2019-2020年高三數(shù)學上冊 15.5《幾何體的體積》教案(2) 滬教版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學上冊 15.5幾何體的體積教案(2) 滬教版一、教學內容分析錐體的體積是學習祖暅原理與柱體體積之后,對幾何體體積的進一步探索.其中三棱錐體積在這之中又尤為重要,起著承上啟下的作用.推導三棱錐的體積要用到前一課時的內容;同時,n棱錐乃至圓錐的體積公式又是建立在三棱錐體積之上的.所以處理好三棱錐的體積問題,是這堂課的重中之重.二、教學目標設計學生通過具體實驗感知三棱錐體積公式,通過嚴謹證明確認三棱錐體積公式,通過對新知識的應用推廣得到n棱錐的體積公式,通過具體實例初步應用錐體體積公式.能應用割補法求體積以及體積法求點到面的距離,在這個過程中,提高分析、綜合、抽象、概括等邏輯推理能力.三、教學重點及難點三棱錐體積公式及其探求.四、教學流程設計復習已學知識做好上課準備通過實驗發(fā)現(xiàn)規(guī)律提出質疑嚴謹證明繼續(xù)推廣特殊到一般簡單應用鞏固公式課堂小結布置作業(yè)五、教學過程設計一、情景引入1、復習祖暅原理:體積可看成是有面積疊加而成,用一組平行平面截兩個空間圖形,若在任意等高處的截面面積都對應相等,則兩空間圖形的體積必然相等.2、柱體體積公式:V棱柱=Sh3、問題:錐體的體積公式是什么?會不會和柱體的體積有什么聯(lián)系?實驗:如圖取一個三棱錐教具(無底面ABC),一個與之同底等高的三棱柱教具(無底面ABC)(教具可用硬板紙制作),以及黃沙若干.BCAOBCAOPQ1用三棱錐盛滿黃沙,倒入三棱柱容器中,發(fā)現(xiàn)倒三次正好把三棱柱容器填滿.從這個實驗中,學生猜想三棱錐的體積公式為V三棱錐=Sh這個實驗的結果到底是一個美麗的巧合還是一個必然的結果?二、學習新課問題1:從猜想的三棱錐體積公式為V三棱錐=Sh看,體積只和三棱錐底面積和高有關,而與底面三角形的形狀無關.那么,上述實驗中的三棱柱不變,三棱錐變成與原三棱錐O-ABC等底等高的三棱錐P-DEF,結果是否會不變呢?解決此問題,即要證明等底等高的三棱錐的體積相等.已知三棱錐O-ABC和P-DEF的底面積都是S,高都是h.求證:三棱錐O-ABC和P-DEF的體積相等.證明:把兩個三棱錐的底面都放在平面上,任意作平面,設平面截三棱錐O-ABC所得的截線為三角形ABC,其面積為S1;平面截三棱錐P-DEF所得的截線為三角形DEF,其面積為S2.如果三棱錐的頂點O和P與平面的距離為h1,那么推得:和,于是得,相似比是,同理可得,相似比也是.由相似形的性質得,.即.因為任意平行于底面的平面截兩個三棱錐時,所得的截面面積相等,所以由祖暅原理得三棱錐O-ABC和P-DEF的體積相等,即等底等高的三棱錐的體積相等.問題2:為什么三棱錐的體積公式恰巧為V三棱錐=Sh,而不是?觀察實驗中的三棱錐O-ABC,正好含在三棱柱OPQ-ABC中,于是我們通過連接OB,OC把三棱柱OPQ-ABC中的三棱錐O-ABC找出來,發(fā)現(xiàn)三棱柱OPQ-ABC是由三棱錐O-ABC和四棱錐O-BCQP組成的.進一步的,連接BQ,那么此時比較明顯的有:VOPQ-ABC=VO-ABC+VB-OPQ+VO-BCQ由于等底等高的三棱錐的體積相等,故有:VO-ABC=VB-OPQ =VO-BPQ=VO-BCQBCAOBCAOPQ1 因此,V三棱錐=Sh請學生敘述如果連接PC,怎樣證明?平面幾何中求面積時,我們經(jīng)常會用到割補法.同樣的,立體幾何求體積也會用到此法.上述的證明方法,本質上就是把一個三棱錐補成三棱柱后,再加以證明,是求體積的“補”法.PABCD推廣1:四棱錐的體積公式呢?如果也采用三棱錐探求體積的方法,是否可行?三棱錐體積的證明中用到了一個三棱錐非常個性化的特征:可以以任何一個頂點作為三棱錐的頂點.這是其它任何棱錐所不具備的特征.那么,我們已經(jīng)知道,并且證明了三棱錐的體積,四棱錐中有沒有三棱錐呢?通過連接AC,可得:VP-ABCD=VP-ABC+VP-ACD=( SABC+SACD)h=SABCDh其中h是P到底面ABCD的距離,即四棱錐的高.推廣2:n棱錐的體積公式呢? 基本上可由學生自行完成.課本P39也講述的非常清楚.總結:V棱錐=Sh三、鞏固應用例:在正方體ABCD-ABCD中,已知棱長為a,求:(1)三棱錐B-ABC的體積;(2)這個三棱錐的體積是正方形體積的幾分之幾;(3)B到平面ABC的距離?(用2種方法答)解:(1)由正方體棱長為a,得SABC=a,高h=a.所以VB-ABC=SABCh=aa=a.(2)因為V正方體=a,所以VB-ABCV正方體=.(3)方法一:如圖,過B作BO面ABC于O,則O必為ABC的重心.連AO并延長交BC于M,因為 AB=BC=CA=a,所以 AM=a=a,OA=AM=a.在RtAOB中,BO=,即B到面ABC的距離為a.方法二:設B到面ABC距離為h,因為 AB=BC=CA=a,所以 SABC= (a)=a,因此 ah=VB-ABC= VB-ABC =aa=a,故h=a 即B到面ABC的距離為a.方法二充分運用了三棱錐的特征:可以以任何一個頂點作為三棱錐的頂點.這為我們求解頂點到底面的距離提供了捷徑,稱之為體積法.四、課堂小結1、割補法求體積2、V棱錐=Sh3、體積法求點到面的距離五、作業(yè)布置課本P41練習15.5(2)六、教學設計說明數(shù)學是源于生活的.選用實際的實驗操作能使學生對V棱錐=Sh有一個形象的、具體化的認識.數(shù)學是嚴謹?shù)?發(fā)現(xiàn)規(guī)律之后,需要的是嚴格的證明,證明的兩個層次,老師要加以把關.證明過程中有使用了很多已學的立體幾何知識,是一個很好的回顧與應用的過程;學生的空間想象能力也能在證明的過程中得以提高.數(shù)學是發(fā)展的.在三棱錐的基礎上,繼續(xù)對廣,四棱錐、n棱錐的體積公式,對比探求體積的“補”法與“割”法.數(shù)學是為生活服務的.應用棱錐公式,解決實際問題.- 配套講稿:
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