九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 專(zhuān)題突破講練 特殊角的銳角三角函數(shù)值及其計(jì)算試題 (新版)青島版.doc
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特殊角的銳角三角函數(shù)值特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)角度sincostan3045160方法歸納:(1)解有關(guān)等邊三角形、等腰直角三角形及與30、45、60角相聯(lián)系的其他三角形問(wèn)題時(shí),常常要用特殊角的三角函數(shù)值。(2)必須熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值,既能由角求三角函數(shù)值,又能由三角函數(shù)值求角。(3)正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減?。┒龃螅ɑ驕p小),余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減?。┒鴾p小(或增大)??偨Y(jié):1. 特殊角三角函數(shù)在計(jì)算及應(yīng)用題里廣泛使用,應(yīng)理解概念并熟練應(yīng)用。2. 能夠解決含特殊角的三角函數(shù)問(wèn)題,并能根據(jù)三角函數(shù)值求角的度數(shù)。例題1 如圖所示,已知直線yx,求這條直線與x軸的夾角(銳角)。解析:直線與x軸、y軸相交圍成一個(gè)直角三角形,然后根據(jù)直線與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解。答案:設(shè)yx與x軸、y軸交點(diǎn)為A、B兩點(diǎn),則A(1,0)、B(0,),OA1,OBtanBAO,BAO60。答:直線與x軸夾角(銳角)為60。點(diǎn)撥:本題關(guān)鍵利用RtAOB來(lái)求出OA、OB,進(jìn)而求出BAO的正切值,最后求出度數(shù),是已知兩邊求度數(shù)的一種常用方法。例題2 已知:如圖,RtABC中,BAC90,D是AC上一點(diǎn),ABDC,直線EF過(guò)點(diǎn)D,與BA的延長(zhǎng)線相交于F,且EFBC,垂足為E。探索:設(shè)t,若ADFEDB,試求t的值。解析:t的值就是ABC兩邊的比值,所以我們可以考慮通過(guò)相似三角形和其它特殊圖形求出AC與AB的數(shù)量關(guān)系,再求其比值?;蛘吣芮蟪鯝BC或C的度數(shù)也可以,因?yàn)锽AC90,在直角三角形中利用三角函數(shù)求t值。答案:BAC90,EFBC,ADFCDE,F(xiàn)C。ABDC,F(xiàn)ABD。ADFEDB,F(xiàn)EBD,在RtABC中,CABDEBD,又CABDEBD90,CABDEBD30,ABC60。tanABC,即t。點(diǎn)撥:本題中t值是C的正切值,所以需要求出C的度數(shù)要求一個(gè)角的度數(shù),特別是在沒(méi)有已知度數(shù)的角的情況下,應(yīng)考慮利用三角形內(nèi)角和或特殊的三角形、四邊形來(lái)求。利用三角形內(nèi)角和時(shí),這三個(gè)內(nèi)角必須具有倍分關(guān)系,才能轉(zhuǎn)化成一元一次方程求出角的度數(shù),本題中是證明的三個(gè)角相等且和為90。銳角三角函數(shù)是角的度數(shù)與線段的長(zhǎng)度之間相互轉(zhuǎn)化的重要工具,是解決三角形邊角關(guān)系的常用數(shù)學(xué)方法。在中考試題中對(duì)特殊角三角函數(shù)的考查有的直接考查,以填空題和選擇題的形式出現(xiàn),一般比較容易;有的融入到其他知識(shí)或題型中間接考查,如三角形、四邊形、圓等,常以解答題、操作說(shuō)明題、閱讀題等形式出現(xiàn),綜合性較強(qiáng),難度較。滿(mǎn)分訓(xùn)練 閱讀下面的材料,先完成閱讀填空,再按要求答題:sin30,cos30,則sin230cos230_;sin45,cos45,則sin245cos245_;sin60,cos60,則sin260cos260_;觀察上述等式,猜想:對(duì)任意銳角A,都有sin2Acos2A_。(1)如圖,在銳角三角形ABC中,利用三角函數(shù)的定義及勾股定理對(duì)A證明你的猜想;(2)已知:A為銳角(cosA0)且sinA,求cosA。解析:(1)證明:過(guò)點(diǎn)B作BDAC于D,在RtADB中,sinA,cosA,由勾股定理得,BD2AD2AB2,()2()21,sin2Acos2A1;(2)A為銳角(cosA0),sinA,sin2Acos2A1,cosA。點(diǎn)撥:本題屬于閱讀理解題,讀懂題意,弄清題目所給的定義和規(guī)律是解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵。比本題中可總結(jié)出同角的三角函數(shù)關(guān)系,sin2Acos2A1,類(lèi)似的還有tanA等。(答題時(shí)間:30分鐘)一、選擇題1. 式子2cos30tan45的值是( )A. 2B. 0C. 2D. 22. 如圖所示,矩形ABCD中,AB1,BC,AC與BD相交于O,則tanAOB等于( )A. B. C. 1D. *3. 如圖所示是類(lèi)似“羊頭”的圖案,它左右對(duì)稱(chēng),由正方形、等腰直角三角形構(gòu)成,如果標(biāo)有數(shù)字“13”的正方形的邊長(zhǎng)是,那么標(biāo)有數(shù)學(xué)“2”的等腰直角三角形斜邊的長(zhǎng)是( )A. 2B. 2C. 2D. *4. 如圖,在半徑為1的O中,AOB45,則sinC的值為( )A. B. C. D. 二、填空題5. 在RtABC中,C90,AB2BC,現(xiàn)給出下列結(jié)論:sinA;cosB;tanA;tanB,其中正確的結(jié)論是_(只需填上正確結(jié)論的序號(hào))。*6. ABC中,a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊。已知a,b,c,則bsinBcsinC的值是_。*7. 如圖,RtABC中,A90,ADBC于點(diǎn)D,若BD:CD3:2,則tanB_。*8. 如圖所示,已知l1l2l3,相鄰兩條平行直線間的距離相等,若等腰直角三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別在這三條平行直線上,則sin的值是_。三、解答題9. 已知a是銳角,且sin(15),計(jì)算4cos(3.14)0tan)1的值。*10. 