2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第六課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(二) 蘇教版必修5.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 第六課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案(二) 蘇教版必修5教學(xué)目標(biāo):進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,了解等差數(shù)列的一些性質(zhì),并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題;提高學(xué)生的應(yīng)用意識(shí).教學(xué)重點(diǎn):熟練掌握等差數(shù)列的求和公式.教學(xué)難點(diǎn):靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題.教學(xué)過(guò)程:.復(fù)習(xí)回顧通項(xiàng)公式:ana1(n1)d,求和公式:Snna1d.講授新課下面結(jié)合這些例子,來(lái)看如何應(yīng)用上述知識(shí)解決一些相關(guān)問(wèn)題.例1求集合Mmm7n,nN*,且m100的元素個(gè)數(shù),并求這些元素的和.分析:滿(mǎn)足條件的n的取值個(gè)數(shù)即為集合M的元素個(gè)數(shù),這些元素若按從小到大排列,則是一等差數(shù)列.解:由m100,得7n100,即n14所以滿(mǎn)足上面不等式的正整數(shù)n共有14個(gè),即集合M中的元素共有14個(gè),將它們從小到大可列出,得:7,72,73,74,714,即:7,14,21,28,98這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列,記為an,其中a17,a1498,n14則S14735答:集合M中共有14個(gè)元素,它們和等于735.這一例題表明,在小于100的正整數(shù)中共有14個(gè)數(shù)是7的倍數(shù),它們的和是735.例2已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,由此可以確定求其前n項(xiàng)和的公式嗎?分析:將已知條件代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式后,可得到兩個(gè)關(guān)于a1與d的關(guān)系,然后確定a1與d,從而得到所求前n項(xiàng)和的公式.解:由題意知S10310,S201220將它們代入公式Snna1d,得到解這個(gè)關(guān)于a1與d的方程組,得到a14,d6所以Sn4n63n2n這就是說(shuō),已知S10與S20,可以確定這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式,這個(gè)公式是Sn3n2n.下面,同學(xué)們?cè)賮?lái)思考這樣一個(gè)問(wèn)題:例3已知數(shù)列an是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和.求證:S6,S12S6,S18S12成等差數(shù)列,設(shè)其kN*,Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列嗎?解:設(shè)an的首項(xiàng)是a1,公差為d,則S3a1a2a3S6S3a4a5a6(a13d)(a23d)(a33d)(a1a2a3)9dS39dS9S6a7a8a9(a43d)(a53d)(a63d)(a4a5a6)9d(S6S3)9dS318dS3,S6S3,S9S6成等差數(shù)列.同理可得Sk,S2kSk,S3kS2k成等差數(shù)列.Ska1a2ak(S2kSk)ak+1ak+2a2k(a1kd)(a2kd)(akkd)(a1a2ak)k2dSkk2d(S3kS2k)a2k+1a2k+2a3k(ak+1kd)(ak+2kd)(a2kkd)(ak+1ak+2a2k)k2d(S2kSk)k2dSk,S2kSk,S3kS2k是以Sk為首項(xiàng),k2d為公差的等差數(shù)列.例4已知數(shù)列an是等差數(shù)列,a10,S9S17,試問(wèn)n為何值時(shí),數(shù)列的前n項(xiàng)和最大?最大值為多少?分析:要研究一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大(?。﹩?wèn)題,有兩條基本途徑;其一是利用Sn是n的二次函數(shù)關(guān)系來(lái)考慮;其二是通過(guò)考察數(shù)列的單調(diào)性來(lái)解決.