2018電大本科 小學教育(數(shù)學思想與方法》考試匯集(含答案)

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第 頁1數(shù)學思想與方法 試題 A一、單項選擇題（每題 4 分，共 40 分）1．數(shù)學的第一次危機是由于出現(xiàn)了( C )而造成的。A.無理數(shù)（或√蠆） B．整數(shù)比詈不可約 C．無理數(shù)（或厄） D.有理數(shù)無法表示正方形邊長2．算法大致可以分為( A )兩大類。A．多項式算法和指數(shù)型算法 B．對數(shù)型算法和指數(shù)型算法C. 三角函數(shù)型算法和指數(shù)型算法 D．單向式算法和多項式算法3．反駁反例是用____否定 的一種思維形式。( D )A．偶然 必然 B．隨機 確定 C．?？p 變量 D．特殊 一般4．類比聯(lián)想是人們運用類比法獲得猜想的一種思想方法，它的主要步驟是( B )。A．猜測一類比一聯(lián)想 B．聯(lián)想一類比一猜測 C．類比一聯(lián)想一猜測 D．類比一猜測一聯(lián)想5．歸納猜想是運用歸納法得到的猜想，它的思維步驟是( D )。A．歸納一猜測一特例 B.猜測一特例一歸納 C．特例一猜測一歸納 D．特例一歸納一猜測6．傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重( A )的數(shù)學知識傳授，忽略了數(shù)學思想方法的挖掘、整理、提煉。A．形式化 B．科學化 C．系統(tǒng)化 D．模型化7．所謂統(tǒng)一性，就是( C )之間的協(xié)調(diào)。A．整體與整體 B．部分與部分 C.部分與部分、部分與整體 D．個別與集體8．中國《九章算術(shù)》 的算法體系和古希臘《幾何原本》____的體系在數(shù)學歷史發(fā)展進程中爭奇斗妍、交相輝映。( A )A．以算為主 邏輯演繹 B．演繹為主 推理證明 C 模型計算為主 幾何作畫為主 D．模型計算 幾何證明9．所謂數(shù)學模型方法是( B )。A．利用數(shù)學實驗解決問題的一般數(shù)學方法 B．利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法C．利用數(shù)學理論解決問題的一般數(shù)學方法 D．利用幾何圖形解決問題的一般數(shù)學方法10．公理化方法就是從( D )出發(fā)，按照一定的規(guī)定定義出其它所有的概念，推導出其它一切命題的一種演繹方法。A．一般定義和公理 B．特定定義和概念 C．特殊概念和公理 D．初始概念和公理二、判斷題（回答對或錯，每題 4 分，共 20 分）1．數(shù)學抽象擺脫了客觀事物的物質(zhì)性質(zhì)，從中抽取其數(shù)與形，因而數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性。( √ )2．數(shù)學公理化方法在其他學科也能起到作用，所以它是萬能的。( × )3．數(shù)學模型具有預測性、準確性和演繹性，但不包括抽象性。( × )4．猜想具有兩個顯著的特點：一定的科學性和一定的推測性。( √ )5．表層類比和深層類比其涵義是一樣的。( × )三、簡答題（每題 10 分，共 30 分） 1．為什么說數(shù)學模型方法是一種迂回式化歸？答：①運用數(shù)學模型方法解決問題時，不是直接求出實際問題的解，因為這樣做往往是行不通的或者花費過分昂貴。②而是先將實際問題化歸為一個合適的數(shù)學模型，然后通過求數(shù)學模型的解間接求出原實際問題的解，走的是一條迂回的道路。③因此，我們說數(shù)學模型方法是一種迂回式化歸。回答①、②各得 4 分；回答③得 2 分。2．特殊化在數(shù)學教學中的作用有哪些？答：①利用特殊值（圖形）解選擇題。 ②利用特殊化探求問題結(jié)論。 ③利用特例檢驗一般結(jié)果。 ④利用特殊化探索解題思路。回答①、②、③、④各得 2.5 分。3．為什么數(shù)形結(jié)合方法在數(shù)學中有著非常廣泛的應用？答：①數(shù)學研究的是現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而現(xiàn)實世界本身是同時兼?zhèn)鋽?shù)與形兩種屬性的，既不存在有數(shù)無形的客觀對象，也不存在有形無數(shù)的客觀對象。②因此，在數(shù)學發(fā)展的進程中，數(shù)和形常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上互相聯(lián)系，在方法上互相滲透，在一定條件下互相轉(zhuǎn)化。③充分運用數(shù)形結(jié)合方法解決數(shù)學問題，對于溝通代數(shù)、三角、幾何各分支之間的聯(lián)系，提高分析問題、解決問題的能力具有重要作用。回答①、②各得 3 分；回答③得 4 分。四、開放題（10 分）1.結(jié)合自己的教學經(jīng)驗，談談目前的數(shù)學課程改革呈現(xiàn)的特點。當前我國數(shù)學課程改革并不局限在課程上，實際涉及了教育思想、教育目標、教育內(nèi)容、教育方法等各個方面?？梢哉f，人們對任何時期的數(shù)學教育都不會說“滿意” ，隨著社會的發(fā)展、科技的進步，數(shù)學教育的改革是永恒的。總結(jié)國內(nèi)外數(shù)學教育改革經(jīng)驗，我們認為在當前的數(shù)學課程改革中如下問題應特別關(guān)注。1 ．全面貫徹黨的教育方針，大力推進素質(zhì)教育。2 ．綜合考慮數(shù)學教育的社會功能和育人功能。第 頁23 ．深刻理解數(shù)學“雙基”的內(nèi)涵。4 ．強調(diào)學習的過程和學習的方法。5 ．課程內(nèi)容強調(diào)書本知識、生活知識、社會實踐性知識的聯(lián)系。6 ．處理好學生的自主探究式學習與教師的適度引導、幫助的關(guān)系。7 ．加強信息技術(shù)與數(shù)學課程的整合。B一、判斷題（回答對或錯，每題 4 分，共 20 分）1．數(shù)學抽象擺脫了客觀事物的物質(zhì)性質(zhì)，從中抽取其數(shù)與形，因而數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性。( )2．一個數(shù)學理論體系內(nèi)的每一個命題都必須給出證明。( )3．反例在否定一個命題時并不具有特殊的威力。( )4．不可公度性的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第二次數(shù)學危機。( )5．最早使用數(shù)學模型方法的當數(shù)中國古人。( )二、填空題（每空格 3 分，共 30 分）6．數(shù)學的第一次危機是由于出現(xiàn)了 而造成的。7．傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重 的數(shù)學知識傳授，忽略了數(shù)學思想方法的挖掘、整理、提煉。8．所謂數(shù)學模型方法是——9．菱形概念的抽象過程就是把一個新的特征： ，加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概念得到了強化。10.在計算機時代， 已成為與理論方法、實驗方法并列的第三種科學方法。11．反駁反例是用 否定 的一種思維形式。12．化歸方法包含的三個要素是 、 、 。