2019-2020年高三數(shù)學一輪復(fù)習講義 二次函數(shù)教案 新人教A版.doc
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2019-2020年高三數(shù)學一輪復(fù)習講義 二次函數(shù)教案 新人教A版知識梳理知識點1 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.二次函數(shù)的定義與解析式(1)二次函數(shù)的定義 形如:f(x)ax2bxc (a0)的函數(shù)叫做二次函數(shù).(2)二次函數(shù)解析式的三種形式一般式:f(x)_ ax2bxc (a0)_ _. 頂點式:f(x)_ a(xm)2n(a0)_ _.零點式:f(x)_ a(xx1)(xx2) (a0)_ _.點評:.求二次函數(shù)解析式的方法:待定系數(shù)法.根據(jù)所給條件的特征,可選擇一般式、頂點式或零點式中的一種來求.已知三個點的坐標時,宜用一般式.已知二次函數(shù)的頂點坐標或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時,常使用頂點式.已知二次函數(shù)與x軸有兩個交點,且橫坐標已知時,選用零點式求f(x)更方便.2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象函數(shù)性質(zhì)a0定義域xR(個別題目有限制的,由解析式確定)值域a0a0y,)y(,a0時,圖象與x軸有兩個交點M1(x1,0)、M2(x2,0),|M1M2|x1x2|.知識點2 二次函數(shù)、一元二次方程及一元二次不等式之間的關(guān)系當?shù)膱D像與x軸無交點無實根的解集為或者是R; 當?shù)膱D像與x軸相切有兩個相等的實根的解集為或者是R;當?shù)膱D像與x軸有兩個不同的交點有兩個不等的實根 的解集為或者是。知識點3 一元二次方程實根分布的充要條件一般地對于含有字母的一元二次方程的實根分布問題,用圖象求解,有如下結(jié)論:令()(同理討論的結(jié)論)(1) x1, x2, x2,則(3) x1b, x2b,則 (4) x1b (b),則(5)若f(x)=0在區(qū)間( ,b)內(nèi)只有一個實根,則有點評:(1)討論二次函數(shù)的區(qū)間根的分布情況一般需從三方面考慮:判別式; 區(qū)間端點的函數(shù)值的符號; 對稱軸與區(qū)間的相對位置在討論過程中,注意應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想.知識點4 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一般分為三種情況討論:(1)若對稱軸在區(qū)間左邊,則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性,只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大(?。┲?;(或利用函數(shù)的單調(diào)性直接決定函數(shù)的最大(?。┲担?)若對稱軸在區(qū)間右邊,則函數(shù)在此區(qū)間上具有單調(diào)性,只需比較的大小即可決定函數(shù)的最大(?。┲?;(3)若對稱軸在區(qū)間內(nèi),則是函數(shù)的最小值()或最大值(),再比較的大小決定函數(shù)的最大(?。┲?。點評:(1)兩個重要的結(jié)論:連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最大值和最小值;單調(diào)連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間的兩個端點處取得最值。(2)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的討論的基點是對稱軸與區(qū)間的相對位置的討論,尤其當頂點橫坐標是字母時,則應(yīng)抓住討論的基點進行討論。特別要注意二次項系數(shù)的符號對拋物線開口及結(jié)論的影響。題型一求二次函數(shù)的解析式例1已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1,f(1)1,且f(x)的最大值是8,試確定此二次函數(shù).解方法一設(shè)f(x)ax2bxc (a0),依題意有解之,得所求二次函數(shù)為y4x24x7.方法二設(shè)f(x)a(xm)2n,a0.f(2)f(1), 拋物線對稱軸為x. m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值為n8,yf(x)a28.f(2)1,a281, 解之,得a4.f(x)4284x24x7.方法三依題意知:f(x)10的兩根為x12,x21, 故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1),a0.即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值ymax8,即8,解之,得a4或a0(舍去)函數(shù)解析式為f(x)4x24x7.探究提高二次函數(shù)的解析式有三種形式:(1)一般式:f(x)ax2bxc (a0); (2)頂點式:f(x)a(xh)2k (a0);(3)兩根式:f(x)a(xx1)(xx2)(a0).變式訓練1:已知二次函數(shù)f(x)滿足:在x=1時有極值;圖象過點(0,-3),且在該點處的切線與直線2x+y=0平行。(1)求f(x)的解析式;(2)求函數(shù)g(x)=f(x2)的單調(diào)遞增區(qū)間。