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2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章平面解析幾何課時(shí)分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問題文.doc

上傳人：tian****1990

文檔編號(hào)：2761798

上傳時(shí)間：2019-11-29

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《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章平面解析幾何課時(shí)分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問題文.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章平面解析幾何課時(shí)分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問題文.doc（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章平面解析幾何課時(shí)分層作業(yè) 五十 8.5.2 直線與橢圓的綜合問題文一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.(xx全國(guó)卷Ⅲ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選A.直線bx-ay+2ab=0與圓相切,所以圓心到直線的距離d==a,整理為a2=3b2,即a2=3(a2-c2)?2a2=3c2,即= ,e==. 【變式備選】橢圓+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P,則= (　　) A. B. C. D.4 【解析】選C.因?yàn)?, 所以=22-=4-=. 2.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P(x,y)到點(diǎn)F(3,0)的距離與它到直線x=的距離之比為,則點(diǎn)P的軌跡方程為 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 【解析】選A.由題意可知=,化簡(jiǎn)整理得+=1. 3.已知橢圓+=1上一點(diǎn)P,橢圓的焦點(diǎn)為F1,F2,若三角形PF1F2的內(nèi)切圓的半徑為,則三角形PF1F2的面積為 (　　) A. B. C. D. 【解析】選B.因?yàn)槿切蔚拿娣e公式S△=pr(其中p為三角形的周長(zhǎng)的一半,r為內(nèi)切圓的半徑),所以三角形PF1F2的面積為(PF1+PF2+F1F2)r=(2a+2c)r=(3+1)=. 【變式備選】1.已知橢圓+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,過焦點(diǎn)F1作長(zhǎng)軸的垂線與橢圓相交,一個(gè)交點(diǎn)為P在第一象限,則PF2的斜率為 (　　) A. B. C.- D.- 【解析】選B.因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為F1(0,1),F2(0,-1),所以P,所以= =. 2.已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率e=,且它的一個(gè)焦點(diǎn)是圓x2+y2+2x-2 019=0的圓心,則此橢圓方程為 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+y2=1 D.+y2=1 【解析】選A.因?yàn)閳A心為(-1,0),所以c=1,因?yàn)殡x心率為,所以a=2,所以b2=3,所以橢圓方程為+=1. 4.已知F1,F2是橢圓+=1(a>b>0)的左,右焦點(diǎn),該橢圓上存在兩點(diǎn)A,B使=3,則該橢圓的離心率的取值范圍是 (　　) A. B. C. D. 【解析】選C.=3?F1A∥F2B,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),代入橢圓b2x2+a2y2=a2b2得　　(*) 由=3得代入(*)得消去y2得x2=0時(shí),不妨設(shè)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,y1),(1,y2), 代入橢圓方程得解得:k=; 同理可得當(dāng)k<0時(shí),k=-. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知橢圓Γ:+=1(a>b>0)經(jīng)過不同的三點(diǎn)A,B,C(C在第三象限),線段BC的中點(diǎn)在直線OA上,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為________. 【解析】由點(diǎn)A,B在橢圓Γ上, 得解得所以橢圓Γ的方程為+=1.設(shè)C坐標(biāo)為(m,n),(m<0,n<0), 由已知,求得直線OA的方程為x-2y=0,從而m=2n-1.(1) 又點(diǎn)C在橢圓Γ上,故2m2+8n2=5.(2) 由(1)(2)解得n=(舍去)或n=-,從而m=-, 所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為. 答案: 7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,P是動(dòng)點(diǎn),且直線AP與BP的斜率之積等于-.則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為________________. 【解析】因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1). 設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 由題意得=-, 化簡(jiǎn)得x2+3y2=4(x≠1). 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠1). 答案:x2+3y2=4(x≠1) 8.如圖,過坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓+=1于四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,則四邊形ABCD的面積的取值范圍為____________. 【解析】由對(duì)稱性可知四邊形ABCD的面積等于直角三角形AOB的面積的4倍. 設(shè)OA的方程為y=kx,代入橢圓方程解得點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x=12, 所以=12, 同理可知=12,所以 S△AOB= =72, 換元設(shè)1+k2=t(t≥1),所以=∈ 所以四邊形ABCD的面積的取值范圍為. 