安徽省2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二講 空間與圖形 第四章 三角形 4.3 特殊三角形測(cè)試.doc

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4.3　特殊三角形 [過(guò)關(guān)演練]　(30分鐘　　80分) 1.(xx浙江湖州)如圖,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若AB=AC,∠CAD=20,則∠ACE的度數(shù)是 (B) A.20 B.35 C.40 D.70 【解析】∵AD是△ABC的中線,AB=AC,∠CAD=20,∴∠CAB=2∠CAD=40,∠B=∠ACB=12(180-∠CAB)=70.∵CE是△ABC的角平分線,∴∠ACE=12∠ACB=35. 2.(xx江蘇宿遷)若實(shí)數(shù)m,n滿足等式|m-2|+n-4=0,且m,n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長(zhǎng),則△ABC的周長(zhǎng)是 (B) A.12 B.10 C.8 D.6 【解析】∵|m-2|+n-4=0,∴m-2=0,n-4=0,解得m=2,n=4,當(dāng)m=2作腰時(shí),三邊為2,2,4,不符合三邊關(guān)系定理;當(dāng)n=4作腰時(shí),三邊為2,4,4,符合三邊關(guān)系定理,周長(zhǎng)為2+4+4=10. 3.(xx長(zhǎng)沙)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題:“問(wèn)有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道題講的是有一塊三角形沙田,三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,問(wèn)這塊沙田面積有多大?題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位,1里=500米,則該沙田的面積為 (A) A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米 【解析】∵52+122=132,∴三條邊長(zhǎng)分別為5里,12里,13里,構(gòu)成了直角三角形,∴這塊沙田面積為12550012500=7500000(平方米)=7.5(平方千米). 4.(xx陜西)如圖,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60,∠C=45,AD⊥BC,垂足為D,∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,則AE的長(zhǎng)為 (C) A.423 B.22 C.823 D.32 【解析】∵AD⊥BC,∴∠ADC=∠ADB=90.在Rt△ADC中,AC=8,∠C=45,∴AD=CD,∴AD=22AC=42.在Rt△ADB中,AD=42,∠ABD=60,∴BD=33AD=463.∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=30.在Rt△EBD中,BD=463,∠EBD=30,∴DE=33BD=423,∴AE=AD-DE=823. 5.若等腰三角形的周長(zhǎng)為10 cm,其中一邊長(zhǎng)為2 cm,則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為 (A) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm 【解析】(1)若底邊長(zhǎng)為2 cm,則腰長(zhǎng)為(10-2)2=4(cm),4+2>4,符合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為2 cm;(2)若腰長(zhǎng)為2 cm,則底邊長(zhǎng)為10-22=6(cm),2+2<6,不符合三角形三邊關(guān)系,所以該等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6 cm應(yīng)舍去. 6.如圖,在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=4,邊AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,則△BDC的周長(zhǎng)是 (C) A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】∵AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,∴AD=BD,∴△BDC的周長(zhǎng)=BD+BC+CD=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10. 7.