九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第二十八章 銳角三角函數(shù) 28.1 銳角三角函數(shù) 第1課時(shí) 正弦課時(shí)訓(xùn)練 （新版）新人教版.doc

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28．1　銳角三角函數(shù) 第1課時(shí)　正弦 關(guān)鍵問答 ①在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦是哪兩條邊的比？若三角形的三邊都擴(kuò)大為原來的k倍(或縮小為原來的)，則這個(gè)比值會(huì)發(fā)生變化嗎？ ②求銳角正弦值的方法是什么？ 1．①在Rt△ABC中，∠C＝90，如果各邊的長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來的2倍，那么銳角A的正弦值(　　) A．?dāng)U大為原來的2倍 B．縮小為原來的 C．不變 D．?dāng)U大為原來的4倍 2．在Rt△ABC中，∠C＝90，AB＝5，AC＝4，則sinA的值為(　　) A. B. C. D. 3．②如圖28－1－1所示，△ABC的頂點(diǎn)是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinB的值為(　　) 　圖28－1－1 A. B. C. D．1 命題點(diǎn) 1　利用正弦函數(shù)的定義求值　[熱度：97%] 4.③如圖28－1－2，已知∠α的一邊在x軸上，另一邊經(jīng)過點(diǎn)A(2，4)，頂點(diǎn)為B(－1，0)，則sinα的值是(　　) 圖28－1－2 A. B. C. D. 解題突破 ③點(diǎn)到x軸的距離等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值. 5.④對(duì)于銳角α，sinα的值不可能為(　　) A. B. C. D．2 易錯(cuò)警示 ④銳角α的正弦值的范圍可以通過定義，由直角三角形三邊的大小關(guān)系來確定. 6.⑤如圖28－1－3，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，∠A≠45，則下列比值中不等于sinA的是(　　) 圖28－1－3 A. B. C. D. 方法點(diǎn)撥 ⑤求銳角的正弦值還可以用等角代換的方法 7.⑥如圖28－1－4，△ABC的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)，則sinA的值為(　　) 圖28－1－4 A．2 B. C. D. 方法點(diǎn)撥 ⑥在網(wǎng)格圖中求銳角的正弦值時(shí)，先看所求角所在的格點(diǎn)三角形是不是直角三角形，若不是，則需要作出包含所求角的直角三角形． 8．⑦如圖28－1－5，△ABC的各個(gè)頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則sinA的值為(　　) 圖28－1－5 A. B. C. D. 方法點(diǎn)撥 ⑦求格點(diǎn)三角形某條邊上的高常用的方法是等積法. 9.⑧如圖28－1－6，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直線上，那么sinα的值為(　　) 圖28－1－6 A. B. C. D. 解題突破 ⑧過點(diǎn)D作這一組平行線的垂線，利用全等的知識(shí)把已知條件集中到同一個(gè)直角三角形中，進(jìn)而利用正弦的定義求值. 10．已知AE，CF是銳角三角形ABC的兩條高，若AE∶CF＝3∶2，則sin∠BAC∶sin∠ACB的結(jié)果是(　　) A．3∶2 B．2∶3 C．9∶4 D．4∶9 11.⑨在Rt△ABC中，∠C＝90，BD是△ABC的角平分線，將△BCD沿著直線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C1處，如果AB＝5，AC＝4，那么sin∠ADC1的值是________． 方法點(diǎn)撥 ⑨求銳角的正弦值，需要構(gòu)造這個(gè)角所在的直角三角形，或者將其轉(zhuǎn)移到某個(gè)直角三角形中. 12．如圖28－1－7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3，3)和點(diǎn)B(7，0)，則sin∠ABO的值為________． 圖28－1－7 13.⑩如圖28－1－8，在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，E為AB上一點(diǎn)，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接FB，則sin∠BFC的值為________． 