2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第一章 計(jì)數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc
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第1課時(shí) 排列與排列數(shù)公式 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解排列的概念.2.理解并掌握排列數(shù)公式,能應(yīng)用排列知識(shí)解決簡單的實(shí)際問題. 知識(shí)點(diǎn)一 排列的定義 從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出2人參加一項(xiàng)活動(dòng),其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng),另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng). 思考 讓你安排這項(xiàng)活動(dòng)需要分幾步? 答案 分兩步.第1步確定上午的同學(xué); 第2步確定下午的同學(xué). 梳理 一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 知識(shí)點(diǎn)二 排列數(shù)及排列數(shù)公式 思考 從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中選出3個(gè)能構(gòu)成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的3位數(shù)? 答案 432=24(個(gè)). 梳理 排列數(shù)定義 從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù) 排列數(shù)表示法 A 排列數(shù)公式 乘積式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1) 階乘式 A= 性質(zhì) A=n!,0?。? 備注 n,m∈N*,m≤n 1.a(chǎn),b,c與b,a,c是同一個(gè)排列.( ) 2.同一個(gè)排列中,同一個(gè)元素不能重復(fù)出現(xiàn).( √ ) 3.在一個(gè)排列中,若交換兩個(gè)元素的位置,則該排列不發(fā)生變化.( ) 4.從4個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素,只要元素相同得到的就是相同的排列.( ) 類型一 排列的概念 例1 判斷下列問題是否為排列問題: (1)北京、上海、天津三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線的飛機(jī)票的價(jià)格(假設(shè)來回的票價(jià)相同); (2)選2個(gè)小組分別去植樹和種菜; (3)選2個(gè)小組去種菜; (4)選10人組成一個(gè)學(xué)習(xí)小組; (5)選3個(gè)人分別擔(dān)任班長、學(xué)習(xí)委員、生活委員; (6)某班40名學(xué)生在假期相互通信. 考點(diǎn) 排列的概念 題點(diǎn) 排列的判斷 解 (1)中票價(jià)只有三種,雖然機(jī)票是不同的,但票價(jià)是一樣的,不存在順序問題,所以不是排列問題. (2)植樹和種菜是不同的,存在順序問題,屬于排列問題. (3)(4)不存在順序問題,不屬于排列問題. (5)中每個(gè)人的職務(wù)不同,例如甲當(dāng)班長或當(dāng)學(xué)習(xí)委員是不同的,存在順序問題,屬于排列問題. (6)A給B寫信與B給A寫信是不同的,所以存在著順序問題,屬于排列問題. 所以在上述各題中(2)(5)(6)是排列問題,(1)(3)(4)不是排列問題. 反思與感悟 判斷一個(gè)具體問題是否為排列問題的思路 跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列問題是否為排列問題. (1)會(huì)場有50個(gè)座位,要求選出3個(gè)座位有多少種方法?若選出3個(gè)座位安排三位客人,又有多少種方法? (2)從集合M={1,2,…,9}中,任取兩個(gè)元素作為a,b,可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓方程+=1?可以得到多少個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程-=1? (3)平面上有5個(gè)點(diǎn),其中任意三個(gè)點(diǎn)不共線,這5個(gè)點(diǎn)最多可確定多少條直線?可確定多少條射線? 考點(diǎn) 排列的概念 題點(diǎn) 排列的判斷 解 (1)第一問不是排列問題,第二問是排列問題.“入座”問題同“排隊(duì)”問題,與順序有關(guān),故選3個(gè)座位安排三位客人是排列問題. (2)第一問不是排列問題,第二問是排列問題. 若方程+=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,則必有a>b,a,b的大小關(guān)系一定; 在雙曲線-=1中,不管a>b還是a13可表示為( ) A.A B.A C.A D.A 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案 B 解析 從(x-3),(x-4),…到(x-13)共(x-3)-(x-13)+1=11(個(gè))數(shù),所以根據(jù)排列數(shù)公式知(x-3)(x-4)(x-5)…(x-12)(x-13)=A. 4.從5本不同的書中選2本送給2名同學(xué),每人1本,不同的送法種數(shù)為( ) A.5 B.10 C.15 D.20 考點(diǎn) 排列的應(yīng)用 題點(diǎn) 無限制條件的排列問題 答案 D 5.解方程A=140A. 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 解含有排列數(shù)的方程或不等式 解 根據(jù)題意,原方程等價(jià)于 即 整理得4x2-35x+69=0(x≥3,x∈N*), 解得x=3. 1.判斷一個(gè)問題是否是排列問題的思路 排列的根本特征是每一個(gè)排列不僅與選取的元素有關(guān),而且與元素的排列順序有關(guān).