考點規(guī)范練24 平面向量的概念及線性運算
一、基礎(chǔ)鞏固
1.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個條件中,使a|a|=b|b|成立的充分條件是( )
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|
答案C
解析由a|a|表示與a同向的單位向量,b|b|表示與b同向的單位向量,故只要a與b同向即可,觀察可知C滿足題意.
2.設(shè)E,F分別是正方形ABCD的邊AB,BC上的點,且AE=12AB,BF=23BC.如果EF=mAB+nAC(m,n為實數(shù)),那么m+n的值為( )
A.-12 B.0 C.12 D.1
答案C
解析如圖,EF=EA+AC+CF=-12AB+AC-13BC=-12AB+AC-13(BA+AC)=-16AB+23AC.
∵EF=mAB+nAC,
∴m=-16,n=23,∴m+n=12.故選C.
3.設(shè)向量a,b不共線,AB=2a+pb,BC=a+b,CD=a-2b.若A,B,D三點共線,則實數(shù)p的值是( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案B
解析∵BC=a+b,CD=a-2b,∴BD=BC+CD=2a-b.
又A,B,D三點共線,∴AB,BD共線.
∴AB=λBD,即2a+pb=λ(2a-b).
∴2=2λ,p=-λ.∴λ=1,p=-1.
4.
如圖,已知AB是圓O的直徑,點C,D是半圓弧的兩個三等分點,AB=a,AC=b,則AD=( )
A.a-12b B.12a-b
C.a+12b D.12a+b
答案D
解析連接CD(圖略),由點C,D是半圓弧的三等分點,得CD∥AB,且CD=12AB=12a,所以AD=AC+CD=b+12a.
5.已知點O,A,B不在同一條直線上,點P為該平面上一點,且2OP=2OA+BA,則( )
A.點P在線段AB上
B.點P在線段AB的反向延長線上
C.點P在線段AB的延長線上
D.點P不在直線AB上
答案B
解析因為2OP=2OA+BA,所以2AP=BA.
所以點P在線段AB的反向延長線上,故選B.
6.(2018陜西咸陽月考)在四邊形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,則四邊形ABCD的形狀是( )
A.矩形 B.平行四邊形 C.梯形 D.以上都不對
答案C
解析∵AD=AB+BC+CD=-8a-2b=2(-4a-b)=2BC,
∴AD∥BC.
又AB與CD不平行,∴四邊形ABCD是梯形.
7.若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點,且滿足5AM=AB+3AC,則△ABM與△ABC的面積比為( )
A.15 B.25 C.35 D.45
答案C
解析設(shè)AB的中點為D.由5AM=AB+3AC,
得3AM-3AC=2AD-2AM,
即3CM=2MD.
如圖,故C,M,D三點共線,且MD=35CD,也就是△ABM與△ABC對于邊AB上的兩高之比為3∶5,則△ABM與△ABC的面積比為35,選C.
8.(2018河南洛陽月考)已知A,B,C是平面上不共線的三點,O是△ABC的重心,動點P滿足OP=1312OA+12OB+2OC,則點P一定為△ABC的( )
A.邊AB中線的中點
B.邊AB中線的三等分點(非重心)
C.重心
D.邊AB的中點
答案B
解析設(shè)AB的中點為M,則12OA+12OB=OM,所以O(shè)P=13(OM+2OC),即3OP=OM+2OC,OP-OM=2OC-2OP,即MP=2PC.
又MP與PC有公共點P,所以P,M,C三點共線,且P是CM上靠近點C的一個三等分點.
9.已知A,B,C為圓O上的三點,若AO=12(AB+AC),則AB與AC的夾角為 .
答案90
解析由AO=12(AB+AC)可得O為BC的中點,則BC為圓O的直徑,即∠BAC=90,故AB與AC的夾角為90.
10.已知D為△ABC的邊BC的中點,點P滿足PA+BP+CP=0,AP=λPD,則實數(shù)λ的值為 .
答案-2
解析如圖,由AP=λPD,且PA+BP+CP=0,得P為以AB,AC為鄰邊的平行四邊形的頂點,
因此AP=-2PD,則λ=-2.
11.
如圖,在△ABC中,已知∠BAC=π3,AB=2,AC=4,點D為邊BC上一點,滿足AC+2AB=3AD,點E是AD上一點,滿足AE=2ED,則BE= .