解:(1)設(shè)f(x)=ax2+bx+c,則f(x)=2ax+b即解得 f(x)=x2-2x-3(2)g(x)=f(x2)=x4-2x2-3,g(x)=4x3-4x=4x(x-1)(x+1)列表:x(-,-1)(-1,0)(0,1)(1,+)f(x)-+-+f(x)由表可得:函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0),(1,+)題型二 二次函數(shù)中的單調(diào)性 例2已知函數(shù)f(x)x22ax3,x4,6.(1)當a2時,求f(x)的最值;(2)求實數(shù)a的取值范圍,使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù);(3)當a1時,求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間.解(1)當a2時,f(x)x24x3(x2)21,由于x4,6,f(x)在4,2上單調(diào)遞減,在2,6上單調(diào)遞增,f(x)的最小值是f(2)1,又f(4)35,f(6)15,故f(x)的最大值是35.(2)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上,對稱軸是xa,所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù),應(yīng)有a4或a6,即a6或a4.(3)當a1時,f(x)x22x3,f(|x|)x22|x|3,此時定義域為x6,6,且f(x),f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6,單調(diào)遞減區(qū)間是6,0變式訓練2:(1).已知函數(shù)f(x)x22(a1)x2在區(qū)間(,3上是減函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍為_ (,2_(2)已知函數(shù)f(x)x2mxn的圖象過點(1,3),且f (1x)f (1x)對任意實數(shù)都成立,函數(shù)yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱.(1)求f(x)與g(x)的解析式;(2)若F(x)g(x)f(x)在(1,1上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍.解(1)f(x)x2mxn,f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxnmx2(m2)xnm1,f(1x)(1x)2m(1x)nx22x1mxmnx2(2m)xnm1.又f(1x)f(1x),m22m,即m2.又f(x)的圖象過點(1,3),312mn,即mn2,n0,f(x)x22x,又yg(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱,g(x)(x)22(x),g(x)x22x.(2)F(x)g(x)f(x)(1)x2(22)x,當10時,F(xiàn)(x)的對稱軸為x,又F(x)在(1,1上是增函數(shù)或.1或10.當10,即1時,F(xiàn)(x)4x顯然在(1,1上是增函數(shù)綜上所述,的取值范圍為(,0題型三二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值例3(1)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-2x+2,xt,t+1的最小值為g(t),求g(t)的解析式。解:(1)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,頂點坐標為(1,1)當t+11,即t0時,當即0t1時,g(t)=f(1)=1;當t1,函數(shù)在t,t+1上為增函數(shù),g(t)=f(t)=t2-2t+2,g(t)=(2)已知函數(shù)的最大值為,求的值。(2)令,對稱軸為,當,即時,函數(shù)在單調(diào)遞減,由,得(舍去)當,即時,得或(舍去)當,即時,函數(shù)在單調(diào)遞增,由,得綜上可得:的值為或(3)已知a1,若f(x)=ax2-2x+1在區(qū)間1,3上的最大值為M(a),最小值為N(a),令g(a)=M(a)-N(a), 求g(a)的函數(shù)表達式; 判斷函數(shù)g(a)的單調(diào)性,并求出g(a)的最小值。(3) f(x)=ax2-2x+1=a(x-)2+1-,由已知條件可知:13;當12時,a1。M(a)=f(3)=9a-5, N(a)=f(x)min=1-,g(a)=9a-5-(1-)=9a+-6. 當23時,a. M(a)=f(1)=a-1, N(a)=f(x)min=1-, g(a)=(a-1)-(1-)=a+-2。 g(a)= 當a1a2,g(a2)-g(a1)=(a2-a1)(1-)0,g(a)在,1上是增函數(shù),最小值是g()=.g(a)在,1上是增函數(shù),最小值是g()=.探究提高(1)二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三種類型:軸定區(qū)間定、軸動區(qū)間定、軸定區(qū)間動,不論哪種類型,解決的關(guān)鍵是考查對稱軸與區(qū)間的關(guān)系,當含有參數(shù)時,要依據(jù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系進行分類討論;(2)二次函數(shù)的單調(diào)性問題則主要依據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸進行分析討論求解.