中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 探索二次函數(shù)綜合題解題技巧（四）二次函數(shù)與特殊三角形的探究問(wèn)題練習(xí) 魯教版.doc

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探索二次函數(shù)綜合題解題技巧四 二次函數(shù)在中考數(shù)學(xué)中常常作為壓軸題，具有一定的綜合性和較大的難度。學(xué)生往往因缺乏思路,感到無(wú)從下手,難以拿到分?jǐn)?shù)。事實(shí)上,只要理清思路,方法得當(dāng),穩(wěn)步推進(jìn),少失分、多得分、是完全可以做到的。第1小問(wèn)通常是求解析式：這一小題簡(jiǎn)單，直接找出坐標(biāo)或者用線段長(zhǎng)度來(lái)確定坐標(biāo)，進(jìn)而用待定系數(shù)法求出解析式即可。第2—3小問(wèn)通常要結(jié)合三角形、四邊形、圓、對(duì)稱、解方程（組）與不等式（組）等知識(shí)呈現(xiàn)，知識(shí)面廣，難度大；解這類題要善于運(yùn)用轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想，認(rèn)真分析條件和結(jié)論、圖形的幾何特征與代數(shù)式的數(shù)量結(jié)構(gòu)特征的關(guān)系，確定解題的思路和方法；同時(shí)需要心態(tài)平和，切記急躁：當(dāng)思維受阻時(shí)，要及時(shí)調(diào)整思路和方法，并重新審視題意，注意挖掘隱蔽的條件和內(nèi)在聯(lián)系；既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄。 類型四 二次函數(shù)與特殊三角形的探究問(wèn)題 （1）與直角三角形的探究問(wèn)題 例1如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對(duì)稱軸為直線x=-1,且經(jīng)過(guò)A(1，0)，C(0,3)兩點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B。 （1）若直線y=mx+n經(jīng)過(guò)B，C兩點(diǎn)，求拋物線和直線BC的解析式； （2）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸x=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo). 解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=-1， 且拋物線經(jīng)過(guò)A（1，0），拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為B， ∴B的坐標(biāo)為：（-3，0）， 設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x+3）， 把C（0，3）代入，-3a=3， 解得：a=-1， ∴拋物線的解析式為：y=-（x-1）（x+3）=-x2-2x+3； 把B（-3，0），C（0，3）代入y=mx+n得： m=1，n=3 ∴直線y=mx+n的解析式為：y=x+3； （1）設(shè)P（-1，t）， 又∵B（-3，0），C（0，3）， ∴BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10， ①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC2+PB2=PC2， 即：18+4+t2=t2-6t+10，解之得：t=-2； ②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC2+PC2=PB2， 即：18+t2-6t+10=4+t2，解之得：t=4， ③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB2+PC2=BC2， 即：4+t2+t2-6t+10=18， 解之得：t1= 錯(cuò)誤！未找到引用源。， t2= 綜上所述P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，）或（-1，） 方法提煉(1)： ★利用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式,得到所求三角形三邊平方的代數(shù)式； ★確定三角形中的直角頂點(diǎn)，若無(wú)法確定則分情況討論； ★根據(jù)勾股定理得到方程,然后解方程，若方程有解，此點(diǎn)存在；否則不存在； 方法提煉(2)： ★利用兩直線垂直，K值互為負(fù)倒數(shù)（K1K2=-1），先確定點(diǎn)所在的直線表達(dá)式 ★將直線與拋物線的表達(dá)式聯(lián)立方程組，若求出交點(diǎn)坐標(biāo)，此點(diǎn)存在；否則不存在； 方法提煉(3)： ★利用特殊角45構(gòu)造直角三角形，易求點(diǎn)的坐標(biāo)。 （2）與等腰三角形的探究問(wèn)題 例2如圖，直線y＝3x＋3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，過(guò)A、B兩點(diǎn)的拋物線交x軸于另一點(diǎn)C(3，0)。 (1)求拋物線的解析式； (2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：(1)拋物線的解析式為：y=-x2+2x+3 (2)該拋物線的對(duì)稱軸為x= 1。設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，m) 當(dāng)AB=AQ時(shí) Q點(diǎn)坐標(biāo)(1，6)，或(1，-6)； 當(dāng)BA= BQ時(shí) 解得：m=0，m =6, Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)或(1，6) 此點(diǎn)在直線AB上，不符合題意應(yīng)舍去; 當(dāng)QA=QB時(shí) 解得：m=1， Q點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)． 拋物線的對(duì)稱軸上是存在著點(diǎn)Q(1,6)、(1,-6)、(1，0)、(1，1) 方法提煉： ★設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求邊長(zhǎng)；（類型一方法提煉） ★當(dāng)所給定長(zhǎng)未說(shuō)明是等腰三角形的底還是腰時(shí)，需分三種情況討論，如：本題中當(dāng)AB=AQ時(shí)；當(dāng)BA= BQ時(shí)；當(dāng)QA=QB時(shí)；具體方法如下: ①當(dāng)定長(zhǎng)為腰，找已知直線上滿足條件的點(diǎn)時(shí)，以定長(zhǎng)的某一端點(diǎn)為圓心，以定長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，若所畫(huà)弧與已知直線有交點(diǎn)且交點(diǎn)不是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)；若所畫(huà)弧與已知直線無(wú)交點(diǎn)或交點(diǎn)是定長(zhǎng)的另一端點(diǎn)時(shí)，滿足條件的點(diǎn)不存在；②當(dāng)定長(zhǎng)為底邊時(shí)，作出定長(zhǎng)的垂直平分線，若作出的垂直平分線與已知直線有交點(diǎn)，則交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，若作出的垂直平分線與已知直線無(wú)交點(diǎn)，則滿足條件的點(diǎn)不存在．用以上方法即可找出所有符合條件的點(diǎn)。 跟蹤訓(xùn)練1：如圖，已知拋物線y=x2+bx-3a過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（0，-3），與x軸交于另一點(diǎn)C． （1）求拋物線的解析式； （2）若在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P，使△PBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）在（2）的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P，Q，B，C為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 跟蹤訓(xùn)練2：以菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在的直線為x軸，已知A（-4，0），B（0，-2），M（0，4），P為折線BCD上一動(dòng)點(diǎn)，作PE⊥y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為a． （1）求BC邊所在直線的解析式； （2）當(dāng)△OPM為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 跟蹤訓(xùn)練3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=﹣2x+10與x軸，y軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4），連接AC，B C． （1）求過(guò)O，A，C三點(diǎn)的拋物線的解析式，并判斷△ABC的形狀； （2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿OB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，沿BC以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，PA=QA？ （3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn)M，使以A，B，M為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 跟蹤訓(xùn)練4：如圖，已知一次函數(shù)y＝0.5x+2的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象交于y軸上的一點(diǎn)B，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸只有唯一的交點(diǎn)C，且OC＝2． （1）求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的解析式； （2）設(shè)一次函數(shù)y＝0.5x+2的圖象與二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象的另一交點(diǎn)為D，已知P為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PBD為直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．