解法一:S9S17,S99a136d,S1717a1136d9a136d17a1136d,8a1100d,即da10Snna1dna1(a1)na1a1a1 (n226n)a1 (n13)2a1a10, 當(dāng)n13,Sn有最大值.最大值為a1. 解法二:由a10,d0,可知此數(shù)列為從正項(xiàng)開(kāi)始的遞減數(shù)列:a1a2a3a4故n在某一時(shí)刻,必然會(huì)出現(xiàn)負(fù)項(xiàng),此時(shí)前n項(xiàng)的和開(kāi)始減少,因此,要使Sn最大,n必須使得an0,且an+10.即 解得 n. n13此時(shí),Sn最大,S1313a1da1.評(píng)述:解法一利用Sn是n的二次函數(shù)關(guān)系,歸納為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題,不過(guò)要注意自變量n是正整數(shù);解法2是從研究數(shù)列的單調(diào)性及項(xiàng)的正負(fù)進(jìn)而研究前n項(xiàng)和Sn的最大值,方法更具有一般性.例5在數(shù)列an中,a11,an+1,求數(shù)列anan+1的前n項(xiàng)和.分析:要求數(shù)列anan+1的前n項(xiàng)和,需要先求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.解:由已知得為首項(xiàng)為 1,公差為的等差數(shù)列.1(n1),anSna1a2a2a3anan+14()()()4().例6設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,已知a312,S120,S130.(1)求公差d的取值范圍;(2)指出S1,S2,S12中哪一個(gè)值最大?并說(shuō)明理由.(1)分析:由S120,S130列不等式組求之.解:依題設(shè)有即將a312,即a1122d代入上式得解得d3(2)分析一:寫(xiě)出Sn的表達(dá)式Snf(n)An2Bn.配方確定Sn的最大值.解法一:Snna1dn(122d)dn(5)2(5)2 d0,n (5)2最小時(shí),Sn最大.當(dāng)d3時(shí),6(5)6.5正整數(shù)n6時(shí),n (5)2y最小,S6最大.分析二:由d0知an是單調(diào)遞減的,要使Sn最大,應(yīng)有an0,an+10.解法二:由d0,可知a1a2a12a13要使1n12中存在自然數(shù)n,使得an0,an+10,則Sn就是S1,S2,S12中的最大值.由知a6a70,a70a6a70,a60,a70.故在S1,S2,S12中S6的值最大.解法三:由S120,S130得, 即也即a60且a70,S6最大.解法四:由a1122d,d3得,即5.5n7nN*,n6,即S6最大.例7首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列an,它的前三項(xiàng)之和與前十一項(xiàng)之和相等,問(wèn)此數(shù)列前多少項(xiàng)之和最大?解法一:由S3S11得:3a1d11a1d,解之得da10Snna1da1n2a1na1(n7)2a1故當(dāng)n7時(shí),Sn最大,即前7項(xiàng)之和最大.解法二:由解得:n,n7,即前7項(xiàng)之和最大.解法三:由da10,a80. 前7項(xiàng)之和最大.評(píng)述:解法三利用等差數(shù)列的性質(zhì),解得簡(jiǎn)單,易懂.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn,在d0且an+10的n值;二是由Snna1dn2(a1)n,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.例8數(shù)列an是等差數(shù)列,a150,d0.6.(1)求從第n項(xiàng)開(kāi)始有an0;(2)求此數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值.分析:對(duì)于(1)實(shí)質(zhì)上是解一個(gè)不等式 ,但要注意nN*.對(duì)于(2)實(shí)際上是研究Sn隨n的變化規(guī)律,由于等差數(shù)列中Sn是關(guān)于n的二次函數(shù),可以用二次函數(shù)方法處理,也可以由an的變化,推測(cè)Sn的變化.解:(1)a150,d0.6an500.6(n1)0.6n50.6.令0.6n50.60,解之得:n84.3由nN*.故當(dāng)n85時(shí),an0,即從第85項(xiàng)起以后的各項(xiàng)均小于0.(2)解法一:d0.60由(1)知a840,a850.S1S2S85S86(Sn)maxS845084(0.6)2108.4.解法二:Sn50n(0.6)0.3n250.3n0.3(n)2當(dāng)n取接近于的自然數(shù),即n84時(shí),Sn達(dá)到最大值S842108.4評(píng)述:不是常數(shù)列的等差數(shù)列,不遞增必遞減,因而若有連續(xù)兩項(xiàng)ak,ak+1異號(hào),則Sk必為Sn的最大或最小值.