七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 培優(yōu)新幫手 專題29 歸納與猜想試題 （新版）新人教版.doc

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29 歸納與猜想 閱讀與思考 當(dāng)一個(gè)問題涉及相當(dāng)多的乃至無窮多的情形時(shí)，可從問題的簡單情形或特殊情況人手，通過對(duì)簡單情形或特殊情況的試驗(yàn)，從中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律或作出某種猜想，從而找到解決問題的途徑或方法，這種研究問題的方法叫歸納猜想法. 歸納是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)往往是從觀察開始的，觀察是解決問題的先導(dǎo)，解題中的觀察活動(dòng)主要有三條途徑： 1．?dāng)?shù)與式的特征觀察． 2．幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察． 3．通過對(duì)簡單、特殊情況的觀察，再推廣到一般情況. 需要注意的是，用歸納猜想法得到的結(jié)果，常常具有或然性，它可能是成功的發(fā)現(xiàn)，也可能是失敗的嘗試，需用合乎邏輯的推理步驟把它寫成無懈可擊的證明． 【例1】下圖是飛行棋的一顆骰子，根據(jù)圖中A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，推出“？”處的數(shù)字是___________. （“東方航空杯”上海市競賽試題） (A) (B) (C) 解題思路：認(rèn)真觀察A，B，C三種狀態(tài)所顯示的數(shù)字，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，作出推斷。 【例2】如圖，依次連結(jié)第一個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第二個(gè)正方形，再依次連結(jié)第二個(gè)正方形各邊的中點(diǎn)得到第三個(gè)正方形，按此方法繼續(xù)下去，若第一個(gè)正方形邊長為1，則第n個(gè)正方形的面積是____． （湖北省武漢市競賽試題） 解題思路：從觀察分析圖形的面積入手，先考察n＝1，2，3，4時(shí)的簡單情形，進(jìn)而作出猜想． 【例3】如圖，平面內(nèi)有公共端點(diǎn)的六條射線OA，OB，OC，OD，OE，OF，從射線OA開始按逆時(shí)針方向依次在射線上寫出數(shù)字1，2，3，4，5，6，7，…． (1)“17”在射線____上． (2) 請(qǐng)任意寫出三條射線上數(shù)字的排列規(guī)律． (3)“2 007”在哪條射線上？ （貴州省貴陽市中考試題） 解題思路：觀察發(fā)現(xiàn)每條射線上的數(shù)除以6的余數(shù)相同． 【例4】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)： ，，，，，，，，，，，，，，，，…(※) (1)在(※)中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F(m)，當(dāng)F(m)＝時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積． (2)在(※)中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c．它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)c和d，使cd＝2 001 000? 如果存在，求出c和d；如果不存在，請(qǐng)說明理由． （湖北省競賽試題） 解題思路：按分母遞減而分子遞增的變化規(guī)律，對(duì)原數(shù)列恰當(dāng)分組，明確每組中數(shù)的個(gè)數(shù)與分母的關(guān)系、未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)在每組中的位置，這是解本例的關(guān)鍵， 【例5】在2,3兩個(gè)數(shù)之間，第一次寫上＝5，第二次在2.5之間和5，3之間分別寫上和＝4，如圖所示： 第k次操作是在上一次操作的基礎(chǔ)上，在每兩個(gè)相鄰的數(shù)之間寫上這兩個(gè)數(shù)的和的． (1)請(qǐng)寫出第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)，并求出它們的和． (2)經(jīng)過k次操作后所有的數(shù)的和記為Sk，第k＋1次操作后所有數(shù)的和記為 Sk＋1，寫出Sk＋1與Sk之間的關(guān)系式． (3)求S6的值． （“希望杯”邀請(qǐng)賽試題） 解題思路：(1)先得出第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)，再把它們相加即可． (2)找到規(guī)律，即毒次操作幾個(gè)數(shù)的時(shí)候，除了頭尾兩個(gè)數(shù)2和3之外，中間的 n－2個(gè)數(shù)均重復(fù)計(jì)算了2次，用Sk表示出Sk＋1 (3)根據(jù)(1)，(2)可算出S6的值． 