圖28－1－8 方法點(diǎn)撥 ⑩利用相似三角形的性質(zhì)及勾股定理求邊長(zhǎng)是幾何問題中常用的方法. 14．如圖28－1－9，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，如果AD＝10，DC＝5，E為AC的中點(diǎn)，求sin∠EDC的值． 圖28－1－9 命題點(diǎn) 2　正弦函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用　[熱度：95%] 15．在Rt△ABC中，∠C＝90，那么sinA的值(　　) A．與AB的大小有關(guān) B．與BC的大小有關(guān) C．與AC的大小有關(guān) D．與∠A的大小有關(guān) 16．在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝，BC＝6，則AB的長(zhǎng)為(　　) A．4 B．6 C．8 D．10 17.?在△ABC中，AB＝5，BC＝6，∠B為銳角，且sinB＝，則∠C的正弦值為(　　) A. B. C. D. 方法點(diǎn)撥 ?在直角三角形中，若已知一個(gè)銳角的正弦值、這個(gè)角的對(duì)邊、這個(gè)三角形的斜邊這三個(gè)量中的兩個(gè)量，就可以求得第三個(gè)量. 18．如圖28－1－10，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作AB的垂線交AC于點(diǎn)E，BC＝6，sinA＝，則DE＝________． 圖28－1－10 19.?如圖28－1－11，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC交AB于點(diǎn)E，若BC＝4，△AOE的面積為5，則sin∠BOE的值為________． 　　　　 圖28－1－11 解題突破 ?因?yàn)樗蠼撬诘娜切尾皇侵苯侨切?，所以需要添加輔助線，想辦法將角進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 20．已知：如圖28－1－12，在△ABC中，AC＝10，sinC＝，sinB＝，求AB的長(zhǎng)． 圖28－1－12 21.?我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(duì)(sad)．如圖28－1－13，在△ABC中，AB＝AC，頂角A的正對(duì)記作sadA，這時(shí)sadA＝＝.容易知道一個(gè)角的大小與這個(gè)角的正對(duì)值也是相互唯一確定的． 根據(jù)上述對(duì)角的正對(duì)的定義，解答下列問題： (1)sad60的值為________； (2)當(dāng)0＜∠A＜180時(shí)，∠A的正對(duì)sadA的取值范圍是________； (3)已知sinα＝，其中α為銳角，試求sadα的值． 圖28－1－13 解題突破 ?利用“規(guī)定”把新情境下的問題轉(zhuǎn)化成我們所學(xué)過的知識(shí)，再運(yùn)用已有的經(jīng)驗(yàn)和方法進(jìn)行求解.  詳解詳析 1．C　2.B　3.B 4．D　[解析] 過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則AC＝4，OC＝2.又因?yàn)镺B＝1，所以BC＝3，所以AB＝5，所以sinα＝＝. 5．D　[解析] sinα＝，由于斜邊的長(zhǎng)大于任何一條直角邊的長(zhǎng)，所以0＜sinα＜1. 6．D　[解析] 在Rt△ABC中，sinA＝； 在Rt△ACD中，sinA＝； ∵∠A＋∠B＝90，∠B＋∠BCD＝90， ∴∠A＝∠BCD. 在Rt△BCD中，sinA＝sin∠BCD＝. 7．D　[解析] 如圖，連接CD，根據(jù)網(wǎng)格圖的特點(diǎn)，可知∠ADC＝90，設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則CD＝，AC＝，所以sinA＝＝. 8．A　[解析] 設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，△ABC的面積為43－11－31－21－43＝. 因?yàn)锳B＝5，所以5CD＝，所以CD＝1. 又因?yàn)锳C＝，所以sinA的值為. 9．B　[解析] 如圖，過點(diǎn)D作EF⊥l1，交l1于點(diǎn)E，交l4于點(diǎn)F， ∵EF⊥l1，l1∥l2∥l3∥l4， ∴EF和l2，l3，l4的夾角都是90， 即EF與l2，l3，l4都垂直， ∴DE＝1，DF＝2. ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝90，AD＝CD， ∴∠ADE＋∠CDF＝90. 又∵∠α＋∠ADE＝90，∴∠α＝∠CDF. 又∵AD＝CD，∠AED＝∠DFC＝90， ∴△ADE≌△DCF，∴CF＝DE＝1， ∴在Rt△CDF中，CD＝＝， ∴sinα＝sin∠CDF＝＝. 10．B　[解析] 由題意可得sin∠BAC＝，sin∠ACB＝， 所以sin∠BAC∶sin∠ACB＝CF∶AE＝2∶3. 11.　[解析] ∵∠C＝90，BD是△ABC的角平分線，將△BCD沿著直線BD折疊， 則點(diǎn)C1恰好落在斜邊AB上， ∴∠DC1A＝90，∴∠ADC1＝∠ABC. ∵AB＝5，AC＝4， ∴sin∠ADC1＝sin∠ABC＝. 12.　[解析] 過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C.因?yàn)锳(3，3)，所以AC＝3，OC＝3.又因?yàn)锽(7，0)，所以BC＝4，所以AB＝5，所以sin∠ABO＝＝. 13. 　[解析] ∵在Rt△ABC中，∠C＝90，∠A＝30，∴BC＝AB. 設(shè)AB＝5x，∵AE∶EB＝4∶1， ∴AE＝4x，EB＝x，BC＝x. ∵△ABC是直角三角形，∴AC＝ x. ∵EF⊥AC，∠C＝90，∴EF∥BC， ∴AF∶FC＝AE∶EB＝4∶1， 即FC＝AC＝x， ∴BF＝x，∴sin∠BFC＝＝ . 14．解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90. ∵AD＝10，DC＝5，∴AC＝5 . ∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AE＝EC＝AC， ∴∠EDC＝∠C， ∴sin∠EDC＝sinC＝＝＝ . 15．D 16．D　[解析] ∵在Rt△ABC中， ∠C＝90，sinA＝＝，BC＝6， ∴AB＝＝＝10.故選D. 17．C　[解析] 如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D. ∵sinB＝，∴＝. ∵AB＝5，∴AD＝3， ∴BD＝4. ∵BC＝6，∴CD＝2， ∴AC＝，∴sinC＝＝. 18.　[解析] ∵BC＝6，sinA＝， ∴AB＝6＝10，∴AC＝8. ∵D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝5. 由△ABC∽△AED， 可得DE＝＝＝. 19.　[解析] 取AB的中點(diǎn)F，連接OF，EC，過點(diǎn)B作BG⊥AC于點(diǎn)G.由矩形的性質(zhì)可得AO＝BO＝CO＝DO， ∴OF⊥AB，OF＝BC＝2. 又∵△AOE的面積為5， ∴AE＝5. 由線段垂直平分線的性質(zhì)可得EC＝AE＝5. 在Rt△BCE中，由勾股定理可得BE＝3. ∵BG⊥AC，OE⊥AC，∴BG∥OE， ∴＝＝. ∵BG∥OE，∴∠BOE＝∠OBG， ∴sin∠BOE＝sin∠OBG＝＝＝. 20．解：過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E. 在Rt△ACE中，∠AEC＝90， ∴sinC＝，∴＝，∴AE＝8. 在Rt△ABE中，∠AEB＝90， ∴sinB＝，∴＝，∴AB＝24. 21．解：(1)根據(jù)正對(duì)的定義，當(dāng)?shù)妊切蔚捻斀菫?0時(shí)，其底角為60，則三角形為等邊三角形，則sad60＝1. (2)當(dāng)∠A接近0時(shí)，sadA接近0，當(dāng)∠A接近180時(shí)，等腰三角形的底邊長(zhǎng)接近于腰長(zhǎng)的2倍，故sadA接近2.所以當(dāng)0＜∠A＜180時(shí)，sadA的取值范圍是0＜sadA＜2. (3)如圖，在△ABC中，∠ACB＝90，sinA＝. 在AB上取一點(diǎn)D，使AD＝AC，過點(diǎn)D作DH⊥AC，H為垂足， 令BC＝3k，AB＝5k， 則AD＝AC＝4k. 在△ADH中，∠AHD＝90，sinA＝， 所以DH＝ADsinA＝k，由勾股定理可得AH＝＝ k， 則在Rt△CDH中，CH＝AC－AH＝k，CD＝ k. 在△ACD中，AD＝AC＝4k，CD＝ k， 由正對(duì)的定義可得sadA＝＝， 即sadα＝. 【關(guān)鍵問答】 ①在直角三角形中，一個(gè)銳角的正弦是這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比；這個(gè)比值不會(huì)發(fā)生變化． ②使銳角成為某個(gè)直角三角形的內(nèi)角，利用這個(gè)銳角的對(duì)比與斜邊的比來求得正弦值．