對數(shù))說明:實(shí)質(zhì)上,上述對數(shù)表達(dá)式,不過是指數(shù)函數(shù)的另一種表達(dá)形式,例如:與 這兩個(gè)式子表達(dá)是同一關(guān)系,因此,有關(guān)系式“”同“+”“”“”等符號一樣,表示一種運(yùn)算,即已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算,這種運(yùn)算叫對數(shù)運(yùn)算,不過對數(shù)運(yùn)算的符號寫在數(shù)的前面。對數(shù)的底數(shù)和真數(shù)從對數(shù)的實(shí)質(zhì)看:如果abN(a0且a1),那么b叫做以a為底N的對數(shù),即blogaN.它是知道底數(shù)和冪求指數(shù)的過程.底數(shù)a從定義中已知其大于0且不等于1;N在對數(shù)式中叫真數(shù),在指數(shù)式中,它就是冪,所以它自然應(yīng)該是大于0的.(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點(diǎn)記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a0且a1)logaN常用對數(shù)底數(shù)為_10_lg_N自然對數(shù)底數(shù)為_e_ln_N2對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)(a0且a1)_ N _;_0_;_ N _; _1_. (2)對數(shù)的重要公式換底公式:logbN_(a,b均大于零且不等于1);logab,推廣ogablogbclogcd_ logad _.(3)對數(shù)的運(yùn)算法則如果a0且a1,M0,N0,那么 loga(MN)_ logaMlogaN _;loga_ logaMlogaN_;logaMn_ nlogaM _ (nR);logaM.點(diǎn)評:(1)要熟練掌握公式的運(yùn)用和逆用。(2)在使用公式的過程中,要注意公式成立的條件。例如:真數(shù)為兩負(fù)數(shù)的積,不能寫成=3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) 對數(shù)函數(shù)定義:函數(shù)稱對數(shù)函數(shù),說明:(1)一個(gè)函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的條件是:系數(shù)為1; 底數(shù)為大于0且不等于1的正常數(shù); 變量為真數(shù). 在對數(shù)式中,真數(shù)必須是大于0的,所以對數(shù)函數(shù)ylogax的定義域應(yīng)為x|x0. 對數(shù)型函數(shù)的定義域:特別應(yīng)注意的是:真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。函數(shù)圖像:1)對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)(0,1),且圖象都在第一、四象限;2)對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線(當(dāng)時(shí),圖象向上無限接近軸;當(dāng)時(shí),圖象向下無限接近軸);3)對于相同的,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。a10a1時(shí),_ y0_當(dāng)0x1時(shí),_ y1時(shí),_ y0_當(dāng)0x0_(6)在(0,)上是_增_(7)在(0,)上是_減_變化對圖象的影響在第一象限內(nèi),從順時(shí)針方向看圖象,逐漸增大;在第四象限內(nèi),從順時(shí)針方向看圖象,逐漸減小.奇偶性非奇非偶4.反函數(shù)反函數(shù)及其性質(zhì)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱。若函數(shù)上有一點(diǎn),則必在其反函數(shù)圖象上,反之若在反函數(shù)圖象上,則必在原函數(shù)圖象上。由對數(shù)的定義容易知道:指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)_.ylogax _互為反函數(shù),它們的圖象關(guān)于直線_yx _對稱. 由指數(shù)函數(shù)的定義域,值域,容易得到對數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?,值域?yàn)?,題型分析題型一對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化例1(1)下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式; ; (2)下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式; ;(3)求下列各式的; ; 解析由,得,即;由,得,即,故;由,得故;由,得故(4)若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。點(diǎn)評對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù),而對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題重要手段。題型二對數(shù)式的化簡與求值例2(1)計(jì)算下列各式.lg 25lg 2lg 50(lg 2)2;(log32log92)(log43log83).解原式(lg 2)2(1lg 5)lg 2lg 52(lg 2lg 51)lg 22lg 5(11)lg 22lg 52(lg 2lg 5)2.原式.原式.(2)已知求解法一:,解法二:(3)設(shè),求的值.解析(1), 探究提高(1)在對數(shù)運(yùn)算中,先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后再運(yùn)用對數(shù)運(yùn)算法則化簡合并,在運(yùn)算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化.(2)熟練地運(yùn)用對數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計(jì)算、化簡、證明常用的技巧.變式訓(xùn)練2:(1)計(jì)算:log2.56.25lgln= (2)求下列各式的值:;解析原式;原式=解:原式 (3)已知f(3x)4xlog23233,求f(2)f(4)f(8)f(28)的值.解析令3xt,f(t)4log2t233,f(2)f(4)f(8)f(28)4(128)82334361 8642 008.