答案2219
解析如圖,延長AB到F,使AF=2AB,連接CF,則AC=AF.
取CF的中點O,連接AO,
則AC+2AB=2AO=3AD,
∴A,D,O三點共線,∠BAC=π3,
∴∠CAO=π6,且AO⊥CF,AC=4,
∴AO=23.∴AD=433.
又AE=2ED,∴AE=2ED=23AD=839.
又AB=2,∠BAE=π6,
∴在△ABE中,由余弦定理,得BE2=4+6427-2283932=2827.∴BE=2219.
12.在任意四邊形ABCD中,E,F分別是AD,BC的中點,若EF=λAB+μDC,則λ+μ= .
答案1
解析如圖,因為E,F分別是AD與BC的中點,
所以EA+ED=0,BF+CF=0.
又因為AB+BF+FE+EA=0,
所以EF=AB+BF+EA. ①
同理EF=ED+DC+CF. ②
由①+②得,2EF=AB+DC+(EA+ED)+(BF+CF)=AB+DC,所以EF=12(AB+DC),
所以λ=12,μ=12.所以λ+μ=1.
二、能力提升
13.已知在△ABC中,D是AB邊上的一點,CD=λCA|CA|+CB|CB|,|CA|=2,|CB|=1.若CA=b,CB=a,則用a,b表示CD為( )
A.23a+13b B.13a+23b
C.13a+13b D.23a+23b
答案A
解析由題意知,CD是∠ACB的平分線,
故CD=CA+AD=CA+23AB=CA+23(CB-CA)
=23CB+13CA=23a+13b,故選A.
14.在△ABC中,點O在線段BC的延長線上,且與點C不重合.若AO=xAB+(1-x)AC,則實數(shù)x的取值范圍是( )
A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.(-1,0) D.(0,1)
答案A
解析設(shè)BO=λBC(λ>1),
則AO=AB+BO=AB+λBC=(1-λ)AB+λAC.
又AO=xAB+(1-x)AC,
所以xAB+(1-x)AC=(1-λ)AB+λAC.
所以λ=1-x>1,得x<0.
15.(2018河南濮陽二模)如圖,有5個全等的小正方形,BD=xAE+yAF,則x+y的值是 .
答案1
解析由平面向量的運算可知BD=AD-AB.
∵AD=2AE,AB=AH+HB=2AF-AE,
∴BD=AD-AB=2AE-(2AF-AE)=3AE-2AF.
又AE,AF不共線,且BD=xAE+yAF,
即xAE+yAF=3AE-2AF,
∴x=3,y=-2,∴x+y=1.
16.已知△ABC是邊長為4的正三角形,D,P是△ABC內(nèi)的兩點,且滿足AD=14(AB+AC),AP=AD+18BC,則△APD的面積為( )
A.34 B.32 C.3 D.23
答案A
解析取BC的中點E,連接AE,因為△ABC是邊長為4的正三角形,
所以AE⊥BC,AE=12(AB+AC).
又AD=14(AB+AC),所以點D是
AE的中點,AD=3.
取AF=18BC,以AD,AF為鄰邊作平行四邊形,
可知AP=AD+18BC=AD+AF.
因為△APD是直角三角形,AF=12,所以△APD的面積為12123=34.
17.如圖,在△ABC中,BD=2DC,AE=mAB,AF=nAC,m>0,n>0,則m+2n的最小值是 .
答案3
解析AD=AB+BD=AB+23(AC-AB)
=13AB+23AC=13mAE+23nAF.
∵D,E,F三點共線,∴13m+23n=1.
∵m>0,n>0,
∴m+2n=(m+2n)13m+23n=13+43+2n3m+2m3n
≥53+22n3m2m3n=53+223=3,
當(dāng)且僅當(dāng)m=n時,等號成立.
故m+2n的最小值為3.
三、高考預(yù)測
18.已知e1,e2為平面內(nèi)兩個不共線向量,MN=2e1-3e2,NP=λe1+6e2.若M,N,P三點共線,則λ= .
答案-4
解析因為M,N,P三點共線,所以存在實數(shù)k使得MN=kNP,所以2e1-3e2=k(λe1+6e2).
又e1,e2為平面內(nèi)兩個不共線的向量,
所以2=kλ,-3=6k,解得λ=-4.
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