答案: 三、解答題(每小題10分,共20分) 9.(xx全國(guó)卷Ⅱ)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,點(diǎn)(2,)在C上. (1)求C的方程. (2)直線l不過原點(diǎn)O且不垂直于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,證明:直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 【解析】(1)由題意有=,+=1, 解得a2=8,b2=4.所以C的方程為+=1. (2)設(shè)直線l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1), B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入+=1得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故xM==,yM=kxM+b=. 于是直線OM的斜率kO M==-,即kO Mk=-. 所以直線OM的斜率與直線l的斜率的乘積為定值. 10.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓O:x2+y2=4,橢圓C:+y2=1,A為橢圓右頂點(diǎn).過原點(diǎn)O且異于坐標(biāo)軸的直線與橢圓C交于B,C兩點(diǎn),直線AB與圓O的另一交點(diǎn)為P,直線PD與圓O的另一交點(diǎn)為Q,其中D.設(shè)直線AB,AC的斜率分別為k1,k2. (1)求k1k2的值. (2)記直線PQ,BC的斜率分別為kPQ,kBC,是否存在常數(shù)λ,使得kPQ=λkBC?若存在,求λ的值;若不存在,說明理由. (3)求證:直線AC必過點(diǎn)Q. 【解析】(1)設(shè)B(x0,y0),則C(-x0,-y0),+=1, 所以k1k2====-. (2)聯(lián)立得(1+)x2-4x+4(-1)=0, 解得xP=,yP=k1(xP-2)=;聯(lián)立得(1+4)x2-16x+4(4-1)=0,解得xB=,yB=k1(xB-2)=,所以kBC==,kPQ===,所以kPQ=kBC,故存在常數(shù)λ=,使得kPQ=kBC. (3)當(dāng)直線PQ與x軸垂直時(shí),Q,P,得k1=-,k2=,則kAQ===k2,所以直線AC必過點(diǎn)Q,當(dāng)直線PQ與x軸不垂直時(shí),直線PQ方程為: y=,聯(lián)立, 解得xQ=,yQ=,所以kAQ==-=k2,故直線AC必過點(diǎn)Q. 1.(5分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)為F1,F2,離心率為,過F2的直線l交C于A,B兩點(diǎn).若△AF1B的周長(zhǎng)為4,則C的方程為 (　　) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 【解析】選A.根據(jù)題意,因?yàn)椤鰽F1B的周長(zhǎng)為4, 所以|AF1|+|AB|+|BF1|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4,所以a=. 又因?yàn)闄E圓的離心率e==,所以c=1,b2=a2-c2=3-1=2,所以橢圓C的方程為+=1. 2.(5分)(xx呂梁模擬)設(shè)F1,F2分別是橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn),若橢圓上存在一點(diǎn)P,使(+)=0(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則△F1PF2的面積是 (　　) A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】選D.因?yàn)?+)=(+)==0, 所以PF1⊥PF2,∠F1PF2=90. 設(shè)|PF1|=m,|PF2|=n,則m+n=4, m2+n2=12,2mn=4,所以=mn=1. 3.(5分)橢圓+=1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,Q,E(3,0),EP⊥EQ,則的最小值為 (　　) A.6 B.3- C.9 D.12-6 【解析】選A.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(m,n),則+=1, |PE|= ==, 因?yàn)?6≤m≤6,所以|PE|的最小值為.又因?yàn)?(-)=-=||2, 所以的最小值為6. 4.(12分)已知長(zhǎng)為1+的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A,B分別在x軸、y軸上滑動(dòng),P是AB上一點(diǎn),且=,求點(diǎn)P的軌跡C的方程. 【解析】設(shè)A(x0,0),B(0,y0),P(x,y), =, 又=(x-x0,y),=(-x,y0-y), 所以x-x0=-x,y=(y0-y), 得x0=x,y0=(1+)y. 因?yàn)閨AB|=1+,即+=(1+)2, 所以+[(1+)y]2=(1+)2, 化簡(jiǎn)得+y2=1. 所以點(diǎn)P的軌跡方程為+y2=1. 5.(13分)(xx全國(guó)卷Ⅰ)已知橢圓C:+=1(a>b>0),四點(diǎn)P1(1,1),P2(0,1), P3,P4中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. (1)求C的方程. (2)設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A,B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1,證明:l過定點(diǎn). 【解析】(1)根據(jù)橢圓對(duì)稱性,必過P3,P4, 又P4橫坐標(biāo)為1,橢圓必不過P1,所以過P2,P3,P4三點(diǎn), 將P2,P3代入橢圓方程得解得a2=4,b2=1. 所以橢圓C的方程為:+y2=1. (2)①當(dāng)斜率不存在時(shí),設(shè)l: x=m,A,B, +=+==-1, 得m=2,此時(shí)l過橢圓右頂點(diǎn),不存在兩個(gè)交點(diǎn),故不滿足. ②當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)l:y=kx+n, A,B, 聯(lián)立整理得x2+8knx+4n2-4=0, x1+x2=,x1x2=, 則+=+ = = ==-1, 又n≠1?n=-2k-1,此時(shí)Δ=-64k,存在k使得Δ>0成立, 所以直線l的方程為y=kx-2k-1, 當(dāng)x=2時(shí),y=-1, 所以l過定點(diǎn).

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