如圖,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線,P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列線段的長(zhǎng)等于BP+EP最小值的是 (B) A.BC B.CE C.AD D.AC 【解析】由AB=AC,可得△ABC是等腰三角形,根據(jù)“等腰三角形的三線合一性質(zhì)”可知點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱,連接CP,則BP=CP,所以BP+EP=CP+EP≥CE,所以BP+EP的最小值為CE. 8.(xx山東東營(yíng))如圖,點(diǎn)E在△DBC的邊DB上,點(diǎn)A在△DBC的內(nèi)部,∠DAE=∠BAC=90,AD=AE,AB=AC.給出下列結(jié)論:①BD=CE;②∠ABD+∠ECB=45;③BD⊥CE;④BE2=2(AD2+AB2)-CD2.其中正確的是 (A) A.①②③④ B.②④ C.①②③ D.①③④ 【解析】∵∠DAE=∠BAC=90,∴∠DAB=∠EAC,∵AD=AE,AB=AC,∴△DAB≌△EAC,∴BD=CE,∠ABD=∠ACE,故①正確;∴∠ABD+∠ECB=∠ACE+∠ECB=∠ACB=45,故②正確;∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45+45=90,∴∠CEB=90,即CE⊥BD,故③正確;∴BE2=BC2-EC2=2AB2-(CD2-DE2)=2AB2-CD2+2AD2=2(AD2+AB2)-CD2,故④正確. 9.(xx貴州遵義)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,BD=AD=AC,E為CD的中點(diǎn).若∠CAE=16,則∠B的度數(shù)為　37　. 【解析】∵AD=AC,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),∴AE⊥CD,∴∠AEC=90,∴∠C=90-∠CAE=74,∵AD=AC,∴∠ADC=∠C=74,∵AD=BD,∴2∠B=∠ADC=74,∴∠B=37. 10.如圖,把等邊△ABC沿著DE折疊,使點(diǎn)A恰好落在BC邊上的點(diǎn)P處,且DP⊥BC,若BP=4 cm,則EC=　2+23　cm. 【解析】根據(jù)“30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=43.根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠DPE=∠A=60,DA=DP=43,易得∠EPC=30,∠PEC=90,所以EC=12PC=12(8+43-4)=2+23. 11.如圖,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射線CO上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),∠AOC=60,則當(dāng)△PAB為直角三角形時(shí),AP的長(zhǎng)為　23或27或2　. 【解析】當(dāng)∠APB=90時(shí),①如圖1,∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60,∴∠BOP=60,∴△BOP為等邊三角形,∵AB=BC=4,∴AP=ABsin 60=432=23; ②如圖2,∵AO=BO,∠APB=90,∴PO=AO,∵∠AOC=60,∴△AOP為等邊三角形,∴AP=AO=2.當(dāng)∠ABP=90時(shí),如圖3,∵∠AOC=∠BOP=60,∴∠BPO=30,∴BP=OBtan30=233=23,在Rt△ABP中,AP=(23)2+42=27. 綜上,AP的長(zhǎng)為23或27或2. 12.(xx云南)在△ABC中,AB=34,AC=5,若BC邊上的高等于3,則BC邊的長(zhǎng)為　9或1　. 【解析】有兩種情況:①如圖1,∵AD是△ABC的高,∴∠ADB=∠ADC=90,由勾股定理得BD=AB2-AD2=(34)2-32=5,CD=AC2-AD2=52-32=4,∴BC=BD+CD=5+4=9;②如圖2,同理得CD=4,BD=5,∴BC=BD-CD=5-4=1.綜上,BC的長(zhǎng)為9或1. 13.(8分)(xx合肥廬陽(yáng)區(qū)一模)《九章算術(shù)》“勾股”章有一題:“今有二人同所立,甲行率七,乙行率三.乙東行,甲南行十步而斜東北與乙會(huì).問(wèn)甲乙行各幾何”. 大意是說(shuō),已知甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā),甲的速度為7,乙的速度為3.乙一直向東走,甲先向南走10步,后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇.那么相遇時(shí),甲、乙各走了多遠(yuǎn)? 