能力訓(xùn)練 1．有數(shù)組(1，1，1)，(2，4，8)，(3，9，27)，…，則第100組的三個(gè)數(shù)之和為 ． （廣東省廣州市競賽試題） 2．如圖有一長條型鏈子，其外形由邊長為1 cm的正六邊形排列而成．其中每個(gè)黑色六邊形與6個(gè)白色六邊形相鄰，若鏈子上有35個(gè)黑色六邊形，則此鏈子有________個(gè)白色六邊形． （xx年“實(shí)中杯”數(shù)學(xué)競賽試題） 3．按一定規(guī)律排列的一串?dāng)?shù)： ．，，，，，，，，，，，…中，第98個(gè)數(shù)是__________. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （山東省競賽試題） 4．給出下列麗列數(shù) 2，4，6，8，10,…，1 994 6，13, 20, 27, 34,…，1 994 則這兩列數(shù)中，相同的數(shù)的個(gè)數(shù)是( )． A．142 B．143 C．284 （浙江省競賽試題） 5． 如圖，∠AOB＝45，對(duì)OA上到點(diǎn)Ｏ的距離分別為1，3，5，7，9，11，…的點(diǎn)作OA的垂線且與OB相交，得到并標(biāo)出一組黑色梯 形，面積分別為S1，S2，S3，…，則S10＝　　　　　　. 6．一條直線分一張平面為兩部分，二條直線最多分一張平面為4部分，設(shè)五條直線最多分平面為ｎ部分，則n等于(　　　 ) A．16 　　 B．18　　　?。茫?4 　　 D．31 　　　　　　　　　　?。ū本┦小坝罕备傎愒囶}） 7．觀察下列正方形的四個(gè)頂點(diǎn)所標(biāo)的數(shù)字規(guī)律．那么xx這個(gè)數(shù)標(biāo)在( )． A．第503個(gè)正方形的左下角 　　B．第503個(gè)正方形的右下角 C．第504個(gè)正方形的左下角 　 　D．第504個(gè)正方形的右下角 　　（xx年浙江省衢江市競賽試題） 8．自然數(shù)按下表的規(guī)律排列： (1)求上起第10行，左起第13列的數(shù)． (2)數(shù)127應(yīng)在上起第幾行，左起第幾列． （北京市“迎春杯”競賽試題） 9．一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55… 問：這串?dāng)?shù)的前100個(gè)數(shù)中（包括第100個(gè)數(shù)）有多少個(gè)偶數(shù)？ （“華羅庚金杯”競賽試題） 10.將一個(gè)圓形紙片用直線劃分成大小不限的若干小紙片，如果要分成不少于50個(gè)小紙片，至少要畫多少條直線？請(qǐng)說明理由． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （“五羊杯”競賽試題） 11.下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)： 第1個(gè)數(shù)： ； 第2個(gè)數(shù)：； 第3個(gè)數(shù)：； … 第n個(gè)數(shù)：． 那么，在第10個(gè)數(shù)，第11個(gè)數(shù)，第12個(gè)數(shù)，第13個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是哪一個(gè)？ 12.有依次排列的3個(gè)數(shù)：3，9，8．對(duì)任相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，6，9，－1，8，這稱為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，3，6，3，9，－10,－1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問：從數(shù)串3，9，8開始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？  專題29 歸納與猜想 例1 6 提示：5的對(duì)面是2，4的對(duì)面是3，1的對(duì)面是6． 例2 提示：＝1，＝，＝，＝，進(jìn)而推出＝． 