三、簡答題（每題 10 分，共 40 分）13．簡述類比的含義，數(shù)學中常用的類比有哪些？14.常量數(shù)學應用的局限性是什么？15．簡述代數(shù)解題方法的基本思想。16．簡述《九章算術(shù)》與《幾何原本》兩大著作的特點。四、論述題（10 分）17．試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程并加以說明。試卷代號：1173中央廣播電視大學 2010-2011 學年度第一學期“開放本科”期末考試數(shù)學思想與方法試題答案及評分標準（供參考）2011 年 1 月一、判斷題（每題 4 分，共 20 分）1．是 2．否 3．否 4．否 5．是二、填空題（每空格 3 分，共 30 分）6．無理數(shù)（或√蠆）7．形式化8．利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法 9．組鄰邊相等10．計算方法11．特殊 一般12.化歸對象 化歸目標 化歸途徑三、簡答題（每題 10 分，共 40 分）13.簡述類比的含義，數(shù)學中常用的類比有哪些？答：①所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法（5 分） 。數(shù)學中常用的類似有表層類比、深層類比、溝通類比（5 分） 。14.常量數(shù)學應用的局限性是什么？答：①在建立了太陽中心理論后，17 世紀的人們面臨了如何改進計算行星位置，以及如何解釋地球上靜止的物體保持不動、下降的物體還落在地球上等之類的問題（3 分） 。②這類問題的核心是物體的運動。面對這類帶有運動特征的問題，人們已有的數(shù)學知識：算術(shù)、初等代數(shù)、初等幾何和三解等構(gòu)成的初等數(shù)學，顯得無效（3 分） 。③由于初等數(shù)學都是以不變的數(shù)量（即常量）和固定的圖形為其研究對象（因此這部分內(nèi)容也稱為常量數(shù)學） 。運用這些知識可以有效地描述和解釋相對穩(wěn)定的事物和現(xiàn)象?？墒牵瑢τ谶@些運動變化的事物和現(xiàn)象，它們顯然無能為力（4 分） 。15.簡述代數(shù)解題方法的基本思想。答：代數(shù)解題方法的基本思想是，①首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程（5 分） ；②然后通過對方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值（5 分） 。16.簡述《九章算術(shù)》與<幾何原本》兩大著作的特點。答：《幾何原本》特點：封閉的演繹體系、抽象化的內(nèi)容、公理化的方法：（5分） 《九章算術(shù)》特點：開放的歸納體系、算法化的內(nèi)容、模型化的方法。 （5 分）四、論述題（10 分）17.答：試用框圖表示用特殊化方法解決問題的一般過程并加以說明。第 頁3這個框圖告訴我們：①若我們面對的問題 A 解決起來比較困難，可以先將 A 特殊化 A’，因為 A'與 A 相比較，外延變小，因此內(nèi)涵勢必增多，所以由 A『所導出的結(jié)論 B7，它包含的內(nèi)涵一般也會比較多(2.5 分)。②把信息 B7 反饋到問題 A 中，就會為問題解決提供一些新的信息，再去推導結(jié)論 B 就會比較容易一些(2.5 分)。③若解決問題 A 仍有困難，則可對 A 再次進行特殊化，進一步增加信息量，如此反復多次，最終推得結(jié)論 B，使問題A 得以解決(2.5 分)。C一、單項選擇題（每題 4 分，共 40 分）1．所謂類比，是指( )。A．由一類事物推測與另一類事物的相似的一種推理方法B．由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法C．根據(jù)某種事物的屬性知道另一種事物的屬性的一種方法D．兩類事物具有可比性的一種推理方法2．猜想具有兩個顯著特點( )。A.推測性與準確性 B．科學性與精準性 C．準確性與必然性 D．科學性與推測性3．所謂數(shù)學模型方法是( )。A．利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法 B．利用數(shù)學原理解決問題的一般數(shù)學方法C．利用數(shù)學實驗解決問題的一般數(shù)學方法 D．利用數(shù)學工具解決問題的一般數(shù)學方法4．數(shù)學模型具有( )特性。A．抽象性、隨機性和演繹性、預測性 B．抽象性，準確牲和必然性、預測性C．抽象性、準確性和演繹性、預測性 D．抽象性、準確性和演繹性、偶然性5．概括通常包括兩種：經(jīng)營概括和理論概括。而經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所作的觀察陳述為基礎(chǔ)。上升為普遍的認識——( )的認識。 A.由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性 B．由個體特性的認識上升為集體特性C．有集體特性上升為個體特性 D．由屬的特性上升為種的特性6.三段論是演繹推理的主要形式，它由（）三部分組成。A. 大結(jié)論、小結(jié)論和推理 B．小前提、小結(jié)論和推理C．大前提、小結(jié)論和推理 D．大前提、小前提和結(jié)論7.傳統(tǒng)數(shù)學教學只注重———的傳授，而忽略對知識發(fā)生過程中——的挖掘A. 具體化數(shù)學知識，數(shù)學理論方法 B．形式化數(shù)學知識，數(shù)學思想方法C．數(shù)學解題強化，數(shù)學思想方法 D．數(shù)學系統(tǒng)結(jié)構(gòu)知識，數(shù)學思想方法8.特殊化方法是指在研究問題中， （ ）的思想方法A. 運用特殊方法解決問題B．從對象的一個給定集合出發(fā)，進而考慮某個包含于該集合的較小集合C．從對象的一個給定范圍出發(fā)，進而考慮某個包含于該范圍的較小范圍D．從對象的一個給定區(qū)間出發(fā)，進而考慮某個包含于該區(qū)間的較小區(qū)間9.分類方法的原則是（ ）A. 按種類逐步劃分 B．按作用逐步劃分C．按性質(zhì)逐步劃分 D．不重復，無遺漏，標準同一，按層次逐步劃分10．數(shù)學模型可以分為三類（）A. 人口模型，交通模型，生態(tài)模型 B．規(guī)劃模型，生產(chǎn)模型，環(huán)境模型C．概念型，方法型，結(jié)構(gòu)型 D．初等模型，幾何 模型，圖論模型第 頁4二、判斷題（回答對或錯，每題 4 分，共 20 分）1．隨機現(xiàn)象就是雜亂無章的現(xiàn)象，無論是個別還是整體，其隨機現(xiàn)象都沒有規(guī)律性。( )2．數(shù)學學科的新發(fā)展——分形幾何，其分形的思想就是將某一對象的細微部分放大后，其結(jié)構(gòu)與原先的一樣。( )3．我國中小學數(shù)學成績舉世公認， “高分必然產(chǎn)生高創(chuàng)造力” ，我國中學生的科學測試成績名列前茅。( )4．我國《數(shù)學課程標準》指出，數(shù)學知識就是“數(shù)與形以及演繹的知識” 。( )5．數(shù)學基礎(chǔ)知識與數(shù)學思想方法是數(shù)學教學的兩條主線，而且是兩條明線。( )三、簡答題（每題 10 分，共 30 分）1．簡述類比的含義，數(shù)學中常用的類比有哪些？2．簡述計算工具的發(fā)展。3．簡述小學數(shù)學加強數(shù)學思想方法教學的重要性，具體表現(xiàn)？