解:設(shè)經(jīng)x秒二人在B處相遇,這時(shí)乙共行AB=3x,甲共行AC+BC=7x,∵AC=10,∴BC=7x-10, 又∵∠A=90,∴BC2=AC2+AB2,∴(7x-10)2=102+(3x)2,∴x=0(舍去)或x=3.5, ∴AB=3x=10.5,AC+BC=7x=24.5. 答:甲走了24.5步,乙走了10.5步. 14.(10分)在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90,F為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),點(diǎn)E在BC上,且AE=CF. (1)求證:Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE=25,求∠CFE的度數(shù). 解:(1)∵∠ABC=90,∴∠CBF=∠ABE=90. 在Rt△ABE和Rt△CBF中,∵AE=CF,AB=CB, ∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). (2)由(1)得Rt△ABE≌Rt△CBF,∴∠AEB=∠CFB,BE=BF,∴∠BFE=45, ∵∠ABC=90,AB=BC,∴∠BCA=45, 又∵∠AEB=45+∠CAE,∠CFB=45+∠CFE, ∴∠CFE=∠CAE=25. 15.(10分)(1)已知△ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上,E是直線BC上一點(diǎn),且∠DEC=∠DCE.若∠A=60(如圖1),求證:EB=AD; (2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上”,其他條件不變(如圖2),(1)中的結(jié)論是否成立,并說(shuō)明理由; (3)若將(1)中的“若∠A=60”改為“若∠A=90”,其他條件不變,則EBAD的值是多少?(直接寫出結(jié)論,不要求寫解答過(guò)程) 解:(1)作DF∥BC交AC于點(diǎn)F. 則∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE, ∵△ABC是等腰三角形,∠A=60, ∴△ABC是等邊三角形, ∴∠ABC=∠ACB=60, ∴∠DBE=120,∠ADF=∠AFD=60=∠A, ∴△ADF是等邊三角形,AD=DF,∠DFC=120, ∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD, 在△DBE和△CFD中,∠DEB=∠FDC,∠DBE=∠CFD=120,ED=CD, ∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF, ∴EB=AD. (2)EB=AD成立. 理由:作DF∥BC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,則∠DCE=∠CDF,△ABC與△ADF是等邊三角形,∴AD=DF.∵∠DEC=∠DCE,∴DE=CD,∠DEC=∠CDF, 又∵∠DBE=∠DFC=60, ∴△DBE≌△CFD(AAS), ∴EB=DF,∴EB=AD. (3)EBAD=2. 提示:作DF∥BC交AC于點(diǎn)F.同(1)得△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF.∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,∴DF=2AD,∴DFAD=2,∴EBAD=2. [名師預(yù)測(cè)] 1.等邊三角形的兩條中線相交所成鈍角的度數(shù)是 (B) A.105 B.120 C.135 D.150 【解析】等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角都等于60,而等邊三角形的中線就是內(nèi)角的平分線,所以等邊三角形的兩條中線相交所成鈍角就是等邊三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線相交所成鈍角,其度數(shù)為180-30-30=120. 2.如圖,等邊三角形ABC中,AD⊥BC,垂足為D,點(diǎn)E在線段AD上,∠EBC=45,則∠ACE等于 (A) A.15 B.30 C.45 D.60 【解析】∵等邊三角形ABC中,AD⊥BC,∴BD=CD,即AD是BC的垂直平分線,∵點(diǎn)E在AD上,∴BE=CE,∴∠EBC=∠ECB,∵∠EBC=45,∴∠ECB=45,∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60,∴∠ACE=∠ACB-∠ECB=15. 3.如圖,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)M作MN∥BC交AC于點(diǎn)N,且MN平分∠AMC,若AN=1,則BC的長(zhǎng)為 (B) A.4 B.6 C.43 D.8 【解析】∵在Rt△ABC中,CM平分∠ACB,MN∥BC,且MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠B,∠NCM=∠BCM=∠NMC,∴∠ACB=2∠B,NM=NC,∴∠B=30,∵AN=1,∴MN=2,∴AC=AN+NC=3,∴BC=6. 