下面對(duì)此類(lèi)問(wèn)題作一下較為深入的探究.在非常數(shù)列的等差數(shù)列中,當(dāng)d0,d0,且a10,則有0a1a2a3an1anS1S2S3Sn1Sn0,且a10,則一定存在某一自然數(shù)k,使a1a2a3ak0ak+1ak+2an1an或a1a2a3ak0ak+1ak+2an1anS1S2Sk,且SkSk+1Sk+2SnSn的最小值是Sk.(3)若d0,必存在自然數(shù)k使a1a2a3ak0ak+1ak+2an或a1a2a3ak0ak+1ak+2an則S1S2S3Sk+1SnSn的最大值是Sk.(4)若da2a3an1anS1S2S3Sn1SnSn的最大值是S1.第二種思考:Snna1dn2(a1)n n2n()2()2由二次函數(shù)的最大、最小值知識(shí)及nN*,知:當(dāng)n取最接近的自然數(shù)時(shí),Sn取到最大值(或最小值),值得注意的是最接近的自然數(shù)有時(shí)1個(gè),有時(shí)2個(gè).例9有30根水泥電線桿,要運(yùn)往1000米遠(yuǎn)的地方開(kāi)始安裝,在1000米處放一根,以后每50米放一根,一輛汽車(chē)每次只能運(yùn)三根,如果用一輛汽車(chē)完成這項(xiàng)任務(wù),這輛汽車(chē)的行程共有多少公里?解法一:如圖所示:假定30根水泥電線桿存放M處.a1|Ma|1000(M)a2|Mb|1050(M)a3|MC|1100(M)a6a35031250(M)a30a31509(M)由于一輛汽車(chē)每次只能裝3根,故每運(yùn)一次只能到a3,a6,a9,a30這些地方,這樣組成公差為150 M,首項(xiàng)為1100的等差數(shù)列,令汽車(chē)行程為S,則有:S2(a3a6a30)2(a3a31501a31509)2(10a31509)2(110006750)m35.5(公里)答:這輛汽車(chē)行程共有35.5公里.解法二:根據(jù)題設(shè)和汽車(chē)需運(yùn)送十次,可得一等差數(shù)列an,其中a1100,d150,n10則S1010a1d7750 m所以總共行程為(77502100020)m35.5公里答:略.解法三:根據(jù)題意和汽車(chē)每次走的路程可構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列,其中a1(1000502)22200 m,a2(1000505)22500 md1502300 m項(xiàng)數(shù)共有10項(xiàng).Sn10a1d102200 m59300 m35.5(公里)答:略.例10有一種零存整取的儲(chǔ)蓄項(xiàng)目,它是每月某日存入一筆相同金額,這是零存;則到一定時(shí)期到期,可以提出全部本金及利息,這是整取,它的本利和公式如下:本利和每期存入金額存期存期(存期1)利率.(1)試解釋這個(gè)本利和公式;(2)若每月初存入100元,月利率5.1,到第12個(gè)月底的本利和是多少?(3)若每月初存入一筆金額,月利率是5.1,希望到第12個(gè)月底取得本利和xx元,那么應(yīng)每月存入多少金額?分析:存款儲(chǔ)蓄不是復(fù)利計(jì)息,若存入金額為A,月利率為p,則n個(gè)月后的利息是nAp.解:(1)設(shè)每期存入金額A,每期利率p,存的期數(shù)為n,則各期利息之和為:Ap2Ap3ApnApn(n1)Ap.連同本金,就得本利和nAn(n1)ApAnn(n1)p.(2)當(dāng)A100,p5.1,n12時(shí),本利和100(1212135.1)1239.78(元)(3)將(1)中公式變形,得A161.32(元)即每月應(yīng)存入161.32元.評(píng)述:這是兩道等差數(shù)列求和的應(yīng)用題,對(duì)于應(yīng)用問(wèn)題首先是根據(jù)問(wèn)題給出的已知條件建立數(shù)學(xué)模型,然后解此數(shù)學(xué)問(wèn)題,最后再回到應(yīng)用問(wèn)題作出結(jié)論.課堂練習(xí)課本P44練習(xí)1,2,3,4.課時(shí)小結(jié)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí),要能靈活應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式解決一些相關(guān)問(wèn)題.另外,需注意一重要結(jié)論:若一數(shù)列為等差數(shù)列,則Sk,S2kSk,S3kS2k也成等差數(shù)列.課后作業(yè)課本P45習(xí)題 4,5,6,7,8- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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