四、開放題（10 分）結(jié)合教材的第 11、12 章，談談目前你所在的小學其數(shù)學教育教學情況及改革設(shè)想。C 答案一、單項選擇題（每題 4 分，共 40 分）1．B2.D 3．A 4．C 5.A6．D 7．B 8．B 9．D10.C 二、判斷題（每題 4 分，共 20 分）‘ 1．錯 ．一 2．對 3．錯 4．對 5．錯三、簡答題（每題 10 分，共 30 分）1．答：①所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。類比又稱為類比法，或者類比推理。②在數(shù)學中，常見的類比有：直線和平面的類比，平面與空間的類比，數(shù)與式的類比，方程與不等式的類比，數(shù)與形的類比，一元與多元的類比，有限與無限的類比。回答①、②各得 5 分。2．答：①經(jīng)歷了古代的計算工具；②手搖計算機、對數(shù)計算尺等機械式計算工具；電動式計算機；③機電式計算機；④集成電路計算機、大規(guī)模集成電路計算機幾個主要階段。回答①、②、③、④各得 2.5 分。3．答：①數(shù)學思想方法是聯(lián)系知識與能力的紐帶，是數(shù)學科學的靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高學生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。具體表現(xiàn)在：②掌握數(shù)學思想方法能更好地理解數(shù)學知識。③數(shù)學思想方法對數(shù)學問題的解決有著重要的作用。④加強數(shù)學思想方法的教學是以學生發(fā)展為本的必然要求。回答①、②、③、④各得 2.5 分。四、開放題（10 分）本題答案不唯一，只要言之有理即可。D．一、 填空題1 古代數(shù)學大致可以分為兩種不同的類型，一種是崇尚邏輯推理，以《幾何原本》為代表；一種是長于計算和實際應用，以（《九章算術(shù)》）為典范。2、在數(shù)學中，建立公理體系最早的是幾何學，而這方面的代表著作是古希臘歐幾里得（《幾何原本》）3、《幾何原本》所開創(chuàng)的（公理化）方法不僅成為一種數(shù)學陳述模式，而且還被移植到其它學科，并且促進他們的發(fā)展。4、推動數(shù)學發(fā)展的原因主要有兩個：（1）（實踐的需要，（2）理論的需要）數(shù)學思想方法的幾次突破就是這兩種需要的結(jié)果。5、變量數(shù)學產(chǎn)生的數(shù)學基礎(chǔ)是（解析幾何），標志是（微積分）6、（數(shù)學基礎(chǔ)知識和數(shù)學思想方法）是數(shù)學教學的兩條主線。7、隨機現(xiàn)象的特點是（在一定條件下，看你發(fā)生某種結(jié)果，也困難不發(fā)生某種結(jié)果。8、等腰三角形的抽象過程，就是把一個新的特征（兩邊相等）加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強化。9、學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個主要階段，（潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段）第 頁510、數(shù)學的統(tǒng)一性是客觀世界統(tǒng)一性額反映，是數(shù)學中各個分支固有的內(nèi)在聯(lián)系的體現(xiàn)，它表現(xiàn)為（數(shù)學的各個分支相互滲透和相互結(jié)合）的趨勢。11、強抽象就是指通過（把一些新特征加入到某一概念中去而形成新概念的抽象過程。12、菱形概念的抽象過程就是把一個新的特征（一組鄰邊相等）加入到平行四邊形概念中去，使平行四邊形概念得到了強化。13、演繹法與（歸納法）被認為是理性思維中兩種最重要的推理方法。14、所謂類比是指（由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有該屬性的一種推理方法）常稱這種方法為類比法，也稱類比推理、15、反例反駁的理論依據(jù)是形式邏輯的（矛盾律）16、猜想具有兩個顯著特點：（具有一定的科學性、具有一定的推測性）17、三段論是演繹推理的主要形式，三段論由（大前提、小前提、結(jié)論）三部份組成。18、化歸方法是指（把待解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或較易解決的問題中，最終獲得原問題的答的一種方法）19、在化歸過程中，應遵循的原則是（簡單化原則、熟悉化原則、和諧化原則）20、在計算機時代，（計算方法）已經(jīng)成為與理論方法，實驗方法并列的第三種科學方法。21、算法具有下列特點（有限性、確定性、有效性）22、算法大致可以分為（多項式算法和指數(shù)型算法）23、勻速直線運動的數(shù)學模型是（一次函數(shù)）24、所謂數(shù)學模型方法是（利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法）25、分類必須遵循的原則是（不重復、無遺漏、標準同一。）26、所謂數(shù)形結(jié)合方法，就是在研究數(shù)學問題時，（由數(shù)思形、見形思數(shù)、數(shù)形結(jié)合考慮問題的）一種思想方法。27、所謂特殊化是指在研究問題過程中（從對象的一個給定集合出發(fā)，進而考慮某個包含于該集合的較小集合）的思想方法。28、面對一個問題，經(jīng)過認真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手（演繹證明此猜想為真、或者尋找反例說明此猜想為假），并進一步修正或否定此猜想。29、化歸方法的三個要素是（化歸對象、化歸目標、化歸途徑）30、根據(jù)學生掌握數(shù)學思想方法的過程由潛意識、明朗化、深刻理解三個階段，課相應地將數(shù)學思想方法教學設(shè)計成（多次孕育、初步理解、簡單應用）三個階段。31、（數(shù)學思想方法）是聯(lián)系數(shù)學知識與數(shù)學能力地紐帶，是數(shù)學科學地靈魂，它對發(fā)展學生的數(shù)學能力，通過學生的思維品質(zhì)都具有十分重要的作用。32、一個概括過程包括（比較、區(qū)分、擴張和分析）等幾個主要環(huán)節(jié)。33、算法的有效性是指（如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解決）34、數(shù)學從研究對象大致可以分成兩大類，（數(shù)量關(guān)系、空間形式）二、判斷題（只要答是或否）1、計算機是數(shù)學的創(chuàng)造物，又是數(shù)學的創(chuàng)造者。（是）2、抽象得到的新概念與表達原來的對象的概念之間一定有種屬關(guān)系（否）3、一個數(shù)學理論體系內(nèi)的每一個命題都必須給出證明（否）4、九章算術(shù)不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容（否）5、即沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不包括數(shù)學思想方法的數(shù)學知識（是）6、數(shù)學模型方法在生物學。經(jīng)濟學、軍事學等領(lǐng)域沒應用（否）7、在解決數(shù)學解時，往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才能取得效果（是）8、如果某一類問題存在算法，并且構(gòu)造出這個算法，就一定能求出該解的精確解。