(4)設(shè)2a5bm,且2,則m的值為()A.B10C20D100(5)已知均大于1,求解析由得由得,由得,即,解得題型三對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)探究點(diǎn)三含對數(shù)式的大小比較例3(1)比較下列各組數(shù)的大小log3與log5;log1.10.7與log1.20.7.解(1)log3log510,log3log5.方法一00.71,1.1log0.71.1log0.71.2.,由換底公式可得log1.10.7log1.20.7.方法二作出ylog1.1x與ylog1.2x的圖象,如圖所示,兩圖象與x0.7相交可知log1.10.7bcBbac Cacb Dcab (3),則( )ABCD解析, (1)設(shè)alog3,blog2,clog3,則()AabcBacb CbacDbca解:alog31,blog23,則b1,clog32bc.(2)設(shè)a、b、c均為正數(shù),且2a,()b, ()clog2c,則 () Aabc Bcba Ccab Dba1,logb()b(0,1),log2c()c(0,1)0a,b1,1c2. 故abc.(3)設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上,f(2x)f(x),且當(dāng)x1時(shí),f(x)ln x,則有 ()A.f()f(2)f() B.f()f(2)f() C.f()f()f(2) D.f(2)f()|1|1|,f()f()f(2)(4)已知,則有( )ABCD解析,同理.,即故選D。(5)已知0ab1n _解析m0,n0,logaclogcblogabn.點(diǎn)評:用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小(1)同底數(shù)的兩個(gè)對數(shù)值的大小比較例如,比較logaf(x)與logag(x)的大小,其中a0且a1.若a1,則logaf(x)logag(x)f(x)g(x)0. 若0alogag(x)0f(x)g(x)(2)同真數(shù)的對數(shù)值大小關(guān)系如圖:圖象在x軸上方的部分自左向右底逐漸增大,即0cd1a0且a1)的圖象過兩點(diǎn)(1,0)和(0,1),則a_2_,b_2_.(3)函數(shù)f(x)(x22x3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_(,1)_求解與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟:確定定義域;弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)yf(u),ug(x);分別確定這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若這兩個(gè)函數(shù)同增或同減,則yf(g(x)為增函數(shù),若一增一減,則yf(g(x)為減函數(shù),即“同增異減”(4).函數(shù)y(1)的圖象關(guān)于()Ay軸對稱 Bx軸對稱 C原點(diǎn)對稱D直線yx對稱(5)若函數(shù)是奇函數(shù),則解:由于是奇函數(shù),即,又, (6)已知函數(shù),若,則等于( )ABC2D2題型四對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用例5(1)已知、為正數(shù),且,求的取值范圍.解析,上式關(guān)于的方程有實(shí)根。. ,或或(2)已知函數(shù)f(x)loga(82x) (a0且a1).(1)若f(2)2,求a的值;(2)當(dāng)a1時(shí),求函數(shù)yf(x)f(x)的最大值.解(1)f(2)loga4,依題意f(2)2,則loga42,a2.(2)由題意知82x0,解得x0知,x3,函數(shù)yf(x)f(x)的定義域?yàn)?3,3).又yf(x)f(x)loga(82x)loga(82x)loga658(2x2x),2x2x2,當(dāng)且僅當(dāng)x0時(shí)取等號,01時(shí),函數(shù)yf(x)f(x)在x0處取得最大值loga49.探究提高本題的求解體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的應(yīng)用,主要涉及對數(shù)式的求值,對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運(yùn)用以及與其他知識的結(jié)合(如不等式、指數(shù)函數(shù)等).變式訓(xùn)練5 (1)已知函數(shù)f(x)loga(x1) (a1),若函數(shù)yg(x)圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.寫出函數(shù)g(x)的解析式;當(dāng)x0,1)時(shí)總有f(x)g(x)m成立,求m的取值范圍.解(1)設(shè)P(x,y)為g(x)圖象上任意一點(diǎn),則Q(x,y)是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn),Q(x,y)在f(x)的圖象上,yloga(x1),即yg(x)loga(1x).(2)f(x)g(x)m,即logam.設(shè)F(x)loga,x0,1),由題意知,只要F(x)minm即可.F(x)在0,1)上是增函數(shù),F(xiàn)(x)minF(0)0. 故m0即為所求.(2)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x4時(shí),f(x)x;當(dāng)x4時(shí),f(x)f(x1)則f(2log23)的值為()A.B.C.D.解:因?yàn)?2log234,故f(3log23)3log233.(3)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在0,)上遞增,f()0,則滿足0的x的取值范圍是()A(0,)B(0,)(2,) C(0,)(,2)D(0,)解:由題意可得:f(x)f(x)f(|x|),f(|logx|)f(),f(x)在0,)上遞增,于是|logx|,解得x的取值范圍是(0,)(2,)(4)函數(shù)yloga(x3)1 (a0且a1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mxny10上(其中mn0),則的最小值為_8_.(5)已知函數(shù)f(x)|lg x|,若0ab,且f(a)f(b),則a2b的取值范圍是 ()A(2,)B2,) C(3,)D3,)解析:畫出函數(shù)f(x)|lg x|的圖象如圖所示0ab,f(a)f(b),0a1,lg a0.由f(a)f(b),lg alg b ,ab1.b,a2ba,又0a13,即a2b3.