2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊五 排列組合問題的常見模型1.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 排列與組合 版塊五 排列組合問題的常見模型1 知識(shí)內(nèi)容 1.基本計(jì)數(shù)原理 ⑴加法原理 分類計(jì)數(shù)原理:做一件事,完成它有類辦法,在第一類辦法中有種不同的方法,在第二類辦法中有種方法,……,在第類辦法中有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱加法原理. ⑵乘法原理 分步計(jì)數(shù)原理:做一件事,完成它需要分成個(gè)子步驟,做第一個(gè)步驟有種不同的方法,做第二個(gè)步驟有種不同方法,……,做第個(gè)步驟有種不同的方法.那么完成這件事共有種不同的方法.又稱乘法原理. ⑶加法原理與乘法原理的綜合運(yùn)用 如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的,那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí),使用分類計(jì)數(shù)原理.如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的,即各個(gè)步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí),使用分步計(jì)數(shù)原理. 分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ),也是求解排列、組合問題的基本思想方法,這兩個(gè)原理十分重要必須認(rèn)真學(xué)好,并正確地靈活加以應(yīng)用. 2. 排列與組合 ⑴排列:一般地,從個(gè)不同的元素中任取個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列.(其中被取的對(duì)象叫做元素) 排列數(shù):從個(gè)不同的元素中取出個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)表示. 排列數(shù)公式:,,并且. 全排列:一般地,個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列,叫做個(gè)不同元素的一個(gè)全排列. 的階乘:正整數(shù)由到的連乘積,叫作的階乘,用表示.規(guī)定:. ⑵組合:一般地,從個(gè)不同元素中,任意取出個(gè)元素并成一組,叫做從個(gè)元素中任取個(gè)元素的一個(gè)組合. 組合數(shù):從個(gè)不同元素中,任意取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù),叫做從個(gè)不同元素中,任意取出個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)表示. 組合數(shù)公式:,,并且. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):性質(zhì)1:;性質(zhì)2:.(規(guī)定) ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題,首先要用好兩個(gè)計(jì)數(shù)原理和排列組合的定義,即首先弄清是分類還是分步,是排列還是組合,同時(shí)要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法: 1.特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法:先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素; 位置優(yōu)先法:先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置; 2.分類分步法:對(duì)于較復(fù)雜的排列組合問題,常需要分類討論或分步計(jì)算,一定要做到分類明確,層次清楚,不重不漏. 3.排除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法. 4.捆綁法:某些元素必相鄰的排列,可以先將相鄰的元素“捆成一個(gè)”元素,與其它元素進(jìn)行排列,然后再給那“一捆元素”內(nèi)部排列. 5.插空法:某些元素不相鄰的排列,可以先排其它元素,再讓不相鄰的元素插空. 6.插板法:個(gè)相同元素,分成組,每組至少一個(gè)的分組問題——把個(gè)元素排成一排,從個(gè)空中選個(gè)空,各插一個(gè)隔板,有. 7.分組、分配法:分組問題(分成幾堆,無序).有等分、不等分、部分等分之別.一般地平均分成堆(組),必須除以!,如果有堆(組)元素個(gè)數(shù)相等,必須除以! 8.錯(cuò)位法:編號(hào)為1至的個(gè)小球放入編號(hào)為1到的個(gè)盒子里,每個(gè)盒子放一個(gè)小球,要求小球與盒子的編號(hào)都不同,這種排列稱為錯(cuò)位排列,特別當(dāng),3,4,5時(shí)的錯(cuò)位數(shù)各為1,2,9,44.關(guān)于5、6、7個(gè)元素的錯(cuò)位排列的計(jì)算,可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)元素的錯(cuò)位排列的問題. 1.排列與組合應(yīng)用題,主要考查有附加條件的應(yīng)用問題,解決此類問題通常有三種途徑: ①元素分析法:以元素為主,應(yīng)先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素; ②位置分析法:以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置; ③間接法:先不考慮附加條件,計(jì)算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù). 求解時(shí)應(yīng)注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題;再通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理;然后分析題目條件,避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏;最后列出式子計(jì)算作答. 2.