（否）9、對同一數(shù)學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類（是）10、數(shù)學思想方法教學隸屬于教學范疇，只要貫徹通常的數(shù)學教學原則，就可實現(xiàn)數(shù)學思想方法的教學目標（否）11、由類比法推得的結(jié)論必然正確（否）12、有時特殊情況能與一般情況等價（否）13、完全歸納法實質(zhì)上屬于演繹推理的范疇（是）14、古希臘的柏拉圖曾在他的學校門口張榜聲明，不懂幾何的人不得入內(nèi)，這是因為他的學校里所學習的課程要用到很多幾何知識（否）15、完全歸納法的一般推理形式是：設(shè) s=A1 A2 An ,由于 A1 A2 An 具有性質(zhì) P，因此推斷幾何 s 中的每一個對象都具有性質(zhì) P（否）二簡答題1、為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系？《幾何原本》是數(shù)學中最早形成的演繹體系。在形式上，它是以少數(shù)原始概念，如點、線、面等等，和不證明的公設(shè)和公里為基礎(chǔ)，運用亞里士多德所創(chuàng)立的邏輯學，把當時所知的幾何學中的主要命題全部推演出來，從而形成一個井然有序的整體。在這個整體中，除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過的定理，因此《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。另外，從《幾何原本》與當時的社會生產(chǎn)、生活的關(guān)系看，它的理論體系的理論體系回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生活有關(guān)的應用問題，因此對于社會生活的各個領(lǐng)域來說，它也是封閉的。所以，《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。2、試對《九章算術(shù)》思想方法的一個特點算法化內(nèi)容加以說明？《九章算術(shù)》在每一章內(nèi)先列舉若干個實際問題，并對每個問題都給出答案，然后再給出“術(shù)”，作為一類問題的共同解法。以后遇到其他同類問題，只要按“術(shù)”給出的程序去做就一定能求出問題的答案，書中的“術(shù)”就是算法。3、簡述確定性現(xiàn)象、隨機現(xiàn)象的特點，以及確定性數(shù)學的局限性？第 頁6人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性現(xiàn)象。其特點是：在一定的條件下，其結(jié)果完全被決定，或者完全肯定，或者完全否定，不存在其他可能。即這種現(xiàn)象在一定的條件下必然會發(fā)生某種結(jié)果，或者必然不會發(fā)生某種結(jié)果另一類是隨機現(xiàn)象，其特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果?！　≡跀?shù)學學科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性現(xiàn)象的運動和變化過程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機現(xiàn)象條件和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確定數(shù)學來加以定量描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學的局限所在。4、簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途？在數(shù)學方面，計算機至少有三種新的用途，第一，用來證明一些數(shù)學命題，而通常證明這類命題，需要進行異常巨大的計算與演繹工作；第二，用來預測某些數(shù)學問題的可能結(jié)果；第三，用來作為一種驗證某些數(shù)學問題結(jié)果的正確性的方法。5、簡述數(shù)學抽象的特征？數(shù)學抽象有以下特征：（1）數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性。數(shù)學抽象擺脫了客觀事物的物質(zhì)性質(zhì)，從中抽取其數(shù)與形，因而數(shù)學抽象具有無物質(zhì)性。（2）數(shù)學抽象具有層次性：數(shù)學概念是數(shù)學抽象的結(jié)果，但是不同的數(shù)學概念又表現(xiàn)出數(shù)學抽象的層次性。例如，自然數(shù)概念是從客觀事物中抽象出來的，字母 a 表示的數(shù)又是在對數(shù)的抽象后的結(jié)果。（3）數(shù)學抽象過程要憑借分析或直覺;(4)數(shù)學的抽象不僅有概念抽象還有方法抽象6、簡述化歸方法在數(shù)學教學中的應用？化歸方法在數(shù)學教學中的功能至少可以歸結(jié)為以下三個方面：（1）利用化歸方法學習新知識：數(shù)學中許多概念的形成過程或數(shù)學的定義，就是滲透著化歸的思想方法。實數(shù)的引進以及運算法則和大小比較的確定，是建立在有理數(shù)運算和大小比較的基礎(chǔ)上的，它是借助極限來實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的。（2）利用化歸方法指導解題；（3）利用化歸原則理清知識結(jié)構(gòu)：運用化歸思想方法可將零星紛亂的知識編織成一張有序的主次分明的知識網(wǎng)絡(luò)，做到易懂、易記、易用。7、簡述用 MM 數(shù)學模型解決實際問題的基本步驟，并用框圖加以表述？用 MM 方法解決實際問題的基本步驟為（1）從現(xiàn)實原型抽象概括出數(shù)學模型；（2）在數(shù)學模型上進行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學問題的解；（3）下數(shù)學模型過渡到現(xiàn)實原型，即把研究數(shù)學模型所得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實原型上去，便得到實際問題的解答。MM 方法解題的基本步驟框圖表示如下：8、試用框圖表示用特殊化方法解決實際問題的一般過程？用特殊化解決問題的一般過程，可以用框圖表示，若我們面對的問題 A 解決起來比較困難，可以先將 A 特殊化為 ，因為 與 A 相比較，外延變小，因此內(nèi)涵勢必增多，所以由 所導出的結(jié)論 ，它包含的內(nèi)涵一般也會比較多。把信息 反饋到問題A 中，就會為問題解決提供一些新的信息，再去推導結(jié)論 B 就會比較容易一些。若解決問題 A 仍有困難，即可對 A 再次進行特殊化，進一步增加信息量，如此反復多次，最終推得結(jié)論 B，使問題 A 得以解決。(若信息不夠則重復進行)9 簡述化歸方法的和諧化原則？和諧化是數(shù)學內(nèi)在美的主要內(nèi)容之一。美與真在數(shù)學命題和數(shù)學解題中一般是統(tǒng)一的。因此，我們在解題過程中，可根據(jù)數(shù)學問題的條件或結(jié)論以及數(shù)、式、形等結(jié)構(gòu)特征，利用和諧美去思考問題，獲得解題信息，從而確立解題的總體思路，達到以美啟真的作用。