例3 （1）OE （2）射線OA上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－5（n為自然數(shù)，下同）；射線OB上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－4；射線OC上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－3；射線OD上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－2；射線OE上數(shù)字的排列規(guī)律：6n－1；射線OF上數(shù)字的排列規(guī)律：6n． （3）在6條射線的數(shù)字規(guī)律中，只有6n－3＝xx有整數(shù)解，解圍n＝335，故“2007”在射線OC上． 例4 （1）可分組為（），（，），（，，），（，，，），（，，，，）…，可知各組數(shù)的個(gè)數(shù)依次為1，2，3，…．當(dāng)F（m）＝時(shí)，m＝（1＋2＋…＋2001）＋2＝2003003，這2003003個(gè)數(shù)的積為． 例5 （1）第3次操作后所得到的9個(gè)數(shù)為：2，，，，5，3，4，，3． 它們的和為2＋＋＋＋5＋3＋4＋＋3＝． （2）由條件知＝5，則＝＋＝＝－． （3）因＝．故＝－＝40；＝－＝55，＝－＝． 【能力訓(xùn)練】 1．1010100 2．142 提示：若有n個(gè)黑色六邊形，則白色六邊形個(gè)數(shù)為4n＋2．故＝35時(shí)，4n＋2＝435＝142個(gè)． 3． 4．B 5．76 黑色梯形的規(guī)律明顯：每個(gè)梯形的高都為2，上底分別對(duì)OA上的1，5，9，…，下底分別對(duì)應(yīng)OA上的3，7，11，…．而上、下底的長度恰好和它在OA上對(duì)應(yīng)的數(shù)值是一樣的．以上底為例，1＝1，5＝1＋41，9＝1＋42，…，故第10個(gè)梯形的上底對(duì)應(yīng)OA上的數(shù)為1＋49＝37，下底的長正好為39，于是＝＝76． 6．A 7．D 提示：xx4＝503……1，故在第504個(gè)正方形右下角． 8．（1）第1列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)，并且恰好等于它所在的行數(shù)的平方．第10行起，左起第13列，應(yīng)該是第13列的第10個(gè)數(shù)，即＋10＝144＋10＝154． （2）數(shù)127滿足關(guān)系式127＝＋6＝＋6，即127在左起第12列，上起第6行的位置． 9．觀察已經(jīng)寫出的數(shù)，發(fā)現(xiàn)每三個(gè)連續(xù)數(shù)中恰好有一個(gè)偶數(shù)，在前100項(xiàng)中，第100項(xiàng)是奇數(shù)，前99項(xiàng)中有＝33個(gè)偶數(shù)． 10．設(shè)至少要畫k條直線．k條直線最多將圓分成1＋1＋2＋3＋4＋…＋k塊，當(dāng)k＝9時(shí)，1＋1＋2＋3＋…＋9＝46，當(dāng)k＝10時(shí)，1＋1＋2＋3＋…＋10＝56，故至少要畫10條直線，可以將圓紙片分成不小于50塊． 11．若對(duì)前三個(gè)先進(jìn)行計(jì)算： 第1個(gè)數(shù)：－（1＋）＝－＝0； 第2個(gè)數(shù)：－（1＋）[1＋][1＋]＝－＝－； 第3個(gè)數(shù)：－（1＋）[1＋][1＋][1＋][1＋]＝－＝－； …… 按此規(guī)律，第n個(gè)數(shù)：－（1＋）[1＋][1＋]…[1＋]＝－． 由此可知n越大，第n個(gè)數(shù)越小，那么在第10個(gè)數(shù)，第11個(gè)數(shù)，第12個(gè)數(shù)，第13個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是第10個(gè)數(shù)． 12．一個(gè)依次排列的n個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)串：，，，…，．依題設(shè)操作方法可得新增的數(shù)為：－，－，－，…，－．∴新增數(shù)之和為（－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）＝－（*）．原數(shù)串為3個(gè)數(shù)：3，9，8．第一次操作根據(jù)（*）可知，新增4項(xiàng)之和為6＋（－1）＝5＝8－3；第二次操作后所得數(shù)串為：3，3，6，3，9，－10，－1，9，8．根據(jù)（*）可知，新增4項(xiàng)之和為3＋3＋（－10）＋9＝5＝8－3．按這個(gè)規(guī)律下去，第100次操作后所得新數(shù)串所有數(shù)的和為：（3＋9＋8）＋100（8－3）＝520．