4.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,BC邊上的高為12 cm,則△ABC的面積為 (D) A.63 cm2 B.126 cm2 C.63 cm2或126 cm2 D.66 cm2或126 cm2 【解析】當(dāng)∠B為銳角時(shí)(如圖1),在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=132-122=5,在Rt△ADC中,CD=AC2-AD2=202-122=16,∴BC=21,∴S△ABC=12BCAD=122112=126(cm2);當(dāng)∠B為鈍角時(shí)(如圖2),在Rt△ABD中,BD=AB2-AD2=132-122=5, 在Rt△ADC中,CD=AC2-AD2=202-122=16,∴BC=CD-BD=16-5=11,∴S△ABC=12BCAD=121112=66(cm2).綜上,△ABC的面積為66 cm2或126 cm2. 5.如圖,在△ABC中,AB=AC=10,∠BAC的角平分線交BC邊于點(diǎn)D,AD=8,則BC=　12　. 【解析】由AB=AC,AD平分∠BAC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)知AD⊥BC,BD=CD,又由勾股定理得CD=102-82=6,所以BC=2CD=12. 6.如圖,已知BD是∠ABC的平分線,DE⊥AB于點(diǎn)E,DF⊥BC于點(diǎn)F,S△ABC=105 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,則DE的長(zhǎng)是　7　cm. 【解析】由角平分線的性質(zhì)知DE=DF,由三角形面積公式知1218DE+1212DE=105,解得DE=7 cm. 7.如圖,AB=AC=AD=4 cm,DB=DC,若∠ABC=60,則BE=　2 cm　,∠ABD=　75　. 【解析】∵AB=AC,∠ABC=60,∴△ABC為等邊三角形,∴BC=4 cm,∵AB=AC,DB=DC,∴AE是BC邊的垂直平分線,∴BE=12BC=2 cm,∠BAD=30,∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB,∴∠ABD=12(180-∠BAD)=12(180-30)=75. 8.已知兩條互不平行的線段AB,AB關(guān)于直線l對(duì)稱,AB,AB所在的直線交于點(diǎn)P,下面四個(gè)結(jié)論:①AB=AB;②點(diǎn)P在直線l上;③若A,A是對(duì)稱點(diǎn),則AA垂直平分直線l;④若點(diǎn)Q是直線l上任一點(diǎn),則QB=QB.其中正確的是?、佗冖堋?(只填序號(hào)) 【解析】由軸對(duì)稱的性質(zhì)知AB=AB,故①正確;點(diǎn)P在直線l上,故②正確;直線l是線段BB的垂直平分線,所以QB=QB,故④正確;③是錯(cuò)誤的. 9.如圖,一只蜘蛛在等腰Rt△ABC鋼梁上織網(wǎng)綱,∠BAC=90,AB=AC=8,點(diǎn)E在AB上,BE=2,要在頂梁柱AD(中線)上定一點(diǎn)F,從點(diǎn)B到點(diǎn)F拉網(wǎng)綱,再?gòu)狞c(diǎn)F到點(diǎn)E拉網(wǎng)綱. (1)點(diǎn)F在AD(中線)上何處時(shí)網(wǎng)綱(BF+FE)最短,并證明. (2)在(1)中,求最短網(wǎng)綱(BF+FE)的長(zhǎng)度. (3)在AB上還有點(diǎn)E1,E2,已知BE=EE1=E1E2=E2A=2,現(xiàn)在蜘蛛要在B,E兩點(diǎn)之間,E,E1兩點(diǎn)之間,E1,E2兩點(diǎn)之間都要到頂梁柱AD上定一次點(diǎn)拉網(wǎng)綱,直到點(diǎn)E2結(jié)束,求這些網(wǎng)綱之和最短時(shí)的長(zhǎng)度? 解:(1)如圖1,作點(diǎn)E關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接BE,交AD于點(diǎn)F,點(diǎn)F即為所求. 證明:由對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=FE,此時(shí)BE在一條直線上,在AD上任取一點(diǎn)與點(diǎn)B,E構(gòu)成三角形,利用三角形兩邊之和大于第三邊可得BE最小,即可得出BF+FE最短. (2)如圖1,過(guò)點(diǎn)E作EN⊥BC于點(diǎn)N, ∵∠BAC=90,AB=AC=8,∴BC=82, ∵BE=2,則CE=2,∴EN=NC=2,∴BN=72, 在Rt△BNE中,BE=(72)2+(2)2=10. ∴最短網(wǎng)綱(BF+FE)的長(zhǎng)度為10. (3)如圖2,由(2)可得BF+EF=10, 同理可得EF1+E1F1=EM=52=213,E1K=E1F2+E2F2=20=25, 故這些網(wǎng)綱之和最短時(shí)的長(zhǎng)度為10+213+25.