變式訓練3:(1)已知函數(shù)f(x)4x24ax4aa2在區(qū)間0,1內(nèi)有一個最大值5,求a的值.解f(x)424a,對稱軸為x,頂點為.當0,即a0時,f(x)在區(qū)間0,1上遞減,此時f(x)maxf(0)4aa2.令4aa25,即a24a50,a5或a1(舍去)當01,即0a2時,ymaxf4a,令4a5,a(0,2)當1,即a2時,f(x)在區(qū)間0,1上遞增ymaxf(1)4a2.令4a25,a12xm恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.解(1)由f(0)1得,c1. f(x)ax2bx1.又f(x1) f(x)2x,a(x1)2b(x1)1 (ax2bx1)2x,即2axab2x,因此,f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等價于x2x12xm,即x23x1m0,要使此不等式在1,1上恒成立,只需使函數(shù)g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上單調(diào)遞減,g(x)ming(1)m1,由m10得,mbc,且f(1)=0,證明f(x)的圖象與x軸有2個交點;(2) 在(1)的條件下,是否存在mR,使池f(m)= - a成立時,f(m+3)為正數(shù),若存在,證明你的結(jié)論,若不存在,說明理由.(3)若對,有2個不等實根,證明必有一個根屬于解:(1)的圖象與x軸有兩個交點.(2)的一個根,由韋達定理知另一根為,在(1,+)單調(diào)遞增,即存在這樣的m使;(3)令,則是二次函數(shù).的根必有一個屬于.例6 二次函數(shù) 的零點分別為(1)證明 (2)證明(3)若滿足不等式|,試求的取值范圍.解:(1)由題意知x、x是一元二次方程ax的兩個實根,所以x+x=-x+x=-xx.所以(1+x)(1+x)=1.(2)由方程ax(a0)的判別式=1-4a0,解得0a所以y=ax( a0)的圖象的對稱軸-0,即aa,,若xa,f(a)2a2,由知f(x)2a2,此時g(a)2a2. ()當aa,a2,若xa, f(x)2a2a2. 此時g(a)a2,綜上,得g(a).分類討論的思想是高考重點考查的數(shù)學思想方法之一.本題充分體現(xiàn)了分類討論的思想方法.在解答本題時有兩點容易造成失分:一是求實數(shù)a的值時,討論的過程中沒注意a自身的取值范圍,易出錯;二是求函數(shù)最值時,分類討論的結(jié)果不能寫在一起,不能得出最后的結(jié)論.除此外,解決函數(shù)問題時,以下幾點容易造成失分:1.含絕對值問題,去絕對值符號,易出現(xiàn)計算錯誤;2.分段函數(shù)求最值時要分段求,最后寫在一起時,沒有比較大小或不會比較出大小關(guān)系;3.解一元二次不等式時,不能與一元二次函數(shù)、一元二次方程聯(lián)系在一起,思路受阻.方法與技巧1.數(shù)形結(jié)合是討論二次函數(shù)問題的基本方法.特別是涉及二次方程、二次不等式的時候常常結(jié)合圖形尋找思路.2.含字母系數(shù)的二次函數(shù)問題經(jīng)常使用的方法是分類討論.比如討論二次函數(shù)的對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系,又例如涉及二次不等式需討論根的大小等.3.關(guān)于二次函數(shù)yf(x)對稱軸的判斷方法(1)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x,都有f(x1)f(x2),那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為x.(2)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x,都有f(ax)f(ax)成立,那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為xa(a為常數(shù)).(3)對于二次函數(shù)yf(x)對定義域內(nèi)所有x,都有f(x2a)f(x),那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為xa(a為常數(shù)).注意:(2)(3)中,f(ax)f(ax)與f(x2a)f(x)是等價的.(4)利用配方法求二次函數(shù)yax2bxc (a0)對稱軸方程為x;(5)利用方程根法求對稱軸方程.若二次函數(shù)yf(x)對應(yīng)方程f(x)0的兩根為x1、x2,那么函數(shù)yf(x)圖象的對稱軸方程為x.失誤與防范1.求二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時要經(jīng)過配方法,要熟練準確利用配方法.2.對于函數(shù)yax2bxc要認為它是二次函數(shù),就必須認定a0,當題目條件中未說明a0時,就要討論a0和a0兩種情況.3.對于二次函數(shù)yax2bxc (a0)給定了定義域為一個區(qū)間k1,k2時,利用配方法求函數(shù)的最值是極其危險的,一般要討論函數(shù)圖象的對稱軸在區(qū)間外、內(nèi)的情況,有時要討論下列四種情況:k1;k1;0,二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象可能是 ( D)2.函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件是 ()A.m2 B.m2 C.m1 D.m13.已知函數(shù)f(x)ax2(bc)x1 (a0)是偶函數(shù),其定義域為ac,b,則點(a,b)的軌跡是()A.