例如：10、什么是算法的有限性特點？試舉一個不符合有限性特點的例子。一個算法必須在有限步內(nèi)終止。例如，十進制小數(shù)的除法的算法。若取數(shù) 4.5 和 3 作為初始數(shù)據(jù),計算過程為得到的結(jié)果為 1.5.但是對初始數(shù)據(jù) 20 和 3,計算過程為無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束,同時也不會中斷.如果在某一處中斷過程,我們只能得到一個近似的、步準確的結(jié)果。而且如果在某一處中斷計算過程已經(jīng)不是執(zhí)行原來的算法?？梢?，十進制小數(shù)除法對于 20 和 3 這組數(shù)不符合算法的“有限性”特點。11、簡述培養(yǎng)數(shù)學猜想能力的途徑？用猜想學習新知識；用猜想探究數(shù)學規(guī)律用猜想幫助解題。12、簡述特殊化方法在數(shù)學教學中的應用？答　特殊化方法在數(shù)學教學中的應用大致有如下幾個方面：①利用特殊值(圖形)解選擇題；②利用特殊化探求問題結(jié)論；③利用特例檢驗一般結(jié)果；④利用特殊化探索解題思路。13、什么是類比猜想？并舉一個例子說明人們運用類比法，根據(jù)一類事物所具有的某種屬性，得出與其類似的事物也具有這種屬性的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為類比猜想。例如，分式與分數(shù)非常相似，只不過用字母替代數(shù)而已。因此，我們可以猜想，分式與分數(shù)在定義、基本性質(zhì)、約分、通分、四則運算等方面都是對應相似的。事實也確是如此。14、什么是歸納猜想？并舉一個例子說明。人們運用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后，發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似地等于 3.14，于是提出了圓周率是 3.14 地猜想。后來數(shù)學家從理論上證明了圓周率地數(shù)值為 ，果然和 3.14 很接近。15、簡述將化隱為顯列為數(shù)學思想方法教學的一個原則的理由。由于數(shù)學思想方法往往隱含在知識的背后，知識教學雖然蘊含著思想方法，但是如果不是由意識地把數(shù)學思想方法作為教學對象，在數(shù)學學習時，學生常常只注意到處于表層地數(shù)學知識，而注意不到處于深層的思想方法。因此，進行數(shù)學思想方法教學時必須以數(shù)學知識為載體，把隱藏在知識背后的思想方法顯示出來，使之明朗化，才能通過知識教學達到思想方法教學之目的。例如在解決有關(guān)應用問題時，為了使學生弄清問題的數(shù)量關(guān)系，尋找到有效的解題策略，往往借助圖示就第 頁7能使問題得到解決。這種將圖形與數(shù)量關(guān)系緊密聯(lián)系起來解決問題的數(shù)形方法，教材中并沒有明確地表述出來，需要學生用心體會，才能領(lǐng)悟到，但這不是所有學生都能達到的。實施數(shù)學思想方法教學，就要求教師按照“化隱為顯”的原則，對教材下一番改造制作的功夫。二、解答題1、運用方程模型解答應用題時，其中最重要的是“設(shè)想問題已經(jīng)解出”，“用兩種不同方法表示同一個量”，“方程個數(shù)和未知量個數(shù)相等”這三個要點，這是為什么，請闡述你的理解。設(shè)想問題已經(jīng)解出，即在列式時將未知量與已知量同等對待。這是列方程中的一個重要思想，也是它優(yōu)于算術(shù)之處。在算術(shù)列式中，未知量只能列在等號左邊，且系數(shù)必須為 1，已知量只能在等號右邊出現(xiàn)。已知量與未知量的地位截然不同，因此列式比較困難，而在方程列式中，已知量與未知量處于同等地位，都可以在等號兩邊出現(xiàn)，于是列式就容易多了?！坝脙煞N不同方法表示同一個量”這是列方程的關(guān)鍵。所謂方程，其實就是用兩種不同的方法表示同一個量，并用等號聯(lián)結(jié)起來?！胺匠虃€數(shù)和未知量個數(shù)相等”是為了得到確定的解，這里有一個自由度的思想，當方程個數(shù)少于未知量個數(shù)時，就會出現(xiàn)不定方程（組），這時方程（組）的解一般會有無窮多個。2 什么是類比推理?類比推理的表示形式？怎樣才能增加結(jié)論的可靠性？答：所謂類比，是指由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性的一種推理方法。常稱這種方法為類比法，也稱類比推理。類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆篈 具有性質(zhì) B 具有性質(zhì) 因此，B 也可能具有性質(zhì) 。其中， 分別相同或相似。欲提高類比的可靠性，應盡量滿足條件：(1)A 與 B 共同(或相似)的屬性盡可能地多些；(2)這些共同(或相似)的屬性應是類比對象 A 與 B 的主要屬性；(3)這些共同(或相似)的屬性應包括類比對象的各個不同方面，并且盡可能是多方面的；(4)可遷移的屬性 d 應該是和 屬于同一類型。符合上述條件的類比，其結(jié)論的可靠性雖然可以得到提高，但仍不能保證結(jié)論一定正確。3、圓周角定理證明思路如下：將圓周角的兩邊所處的位置分成三種情況，（1）角的一邊落在直徑上（2）角的兩邊在某一直徑的兩側(cè)（3）角的兩邊在某一直徑的同側(cè)。如圖所示，先對情況（1）進行證明，然后將情況（2）（3）轉(zhuǎn)化為情況（1）分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。證明中用到下面幾種數(shù)學思想方法：（1）將圓周角分成三種情況，用到分類方法（2）先證明角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法（3）將其他兩種情況轉(zhuǎn)化為角恰有一邊在直徑上的情況用到化歸方法（4）通過對所以三種情況證明，然后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法（5）在證明過程中需要進行演繹推理，因此用到演繹方法。4、以“認識長方形對邊相等”為內(nèi)容，設(shè)計一個教學片斷。（要求（1）教學過程要比較具體，合理具有一定的層次（2）要有與數(shù)學知識教學相聯(lián)系的本課程所學習的數(shù)學思想方法教學內(nèi)容，不少于 300 字。將教學過程設(shè)計成四個層次：（1）讓學生說一說，我們周圍有哪些長方形物體？學生會舉出黑板、桌面、教室的門、課本的封面等例子。（2）要求學生仔細觀察：看一看、想一想，這些長方形的四條邊的長短有什么關(guān)系？學生經(jīng)過觀察后，會猜想：長方形相對的兩條邊長度相等。（3）教師進一步提出問題：同學們敢于大膽猜想的精神值得鼓勵！我們怎樣才能驗證長方形相對的兩條邊長短相等呢？這時，學生會想出許多辦法，如：用尺量、將圖形對折等方法。教師順勢引導學生通過量量、折折的具體*作，確信長方形相對的兩條邊長短相等。教師板書：長方形對邊相等。接著，師生討論長方形“對邊”的含義，以及一個長方形有幾組對邊的問題。（4）鞏固長方形對邊相等的認識。利用多媒體展示下面的長方形：師：如何填寫括號內(nèi)的數(shù)字？為什么要求學生會用“因為 所以”句式回答。如因為長方形的對邊相等，已知長方形的一條邊是 4 厘米，所以它的對邊也是 4 厘米。