(6)已知函數(shù)f(x)loga(1ax)(a0,a1)解關(guān)于x的不等式:loga(1ax)f(1);求證:函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè);求證:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)是f(x)圖象上的兩點(diǎn),求證:直線AB的斜率小于0. 解f(x)loga(1ax),f(1)loga(1a)1a0.0aloga(1a),即0x0,得ax1, 當(dāng)a1時(shí),x0,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,0) ,此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象在y軸的右左側(cè); 當(dāng)0a0,即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,),此時(shí)函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的右側(cè). 函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè).證明:設(shè)x10,ax1時(shí),f(x)的定義域?yàn)?,0);0a1時(shí),f(x)的定義域?yàn)?0,)當(dāng)0ax10,1.0.f(x2)f(x1),即y21時(shí),也有y2y1.綜上:y2y1,即y2y10.kAB0且a1)等價(jià)于f(x)g(x),但要注意驗(yàn)根對于logaf(x)logag(x)等價(jià)于0a1時(shí),(2)形如F(logax)0、F(logax)0或F(logax)0,且a1)與對數(shù)函數(shù)ylogax(a0,且a1)互為反函數(shù),應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個(gè)方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì),要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象.一、選擇題1.已知函數(shù)f(x)axlogax(a0,a1)在1,2上的最大值與最小值之和為loga26,則a 的值為 ()A. B. C.2 D.4解:當(dāng)x0時(shí),函數(shù)ax,logax的單調(diào)性相同,因此函數(shù)f(x)axlogax是(0,)上的單調(diào)函數(shù),f(x)在1,2上的最大值與最小值之和為f(1)f(2)a2aloga2,由題意得a2aloga26loga2.即a2a60,解得a2或a3(舍去)2.已知函數(shù)f(x),若ab,且f(a)f(b),則ab的取值范圍是 ()A.(1,) B. C.(2,) D.3. 設(shè)alog32,bln 2,c5,則()AabcBbca CcabDcb1,log2e1,log23log2e.1,0ablog3,a.bln 2ln ,b. c5,caf(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,0)(0,1)B(,1)(1,)C(1,0)(1,)D(,1)(0,1)解:當(dāng)a0時(shí),f(a)log2a,f(a),f(a)f(a),即log2alog2, a,解得a1.當(dāng)af(a),即log2(a),a,解得1a0,由得1a1.二、填空題6若log2a0且a1)滿足對任意的x1、x2,當(dāng)x10,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(1,2)_.8已知函數(shù)f(x)lg在區(qū)間1,2上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1,2)_解析因?yàn)閒(x)lg在區(qū)間1,2上是增函數(shù),所以g(x)a在區(qū)間1,2上是增函數(shù),且g(1)0,于是a20,即1a0,且a1),若f(x1x2x2 013)8,則f(x)f(x)f(x)_16_.11.已知函數(shù)f(x)logaxxb (a0,且a1).當(dāng)2a3b0且a1.(1)求f(x)的定義域;(2)判斷f(x)的奇偶性并予以證明;(3)若a1時(shí),求使f(x)0的x的解集.解(1)f(x)loga(x1)loga(1x),則解得1x1.故所求函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|1x1(2)由(1)知f(x)的定義域?yàn)閤|1x1時(shí),f(x)在定義域x|1x01.解得0x0的x的解集是x|0x1,解得a2.所以a的取值范圍是(,1)(2,).14已知函數(shù)f(x)lg(axbx)(a1b0)(1)求yf(x)的定義域;(2)在函數(shù)yf(x)的圖象上是否存在不同的兩點(diǎn),使得過這兩點(diǎn)的直線平行于x軸;(3)當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí),f(x)在(1,)上恒取正值解:(1)由axbx0,得()x1,且a1b0,得1,所以x0,即f(x)的定義域?yàn)?0,)(2)任取x1x20,a1b0,則0,所以0,即故f(x1)f(x2)所以f(x)在(0,)上為增函數(shù)假設(shè)函數(shù)yf(x)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A(x1,y1)、B(x2,y2),使直線平行于x軸,則x1x2,y1y2,這與f(x)是增函數(shù)矛盾故函數(shù)yf(x)的圖象上不存在不同的兩點(diǎn)使過兩點(diǎn)的直線平行于x軸(3)因?yàn)閒(x)是增函數(shù),所以當(dāng)x(1,)時(shí),f(x)f(1)這樣只需f(1)lg(ab)0,即當(dāng)ab1時(shí),f(x)在(1,)上恒取正值15.已知函數(shù)f(x2-3)=lg,(1)f(x)的定義域; (2)判斷f(x)的奇偶性;(3)求f(x)的反函數(shù); (4)若f=lgx,求的值。解:(1)f(x2-3)=lg,f(x)=lg,又由得x2-33, f(x)的定義域?yàn)椋?,+)。(2)f(x)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱, f(x)為非奇非偶函數(shù)。(3)由y=lg得x=,x3,解得y0, f-1(x)=(4) f=lg,,解得(3)=6。16設(shè),(1)求;(2)求證:在上為增函數(shù).解析(1)設(shè),則于是因此(2)設(shè),則 即 ,即在上為增函數(shù)。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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