對(duì)于鈍角,定義它的三角函數(shù)值如下:sinsin(180),coscos(180)。(1)求sin120,cos120,sin150的值;(2)若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1:1:4,A、B是這個(gè)三角形的兩個(gè)頂點(diǎn),sinA、cosB是方程4x2mx10的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求m的值及A和B的大小。*11. 如圖,風(fēng)車(chē)的支桿OE垂直于桌面,風(fēng)車(chē)中心O到桌面的距離OE為25cm,小小風(fēng)車(chē)在風(fēng)吹動(dòng)下繞著中心O不停地轉(zhuǎn)動(dòng),轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,葉片端點(diǎn)A、B、C、D在同一圓O上,已知O的半徑為10cm。(1)風(fēng)車(chē)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)AOE45時(shí),求點(diǎn)A到桌面的距離(結(jié)果保留根號(hào))。(2)在風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中,求點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過(guò)20cm所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留)。*12. 現(xiàn)場(chǎng)學(xué)習(xí):我們知道,若銳角的三角函數(shù)值為sinm,則可通過(guò)計(jì)算器得到角的大小,這時(shí)我們用arc sin m來(lái)表示,記作:arc sin m;若cos m,則記arc cos m;若tan m,則記arc tan m。解決問(wèn)題:如圖,已知正方形ABCD,點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)F在AB邊或其延長(zhǎng)線上,點(diǎn)G在邊AD上。連接ED、FG,交點(diǎn)為H。(1)如圖1,若AEBFGD,請(qǐng)直接寫(xiě)出EHF_;(2)如圖2,若EFCD,GDAE,設(shè)EHF。請(qǐng)判斷當(dāng)點(diǎn)E在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),EHF的大小是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由;若不發(fā)生變化,請(qǐng)求出。1. B 解析:原式21(1)110故選B。2. A 解析:因?yàn)锳BCD是矩形,所以AOBO,則OABOBA。AB1,BC,tanCAB,CAB60,OBAOAB60。AOB180606060,tanAOBtan60。故選A。3. B 解析:可利用勾股定理或三角函數(shù)從標(biāo)有“13”的正方形開(kāi)始倒序計(jì)算至標(biāo)有“2”的等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)。4. B 解析:過(guò)點(diǎn)A作ADOB于點(diǎn)D,在RtAOD中,AOB45,ODADOAcos451,BDOBOD1,AB,AC是O的直徑,ABC90,AC2,sinC,故選B。5. 解析:在RtABC中,C90,AB2BC,sinA,故錯(cuò)誤;A30,B60,cosBcos60,故正確;A30,tanAtan30,故正確;B60,tanBtan60,故正確。6. 解析:不難驗(yàn)證,a2b2c2,所以ABC是直角三角形,其中a是斜邊,bsinBcsinCbca。7. 解析:在RtABC中,ADBC于點(diǎn)D,ADBCDA,BBAD90,BADDAC90,BDAC,ABDACD,BD:CD3:2,設(shè)BD3x,CD2x,ADx,則tanB。8. 解析:分別過(guò)點(diǎn)A、B作AEl1,BFl1,易得AECCFB(AAS),設(shè)平行線間距離為d1,CEBF1,AECF2,ACBC,AB,則sin。9. 解析:sin(15),1560,45。當(dāng)45時(shí),原式24cos451tan453221133。10. 解:(1)由題意得,sin120sin(180120)sin60,cos120cos(180120)cos60,sin150sin(180150)sin30;(2)三角形的三個(gè)內(nèi)角的比是1:1:4,三個(gè)內(nèi)角分別為30、30、120,當(dāng)A30,B120時(shí),方程的兩根為和,將代入方程得:4()2m10,解得:m0,經(jīng)檢驗(yàn)是方程4x210的根,m0符合題意;當(dāng)A120,B30時(shí),兩根均為,不符合題意;當(dāng)A30,B30時(shí),兩根為和,將代入方程得:4()2m10,解得:m0,經(jīng)檢驗(yàn)不是方程4x210的根。綜上所述:m0,A30,B120。11. 解:(1)當(dāng)AOE45時(shí),過(guò)點(diǎn)A作AFOE于F,則OFOAcosAOE105cm;(2)過(guò)點(diǎn)A作AGOE于G,交O于另一點(diǎn)H。OE25cm,當(dāng)OG5cm時(shí)點(diǎn)A到桌面的距離正好是20cm。在RtOAG中,OG5cm,OA10cm,即sinOAG,OAG30,AOG60,AOH120。在扇形OAH中,劣弧的長(zhǎng)度(cm)。即風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)一周,點(diǎn)A相對(duì)于桌面的高度不超過(guò)20cm所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為cm。12. 解:(1)45 提示:連接FC、GC,則ADEBCFDCG,從而DEFC,CGF是等腰直角三角形,所以EHFGFC45。(2)不會(huì)變化。證明:如圖2,過(guò)點(diǎn)F作FED交CD于,連接G。正方形ABCD中,ABCD,四邊形EFMD為平行四邊形。EFDM,DEFM。EDCFMC,EHFHFM。EFCD,GDAE,。,AGDM90,DGMAED。,。GDHMDH90,GDHDMG,MDHCMF,DMGCMF90,GMF90。在RtGFM中,tan。arc tan。- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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