一、填空題(本大履滿分 30 分。本大題共有 10 題，每個空桔填對得 3 分，否則一律得零分)1． 《幾何原本》所開創(chuàng)的 公理化 方法不僅成為 —種數(shù)學陳述模式，而且還被移植到其它學科，并且促進它們的發(fā)展．2．隨機現(xiàn)象的特點是 在一定條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果，也可能不發(fā)生某種結(jié)果 。3．等腰三角形概念的抽象過程，就是把一個新的特征： 兩邊相等 加入到三角形概念中去，使三角形概念得到強化．4．類比法是指， 由一類事物所具有的某種屬性，可以推測與其類似的事物也具有這種屬性 的一種推理方法．5。面對一個問愿，經(jīng)過認真的觀察和思考，過歸納或者類比提出猜想，然后從兩個方面人手；演繹證明此猜想為真；或者 尋找反例說明此猜想為假 并且進一步修正成否定此猜想．6．化歸方法包含的三個要素是： 化歸對象、化歸日標、化歸途徑 。7．算法的有效性是指， 如果使用該算法從它的初始數(shù)據(jù)出發(fā)，能夠得到這一問題的正確解 8．數(shù)學的研究對象大致可以分成兩類 ① 研究數(shù)量關(guān)系， ② 研究空間形式 。第 頁89。一個科學的分類標準必須能夠?qū)⑿枰诸惖臄?shù)學對象， 不重復．無遺漏 進行的劃分。10．根據(jù)學生掌握數(shù)學思想方法的過程有潛意識階段、明朗化階段和深刻理解階段等三個階段，可相應地將小學數(shù)學思想方法教學設(shè)計成 多次孕育、初步理解、簡單應用 三個階段。二、判斷 (本大題滿分 10 分。本大題共有 5 題，請在每題后面的圓括號內(nèi)填寫”是”或·否’ ，答對得 2 分，)1， 《九章算術(shù)》不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容．否2．抽象和概括是兩種完全不同的方法 否3．沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不包含數(shù)學思想方法的數(shù)學知識．是4．數(shù)學模型方法是物理學、工程學的專利，在生物學、經(jīng)濟學、軍事學等領(lǐng)域投有應用．否5．在解決敷學問題時，往往需要綜合運用多種數(shù)學思想方法才能奏效．是三、簡答題(本大題滿分 30 分。本大題共有 5 題，只要筒明扼要地寫出答案，每題均為 6 分)1．為什么說《幾何原本》是一個封閉的演繹體系?、 ①《 幾何原本 》 以少數(shù)原始概念和公設(shè)、公理為基礎(chǔ)，運用邏輯規(guī)則將當時所知的幾何學中的主要命題 (定理 )全都推出來，從而形成一個井然有序的整體．在這個體系中，除了邏輯規(guī)則外，每個定理的證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或 dS面已證明的定理，并且引入的概念 (除原始概念 )也基本上符合邏輯上對概念下定義的要求，原則上不再依賴其它東西．② 另外． 《 幾何原本 )回避任何與社會生產(chǎn)現(xiàn)實生括有關(guān)的應用問題，對社會生活的各個領(lǐng)域來說也是封閉的．因此， (幾何原本 )是一個相對封閉的演繹體系．2．簡述計算機在數(shù)學方面的三種新用途。第一，用來證明一些數(shù)學命題；第二，用來預測某些數(shù)學問題的可能結(jié)果，第三，用來驗證某些數(shù)學問題的結(jié)果的正確性．3．試用框鬮表示出 MM 方法解題的基本步驟。MM 方法解題的基本步驟可用框圖表示為：4．簡述化歸方法在數(shù)學教學中的應用?；瘹w方法在數(shù)學教學中的應用至少有以下三個方面：1)利用化歸方法學習新知識，② 利用化歸方法指導解題，① 利用化歸方法整理知識結(jié)構(gòu)．5．什么是算法的有限性特點?試舉一個不符合算法有限性特點的例子．算法的有限性是指．一個算法必須在有限步之內(nèi)終止．以十進翻小數(shù)的除法這個算法為例，如取敷 2 和 3 作為初始數(shù)據(jù)，則有 2--3=O． 6666…無論怎樣延續(xù)這個過程都不能結(jié)束，同時也不會出現(xiàn)中斷．因此，除法對于 2 和 3 這組數(shù)不符合算法有限性特點．四、解答題(本大題滿分 30 分。本大屬共有 2 題，每題均為 15 分)1．圓周角定理證明思路如下：將四周角的兩邊所處的位置分成三種情況：①角的一邊落在直徑上；②角的兩邊在某—直徑的兩側(cè)，③角的兩邊在某一直徑的同側(cè)．如上田所示．先對情況①進行證明，然后將情況②、③轉(zhuǎn)化為情況①分別進行證明．最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學思想方法。該證明中需用到 ”F 面幾種數(shù)學思想方法，① 將圃周角分成三種情況，用到分類方法；② 先證明情況 ① 而情況 ① 是角恰有一邊在直徑上的特殊情況，用到特殊化方法：② 通過對所有三種情況的證明，最后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法，④ 在證明過程中需要進行演繹推理，因此用到演繹方法．2．以“三角形面積公式·為內(nèi)容，沒計一個教學片斷。(要求：①教學過程要比較具體、合理，且有一定的層次：①要有與數(shù)學知識教學相聯(lián)系的本課程中學習的數(shù)學思想方法教學內(nèi)容‘③不少于 300 字)一、填空題(每題 3 分，共 30 分)1．學生理解或掌握數(shù)學思想方法的過程有如下三個主要階段 潛意識階段、明朗化階段、深刻理解階段 。2．強抽象就是指，通過 把一些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象過程 而形成新概念的抽象過程3．菱形概念的抽象過程就是把—個新的特征： 一組鄰邊相等 加入到平行四邊形概念中去，匣平行四邊形概念得到了強化。4．分類必須遵循的原則是 ① 不重復， ② 無遺漏， ③ 標準同一 ④ 按層次逐步劃分 。5．面對一個問題，經(jīng)過認真的觀察和思考，通過歸納或類比提出猜想，然后從兩個方面入手：演繹證明此猜想為真；或者尋找反例說明此猜想為假 并且進一步修正或否定此猜想。6． 《幾何原本》所開創(chuàng)的 公理化 方法不僅成為一種數(shù)學陳述模式，而且還被移植到其它學科，并且促進它們的發(fā)展。7．變量數(shù)學產(chǎn)生的數(shù)學基礎(chǔ)是 解析幾何 ，標志是 微積分 。8． 數(shù)學基礎(chǔ)知識和數(shù)學思想方法 是數(shù)學教學的兩條主線。9 深層類比又稱實質(zhì)性類比，它是通過 對被比較對象的處理相互依存的各種相似屬性之間的多種因果關(guān)系的分析 而得到的類比。10．一個概括過程包括 比較、區(qū)分、擴張、分析 。 二、判斷題(每題 2 分，共 10 分。在括號里填上是或否)1． 《九章算術(shù)》不包括代數(shù)、幾何內(nèi)容。( 否 )第 頁92．既沒有脫離數(shù)學知識的數(shù)學思想方法，也沒有不包括數(shù)學思想方法的數(shù)學知識．( 是 )3．對同一數(shù)學對象，若選取不同的標準，可以得到不同的分類。( 是 ) 4．特殊化是研究共性中的個性的一種方法。( 否 ) 5．數(shù)學模型方法應用面很窄。( 否 ) 三、簡答題(每題 6 分，共 30 分) 1．簡述培養(yǎng)數(shù)學猜想能力的途徑。