具體的解題策略有: ①對(duì)特殊元素進(jìn)行優(yōu)先安排; ②理解題意后進(jìn)行合理和準(zhǔn)確分類,分類后要驗(yàn)證是否不重不漏; ③對(duì)于抽出部分元素進(jìn)行排列的問題一般是先選后排,以防出現(xiàn)重復(fù); ④對(duì)于元素相鄰的條件,采取捆綁法;對(duì)于元素間隔排列的問題,采取插空法或隔板法; ⑤順序固定的問題用除法處理;分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理; ⑥對(duì)于正面考慮太復(fù)雜的問題,可以考慮反面. ⑦對(duì)于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題,需要構(gòu)造模型. 典例分析 排隊(duì)問題 【例1】 三個(gè)女生和五個(gè)男生排成一排 ⑴ 如果女生必須全排在一起,可有多少種不同的排法? ⑵ 如果女生必須全分開,可有多少種不同的排法? ⑶ 如果兩端都不能排女生,可有多少種不同的排法? 【例2】 個(gè)人站成一排: ⑴其中甲、乙兩人必須相鄰有多少種不同的排法? ⑵其中甲、乙兩人不相鄰有多少種不同的排法? ⑶其中甲、乙兩人不站排頭和排尾有多少種不同的排法? ⑷其中甲不站排頭,且乙不站排尾有多少種不同的排法? 【例3】 7名同學(xué)排隊(duì)照相. ⑴ 若分成兩排照,前排3人,后排4人,有多少種不同的排法? ⑵ 若排成兩排照,前排3人,后排4人,但其中甲必須在前排,乙必須在后排,有多少種不同的排法? ⑶ 若排成一排照,甲、乙、丙三人必須相鄰,有多少種不同的排法? ⑷ 若排成一排照,7人中有4名男生,3名女生,女生不能相鄰,有多少種不同的排法? 【例4】 個(gè)隊(duì)員排成一排, ⑴共有多少種不同的排法? ⑵若甲必須站在排頭,有多少種不同的排法? ⑶若甲不能站排頭,也不能站排尾,問有多少種不同的排法? 【例5】 五個(gè)字母排成一排,若的位置關(guān)系必須按A在前、B居中、C在后的原則,共有_______種排法(用數(shù)字作答). 【例6】 用1到8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1與2相鄰,3與4相鄰, 5與6相鄰,而7與8不相鄰,這樣的八位數(shù)共有_ __個(gè)(用數(shù)字作答). 【例7】 記者要為名志愿者和他們幫助的位老人拍照,要求排成一排,位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有( ) A.種 B.種 C.種 D.種 【例8】 名同學(xué)合影,站成前排人后排人,現(xiàn)攝影師要從后排人中抽人調(diào)整到前排,若其他人的相對(duì)順序不變,則不同調(diào)整方法的總數(shù)是( ) A. B. C. D. 【例9】 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相鄰但不排在兩端,不同的排法共有( ) A.1440種 B.960種 C.720種 D.480種 【例10】 在數(shù)字與符號(hào)五個(gè)元素的所有全排列中,任意兩個(gè)數(shù)字都不相鄰的全排列個(gè)數(shù)是( ) A. B. C. D. 【例11】 計(jì)劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩、4幅油畫、5幅國(guó)畫,排成一列陳列,要求同一品種的畫必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的陳列方式有_____種. 【例12】 6人站一排,甲不站在排頭,乙不站在排尾,共有_________種不同的排法(用數(shù)字作答). 【例13】 一條長(zhǎng)椅上有7個(gè)座位,4人坐,要求3個(gè)空位中,有2個(gè)空位相鄰,另一個(gè)空位與2個(gè)相鄰位不相鄰,共有幾種坐法? 【例14】 位男生和位女生共位同學(xué)站成一排,若男生甲不站兩端,位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)是( ) A. B. C. D. 【例15】 古代“五行”學(xué)說認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有 種(結(jié)果用數(shù)值表示). 【例16】 在的任一排列中,使相鄰兩數(shù)都互質(zhì)的排列方式共有( )種. A. B. C. D. 【例17】 從集合與中各任取2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù)).每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_________.(用數(shù)字作答) 【例18】 從集合與中各任取個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù)).每排中字母和數(shù)字至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_________.(用數(shù)字作答) 【例19】 個(gè)人坐在一排個(gè)座位上,問 ⑴ 空位不相鄰的坐法有多少種? ⑵ 個(gè)空位只有個(gè)相鄰的坐法有多少種? ⑶ 個(gè)空位至多有個(gè)相鄰的坐法有多少種? 【例20】 位男生和位女生共位同學(xué)站成一排,若男生甲不站兩端,位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)是( ) A. B. C. D. 【例21】 12名同學(xué)合影,站成了前排4人后排8人,現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排,其他人的相對(duì)順序不變,則不同調(diào)整的方法的總數(shù)有( ) A. B. C. D. 【例22】 兩部不同的長(zhǎng)篇小說各由第一、二、三、四卷組成,每卷本,共本.將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌?,左邊本恰好都屬于同一部小說的概率是_______. 【例23】 年月中旬,我國(guó)南方一些地區(qū)遭遇歷史罕見的雪災(zāi),電煤庫存吃緊.為了支援南方地區(qū)抗災(zāi)救災(zāi),國(guó)家統(tǒng)一部署,加緊從北方采煤區(qū)調(diào)運(yùn)電煤.某鐵路貨運(yùn)站對(duì)列電煤貨運(yùn)列車進(jìn)行編組調(diào)度,決定將這列列車編成兩組,每組列,且甲與乙兩列列車不在同一小組.如果甲所在小組列列車先開出,那么這列列車先后不同的發(fā)車順序共有( ) A.種 B.種 C.種 D.種 數(shù)字問題 【例24】 給定數(shù)字、、、、、,每個(gè)數(shù)字最多用一次, ⑴可能組成多少個(gè)四位數(shù)?