線段 B.直線的一部分C.點 D.圓錐曲線4.設(shè)二次函數(shù)f(x)ax22axc在區(qū)間0,1上單調(diào)遞減,且f(m)f(0),則實數(shù)m的取值范圍是()A.(,0 B.2,) C.(,02,) D.0,25.已知函數(shù)f(x)2mx22(4m)x1,g(x)mx,若對于任一實數(shù)x,f(x)與g(x)的值至少有一個為正數(shù),則實數(shù)m的取值范圍是 ()A.(0,2) B.(0,8) C.(2,8) D.(,0)6.函數(shù)f(x)x2(2a1)|x|1的定義域被分成了四個不同的單調(diào)區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍是() A.a B.a D.a0,12,則實數(shù)m的取值范圍是_.13.若方程x211x30a0的兩根均大于5,則實數(shù)a的取值范圍是_.14.已知f(x)ax2bx3ab是偶函數(shù),且其定義域為a1,2a,則yf(x)的值域為_.三、解答題15.是否存在實數(shù)a,使函數(shù)f(x)x22axa的定義域為1,1時,值域為2,2?若存在,求a的值;若不存在,說明理由.解f(x)(xa)2aa2.當a1時,f(x)在1,1上為增函數(shù),a1(舍去);當1a0時,a1;當01時,f(x)在1,1上為減函數(shù),a不存在綜上可得a1.16.已知二次函數(shù)f(x)ax2bx (a,b為常數(shù),且a0),滿足條件f(1x)f(1x),且方程f(x)x有等根.(1)求f(x)的解析式;(2)是否存在實數(shù)m、n (mn),使f(x)的定義域和值域分別為m,n和3m,3n,如果存在,求出m、n的值,如果不存在,說明理由.解(1)f(x)滿足f(1x)f(1x),f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱而二次函數(shù)f(x)的對稱軸為x,1.又f(x)x有等根,即ax2(b1)x0有等根,(b1)20.由得b1,a.f(x)x2x.(2)f(x)x2x(x1)2.如果存在滿足要求的m,n,則必需3n,n.從而mn0時,方程f(x)0只有一個實根;f(x)的圖象關(guān)于(0,c)對稱;方程f(x)0至多有兩個實根其中正確的命題是_解析:c0時,f(x)x|x|b(x)x|x|bxf(x),故f(x)是奇函數(shù);b0,c0時,f(x)x|x|c0,x0時,x2c0無解,x0時,f(x)x2c0,x,有一個實數(shù)根7對于區(qū)間a,b上有意義的兩個函數(shù)f(x)與g(x),如果對于區(qū)間a,b中的任意數(shù)x均有|f(x)g(x)|1,則稱函數(shù)f(x)與g(x)在區(qū)間a,b上是密切函數(shù),a,b稱為密切區(qū)間若m(x)x23x4與n(x)2x3在某個區(qū)間上是“密切函數(shù)”,則它的一個密切區(qū)間可能是_3,4 2,4 2,3 1,4解析:|m(x)n(x)|1|x25x7|1,解此絕對值不等式得2x3,故在區(qū)間2,3上|m(x)n(x)|的值域為0,1,|m(x)n(x)|1在2,3上恒成立8.已知函數(shù)f(x)的自變量的取值區(qū)間為A,若其值域也為A,則稱區(qū)間A為f(x)的保值區(qū)間.函數(shù)f(x)x2形如n,) (n(0,)的保值區(qū)間是_.9.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f(x)x2(2t1)x12t.(1)求證:對于任意tR,方程f(x)1必有實數(shù)根; (2)若t,求證:方程f(x)0在區(qū)間(1,0)及上各有一個實根.證明(1)由于f(x)x2(2t1)x12t.f(x)1(x2t)(x1)0,(*)x1是方程(*)的根,即f(1)1.因此x1是f(x)1的實根,即f(x)必有實根(2)當t0.f(0)12t20.又函數(shù)f(x)的圖象連續(xù)不間斷 因此f(x)0在區(qū)間(1,0)及上各有一個實根 10. 二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)滿足條件:f(0)= 1;對任xR,均有f(x-4)=f(2-x);函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)g(x)=x1的圖像相切.()求函數(shù)f(x)的解析式;()當且僅當x4,m(m4)時,f(x-t)g(x)恒成立,試求t,m的值.解:()由得c=1,由知, 即b=2a, 所以f(x)=ax2+2ax-1由知:方程ax2+2ax-1=x-1,即ax2+(2a-1)x=0有兩個相等的實根,故。()當且僅當x4,m(m4)時,f(x-t)g(x)恒成立,不等式,即x2-2tx+t2-2t0的解集為4,m,,解得t=8,m=12或t=2,m=0m4, t=8,m=12符合題意。11設(shè)函數(shù)f(x)x22bxc(cb1),f(1)0,方程f(x)10有實根(1)證明:3c1且b0;(2)若m是方程f(x)10的一個實根,判斷f(m4)的正負并加以證明解:(1)證明:f(1)012bc0b.又cb1,故c13c.方程f(x)10有實根,即x22bxc10有實根,故4b24(c1)0,即(c1)24(c1)0c3或c1.又cb1,得3c1,由b知b0.(2)f(x)x22bxcx2(c1)xc(xc)(x1),f(m)10,cm1,c4m430,f(m4)的符號為正- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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