答：猜想能力培養(yǎng)可以通過數(shù)學教學，如： ① 新知識的學習、 ② 數(shù)學規(guī)律的尋求、 ③ 解題思路的探索等途徑來實現(xiàn)。2．簡述特殊化方法在數(shù)學教學中的應用。答： ① 利用特殊值 (圖形 )解選擇題； ② 利用特殊化探求問題結(jié)論； ③ 利用特例檢驗一般結(jié)果； ④ 利用特殊化探索解題思路。3．什么是歸納猜想?井舉一個例子說明。答： ① 人們運用歸納法，得出對一類現(xiàn)象的某種一般性認識的一種推測性的判斷，即猜想，這種思想方法稱為歸納猜想。② 例如，人們在量度了很多圓的周長和半徑以后．發(fā)現(xiàn)它們的比值總是近似地等于 3． 14，于是提出了圓周率是 3． 14 的猜想。后來數(shù)學家從理論上證明了圓周率的數(shù)值為 ，果然和 3． 14 很接近．4．簡述概括與抽象的關(guān)系。答： ① 概括方法與抽象方法是不同的，但是它們又有十分密切的聯(lián)系．抽象是舍棄事物的一些屬性而收括固定出其固有的另一些屬性的思維過程，抽象得到的新概念與表述原來的對象的溉念之間不一定有種屬關(guān)系。 ② 概括是在思維中由認識個別事物的本質(zhì)屬性，發(fā)展到認識具有這種本質(zhì)屬性的一切事物，從而形成關(guān)于這類事物的普遍概念．由概括得出的新概念是表述概括對象概念的一個屬概念。 ③ 概括和抽象雖有差別，但又是互相聯(lián)系，密不可分的。抽象是概括的基礎(chǔ)，沒有抽象就不能認識任何事物的本質(zhì)屬性，就無法概括．概括也是抽象思維過程中所必須的一個環(huán)節(jié)，前述 “收括 ”操作實際上也是一個概括過程，有人就把 “收括 ”稱之為概括，由于對共同點的概括才能得出對象的本質(zhì)屬性，從而完成抽象過程。5．在實施數(shù)學思想方法教學時應注意哪些問題?答：為了叨實加強數(shù)學思想方法教學，應注意以下幾點事項： ① 要把數(shù)學思想方法的學習納入數(shù)學目標，并在教案中設(shè)計好數(shù)學思想方法的教學內(nèi)容和教學過程； ② 重視數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展的過程，認真設(shè)計數(shù)學思想方法教學的目標， ③ 做好數(shù)學思想方法教學的鋪墊工作和鞏固工作； ④ 不同類型的數(shù)學思想方法應有不同的教學要求； ⑤ 注意不同數(shù)學思想方法的綜合運用。四、解答題(每題 15 分，共 20 分)1．圓周角定理證明思路如下： 將圓周角的兩邊所處的位置分成三種情況：①角的一邊落在直徑上；②角的兩邊在某一直徑的兩鍘；③角的兩邊在某一直徑的同側(cè)。如上圖所示。先對情況①進行證明，然后將情況②、③轉(zhuǎn)化為情況①分別進行證明。最后得出圓周角定理對任意圓周角都成立的結(jié)論。 試具體分析上述證明中需要用到哪些數(shù)學思想方法答：該證明中用到下面幾種數(shù)學思想方法： ① 將圓周角分成三樸情況，用到分類方法； ② 先證明角恰有 —邊正直徑上的特殊情況，用別特殊化方法。 ③ 將其他兩種情況轉(zhuǎn)化為角恰有 —邊在直徑上的情況，用到化歸方法； ④ 通過對所有三種情況的證明．然后得出圓周角定理的結(jié)論，用到完全歸納法 ⑤ 在證明過程巾需要進行演繹推理因此用到演繹方法。2．論述《幾何原本》思想方法的特點。 答：因為在《幾何原本》中．除了推導時所需要的邏輯規(guī)則外，每個定理酌證明所采用的論據(jù)均是公設(shè)、公理或前面已經(jīng)證明過酌定理．并且引入的概念(除原始概念)也基本上是符合邏輯上對概念下定義的要求．原則上不再依賴其它東西。所以． 《幾何原本》是一個封閉的演繹體系。②抽象化的內(nèi)容 《幾何原本》中研究的對象都是抽象的概念和命題，它所探討的是這些概念和命題之間的邏輯關(guān)系．不討論這些概念和命題與社會生活之間的關(guān)系，也不考察這些數(shù)學模型所由之產(chǎn)生的現(xiàn)實原型。因此《幾何原本》的內(nèi)容是抽象的。③公理化的方法《幾何原本》的第一篇中開頭 5 個公設(shè)和 5 個公理．是全書其它命題證明的基本前提，接著給出 23 個定義，然后再逐步引入和證明定理。定理的引入是有序的，在一個定理的證明中，允許采用的論據(jù)只有公設(shè)和公理與前面已經(jīng)證明過的定理。以后各篇除了不再給出公設(shè)和公理外也都照此辦理。這種處理知識體系與表述方法就是公理化方法。一、簡答題 1、分別簡單敘說算術(shù)與代數(shù)的解題方法基本思想，并且比較 它們的區(qū)別。 答：算術(shù)解題方法的基本思想：首先要圍繞所求的數(shù)量， 收集和整理各種已知的數(shù)據(jù)，并依據(jù)問題的條件列出關(guān)于這些具 體數(shù)據(jù)的算式，然后通過四則運算求得算式的結(jié)果。代數(shù)解題方法的基本思想是：首先依據(jù)問題的條件組成內(nèi)含 已知數(shù)和未知數(shù)的代數(shù)式，并按等量關(guān)系列出方程，然后通過對 方程進行恒等變換求出未知數(shù)的值。 它們的區(qū)別在于算術(shù)解題參與的量必須是已知的量，而代數(shù) 解題允許未知的量參與運算；算術(shù)方法的關(guān)鍵之處是列算式，而 代數(shù)方法的關(guān)鍵之處是列方程。2、比較決定性現(xiàn)象和隨機性現(xiàn)象的特點，簡單敘說確定數(shù) 學的局限。 答：人們常常遇到兩類截然不同的現(xiàn)象，一類是決定性 現(xiàn)象，另一類是隨機現(xiàn)象。決定性現(xiàn)象的特點是：在一定的條 件下，其結(jié)果可以唯一確定。因此決定性現(xiàn)象的條件和結(jié)果之 間存在著必然的聯(lián)系，所以事先可以預知結(jié)果如何。 隨機現(xiàn)象的特點是：在一定的條件下，可能發(fā)生某種結(jié)果， 也可能不發(fā)生某種結(jié)果。對于這類現(xiàn)象，由于條件和結(jié)果之間不 存在必然性聯(lián)系。 在數(shù)學學科中，人們常常把研究決定性現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的那些 數(shù)學分支稱為確定數(shù)學。用這些的分支來定量地描述某些決定性 現(xiàn)象的運動和變化過程，從而確定結(jié)果。但是由于隨機現(xiàn)象條件 和結(jié)果之間不存在必然性聯(lián)系，因此不能用確第 頁10定數(shù)學來加以定量 描述。同時確定數(shù)學也無法定量地揭示大量同類隨機現(xiàn)象中所蘊 涵的規(guī)律性。這些是確定數(shù)學的局限所在。3 敘述 抽象的含義及其過程。答：抽象是指在認識事物的過程中，舍棄那些個別的、偶然的非本質(zhì)屬性，抽取普遍的、必然的本質(zhì)屬性，形成科學概念，從而把握事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維過程。人們在思維中對對象的抽象是從對對象的比較和區(qū)分開始的。所謂比較，就是在思維中確定對象之間的相同點和不同點；而所謂區(qū)分，則是把比較得到的相同點和不同點在思維中固定下來，利用它們把對象分為不同的類。然后再進行舍棄與收括，舍棄是指在思維中不考慮對象的某些性質(zhì)，收括則是指把對象的我們所需要的性質(zhì)固定下來，并用詞表達出來。這就形成了抽象的概念，同時也就形成了表示這個概念的詞，于是完成了一個抽象過程。