⑵可能組成多少個(gè)四位奇數(shù)? ⑶可能組成多少個(gè)四位偶數(shù)?⑷可能組成多少個(gè)自然數(shù)? 【例25】 用0到9這10個(gè)數(shù)字,可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)? 【例26】 在1,3,5,7,9中任取3個(gè)數(shù)字,在0,2,4,6,8中任取兩個(gè)數(shù)字,可組成多少個(gè)不同的五位偶數(shù). 【例27】 用排成一個(gè)數(shù)字不重復(fù)的五位數(shù),滿足的五位數(shù)有多少個(gè)? 【例28】 用這十個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),若千位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字之差的絕對(duì)值是,則這樣的四位數(shù)共有多少個(gè)? 【例29】 用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有______個(gè)(用數(shù)學(xué)作答). 【例30】 有張分別標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和張分別標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片,從這張卡片中取出張卡片排成一行.如果取出的張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于,則不同的排法數(shù)一共有 種. ; 【例31】 有張卡片分別標(biāo)有數(shù)字,,,,,,,,從中取出張卡片排成行列,要求行中僅有中間行的兩張卡片上的數(shù)字之和為,則不同的排法共有( ) A.種 B.種 C.種 D.種 【例32】 有張分別標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和張分別標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片,從這張卡片中取出張卡片排成一行.如果取出的張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于,則不同的排法共有____種(用數(shù)字作答). 【例33】 用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同,且1和2相鄰,這樣的六位數(shù)的個(gè)數(shù)是__________(用數(shù)字作答). 【例34】 用數(shù)字可以組成沒有重復(fù)數(shù)字,并且比大的五位偶數(shù)共有( ) A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè) 【例35】 從這個(gè)數(shù)中,取出兩個(gè),使其和為偶數(shù),則共可得到 個(gè)這樣的不同偶數(shù)? 【例36】 求無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)中,能被整除的數(shù)有______個(gè). 【例37】 用數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),其中個(gè)位、十位和百位上的數(shù)字之和為偶數(shù)的四位數(shù)共有 個(gè)(用數(shù)學(xué)作答). 【例38】 從這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A. B. C. D. 【例39】 從這六個(gè)數(shù)字中任取兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù),組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A. B. C. D. 【例40】 從到的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù),試問: ⑴能組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)?其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)? ⑵上述七位數(shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)? ⑶⑴中的七位數(shù)中,偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)? ⑷⑴其中任意兩偶數(shù)都不相鄰的七位數(shù)有幾個(gè)? 【例41】 用到這九個(gè)數(shù)字.可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)? 【例42】 有張分別標(biāo)有數(shù)字的紅色卡片和張分別標(biāo)有數(shù)字的藍(lán)色卡片,從這張卡片中取出張卡片排成一行.如果取出的張卡片所標(biāo)數(shù)字之和等于,則不同的排法共有______種(用數(shù)字作答). 【例43】 在由數(shù)字組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的位數(shù)中,大于且小于的數(shù)共有( )個(gè) A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè) 【例44】 由0,1,2,3,4這五個(gè)數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù),按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列,則_____. A. B. C. D. 【例45】 從數(shù)字0、1、3、5、7中取出不同的三個(gè)作系數(shù),可組成多少個(gè)不同的一元二次方程,其中有實(shí)數(shù)根的有幾個(gè)? 【例46】 從中任選三個(gè)不同元素作為二次函數(shù)的系數(shù),問能組成多少條圖像為經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)在第一象限或第三象限的拋物線?- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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