4、括的含義及其過程。答：概括是指在認識事物屬性的過程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本質(zhì)的屬性聯(lián)系起來，整理推廣到同類的全體事物，從而形成這類事物的普遍概念的思維過程。概括通?？煞譃榻?jīng)驗概括和理論概括兩種。經(jīng)驗概括是從事實出發(fā)，以對個別事物所做的觀察陳述為基礎(chǔ)，上升為普遍的認識——由對個體特性的認識上升為對個體所屬的種的特性的認識。理論概括則是指在經(jīng)驗概括的基礎(chǔ)上，由對種的特性的認識上升為對種所屬的屬的特性的認識，從而達到對客觀世界的規(guī)律的認識。在數(shù)學中經(jīng)常使用的是理論概括。一個概括過程包括比較、區(qū)分、擴張和分析等幾個主要環(huán)節(jié)5、簡述公理方法歷史 發(fā)展的各個階段答：公理方法經(jīng)歷了具體的公理體系、抽象的公理體系和形式化的公理體系三個階段。第一個具體的公理體系就是歐幾里得的《幾何原本》。非歐幾何是抽象的公理體系的典型代表。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》開創(chuàng)了形式化的公理體系的先河，現(xiàn)代數(shù)學的幾乎所有理論都是用形式公理體系表述出來的，現(xiàn)代科學也盡量采用形式公理法作為研究和表述手段。6、簡述化歸方法 并舉例說明。答：所謂“化歸” ，從字面上看，應可理解為轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。數(shù)學方法論中所論及的“化歸方法”是指數(shù)學家們把待解決或未解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終求獲原問題之解答的一種手段和方法。例如：要求解四次方程 可以令 ，將原方程化為關(guān)于 的二次方程 這個方程我們會求其解： 和 ，從而得到兩個二次方程： 和 這也是我們會求解的方程，解它們便得到原方程的解： ， ， ， .這里所用的就是化歸方法。7、簡述計算和算法 的含義。答：計算是指根據(jù)已知數(shù)量通過數(shù)學方法求得未知數(shù)的過程，是一種最基本的數(shù)學思想方法。隨著電子計算機的廣泛應用，計算的重要意義更加凸現(xiàn)，主要表現(xiàn)在以下幾個方面：(1)推動了數(shù)學的應用；(2)加快了科學的數(shù)學化進程；(3)促進了數(shù)學自身的發(fā)展。算法是由一組有限的規(guī)則所組成的一個過程。所謂一個算法它實質(zhì)上是解決一類問題的一個處方，它包括一套指令，只要按照指令一步一步地進行操作，就能引導到問題的解決。在一個算法中，每一個步驟必須規(guī)定得精確和明白，不會產(chǎn)生歧義，并且一個算法在按有限的步驟解決問題后必須結(jié)束。數(shù)學中的許多問題都可以歸結(jié)為尋找算法或判斷有無算法的問題，因此，算法對數(shù)學中的許多問題的解決有著決定性作用。另外，算法在日常生活、社會生產(chǎn)和科學技術(shù)中也有著重要意義。算法在科學技術(shù)中的意義主要體現(xiàn)在如下幾個方面：(1)用于表述科學結(jié)論的一種形式；(2)作為表述一個復雜過程的方法；(3)減輕腦力勞動的一種手段；(4)作為研究和解決新問題的手段；(5)作為一種基本的數(shù)學工具。8 簡述數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因。答：數(shù)學教學中引起“分類討論”的原因有：數(shù)學中的許多概念的定義是分類給出的，因此涉及到這些概念時要分類討論；數(shù)學中有些運算性質(zhì)、運算法則是分類給出的，進行這類運算時要分類討論；有些幾何問題，根據(jù)題設(shè)不能只用一個圖形表達，必須全面考慮各種不同的位置關(guān)系，需要分類討論；許多數(shù)學問題中含有字母參數(shù)，隨著參數(shù)取值不同，會使問題出現(xiàn)不同的結(jié)果。因此需要對字母參數(shù)的取值情況進行分類討論。9 簡述 《 國家數(shù)學課程標準 》的幾個主要特點。答：把“現(xiàn)實數(shù)學”作為數(shù)學課程的一項內(nèi)容；把“數(shù)學化” 作為數(shù)學課程的一個目標；把“ 再創(chuàng)造”作為數(shù)學教育的一條原則。把“ 已完成的數(shù)學”當成是“ 未完成的數(shù)學” 來教，給學生提供“ 再創(chuàng)造”的機會；把“問題解決”作為數(shù)學教學的一種模式；把“數(shù)學思想方法”作為課程體系的一條主線。要求學生掌握基本的數(shù)學思想方法；把 “數(shù)學活動”作為數(shù)學課程的一個方面。強調(diào)學生的數(shù)學活動，注重“向?qū)W生提供充分從事數(shù)學活動的機會 ”，幫助他們“獲得廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗”；把“ 合作交流”看成學生學習數(shù)學的一種方式。要讓學生在解決問題的過程中“學會與他人合作” ，并能“與他人交流思維的過程和結(jié)果”；把“現(xiàn)代信息技術(shù)” 作為學生學習數(shù)學的一種工具。10 簡述數(shù)學思想方法教學的主要階段。答：數(shù)學思想方法教學主要有三個階段：多次孕育、初步理解和簡單應用三個階段。二、論述題 1、論述社會科學數(shù)學化的主要原因。 答：從整個科學發(fā)展趨勢來看，社會科學的數(shù)學化也是必 然的趨勢，其主要原因可以歸結(jié)為有下面四個方面： 第 頁11第一，社會管理需要精確化的定量依據(jù)，這是促使社會科學 數(shù)學化的最根本的因素。 第二，社會科學的各分支逐步走向成熟，社會科學理論體系 的發(fā)展也需要精確化。 第三，隨著數(shù)學的進一步發(fā)展，它出現(xiàn)了一些適合研究社會 歷史現(xiàn)象的新的數(shù)學分支。 第四，電子計算機的發(fā)展與應用，使非常復雜社會現(xiàn)象經(jīng)過 量化后可以進行數(shù)值處理。 2、論述數(shù)學的三次危機對數(shù)學發(fā)展的作用。 答：第一次數(shù)學危機促使人們?nèi)フJ識和理解無理數(shù)，導致 了公理幾何與邏輯的產(chǎn)生。 第二次數(shù)學危機促使人們?nèi)ド钊胩接憣崝?shù)理論，導致了分析 基礎(chǔ)理論的完善和集合論的產(chǎn)生。 第三次數(shù)學危機促使人們研究和分析數(shù)學悖論，導致了數(shù)理 邏輯和一批現(xiàn)代數(shù)學的產(chǎn)生。 由此可見，數(shù)學危機的解決，往往給數(shù)學帶來新的內(nèi)容，新 的進展，甚至引起革命性的變革，這也反映出矛盾斗爭是事物發(fā) 展的歷史動力這一基本原理。整個數(shù)學的發(fā)展史就是矛盾斗爭的 歷史，斗爭的結(jié)果就是數(shù)學領(lǐng)域的發(fā)展。3、敘述不完全歸納法的推理形式，并舉一個應用不完全歸納法的例子。答：不完全歸納法的一般推理形式是：設(shè) S= ；由于具有屬性 p，具有屬性 p，……具有屬性 p，因此推斷 S 類事物中的每一個對象都可能具有屬性 p。4、敘述類比推理的形式。如何提高類比的可靠性？答：類比推理通?？捎孟铝行问絹肀硎荆篈 具有性質(zhì)B 具有性質(zhì)因此，B 也可能具有性質(zhì)。