這就說,在判斷一個(gè)問題是否是排列問題時(shí),可以考慮所取出的元素,任意交換兩個(gè),若結(jié)果變化,則是排列問題,否則不是排列問題. 2.關(guān)于排列數(shù)的兩個(gè)公式 (1)排列數(shù)的第一個(gè)公式A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)適用m已知的排列數(shù)的計(jì)算以及排列數(shù)的方程和不等式.在運(yùn)用時(shí)要注意它的特點(diǎn),從n起連續(xù)寫出m個(gè)數(shù)的乘積即可. (2)排列數(shù)的第二個(gè)公式A=用于與排列數(shù)有關(guān)的證明、解方程、解不等式等,在具體運(yùn)用時(shí),應(yīng)注意先提取公因式再計(jì)算,同時(shí)還要注意隱含條件“n,m∈N*,m≤n”的運(yùn)用. 一、選擇題 1.A=9101112,則m等于( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案 B 2.已知下列問題:①從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩名分別參加數(shù)學(xué)、物理興趣小組;②從甲、乙、丙三名同學(xué)中選出兩人參加一項(xiàng)活動(dòng);③從a,b,c,d中選出3個(gè)字母;④從1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù).其中是排列問題的有( ) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 考點(diǎn) 排列的概念 題點(diǎn) 排列的判斷 答案 B 解析 由排列的定義知①④是排列問題. 3.與AA不相等的是( ) A.A B.81A C.10A D.A 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 利用排列數(shù)公式證明 答案 B 解析 AA=10987!=A=10A=A,81A=9A≠A,故選B. 4.甲、乙、丙三人排成一排照相,甲不站在排頭的所有排列種數(shù)為( ) A.6 B.4 C.8 D.10 考點(diǎn) 排列的概念 題點(diǎn) 列舉所有排列 答案 B 解析 列樹狀圖如下: 丙甲乙乙甲 乙甲丙丙甲 故組成的排列為丙甲乙,丙乙甲,乙甲丙,乙丙甲,共4種. 5.從2,3,5,7四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)分別相除,則得到的不同結(jié)果有( ) A.6個(gè) B.10個(gè) C.12個(gè) D.16個(gè) 考點(diǎn) 排列的應(yīng)用 題點(diǎn) 無限制條件的排列問題 答案 C 解析 不同結(jié)果有A=43=12(個(gè)). 6.下列各式中與排列數(shù)A相等的是( ) A. B.n(n-1)(n-2)…(n-m) C. D.AA 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 利用排列數(shù)公式證明 答案 D 解析 A=,而AA=n=, ∴AA=A. 7.四張卡片上分別標(biāo)有數(shù)字“2”“0”“1”“1”,則由這四張卡片可組成不同的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為( ) A.6 B.9 C.12 D.24 考點(diǎn) 排列的概念 題點(diǎn) 列舉所有排列 答案 B 解析 這四位數(shù)列舉為如下: 1 012,1 021,1 102,1 120,1 201, 1 210,2 011,2 101,2 110,共9個(gè). 二、填空題 8.從a,b,c,d,e五個(gè)元素中每次取出三個(gè)元素,可組成________個(gè)以b為首的不同的排列,它們分別是________________________________________. 考點(diǎn) 排列的概念 題點(diǎn) 列舉所有排列 答案 12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed 解析 畫出樹狀圖如下: 可知共12個(gè),它們分別是bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed. 9.若集合P={x|x=A,m∈N*},則集合P中共有________個(gè)元素. 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案 3 解析 由題意知,m=1,2,3,4,由A=A,故集合P中共有3個(gè)元素. 10.滿足不等式>12的n的最小值為________. 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 解含有排列數(shù)的方程或不等式 答案 10 解析 ==>12,得(n-5)(n-6)>12, 解得 n>9或n<2(舍去).∴最小正整數(shù)n的值為10. 11.2017北京車展期間,某調(diào)研機(jī)構(gòu)準(zhǔn)備從5人中選3人去調(diào)查E1館、E3館、E4館的參觀人數(shù),不同的安排方法種數(shù)為________. 考點(diǎn) 排列的應(yīng)用 題點(diǎn) 無限制條件的排列問題 答案 60 解析 由題意可知,問題為從5個(gè)元素中選3個(gè)元素的排列問題,所以安排方法有543=60(種). 12.由1,4,5,x四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),所有這些四位數(shù)的各數(shù)位上的數(shù)字之和為288,則x=________. 考點(diǎn) 排列的應(yīng)用 題點(diǎn) 無限制條件的排列問題 答案 2 解析 當(dāng)x≠0時(shí),有A=24(個(gè))四位數(shù),每個(gè)四位數(shù)的數(shù)字之和為1+4+5+x, 故24(1+4+5+x)=288,解得x=2; 當(dāng)x=0時(shí),每個(gè)四位數(shù)的數(shù)字之和為1+4+5=10,而288不能被10整除,即x=0不符合題意, 綜上可知,x=2. 三、解答題 13.一條鐵路線原有n個(gè)車站,為了適應(yīng)客運(yùn)需要,新增加了2個(gè)車站,客運(yùn)車票增加了58種,問原有多少個(gè)車站?現(xiàn)有多少車站? 考點(diǎn) 排列的應(yīng)用 題點(diǎn) 無限制條件的排列問題 解 由題意可得A-A=58, 即(n+2)(n+1)-n(n-1)=58, 解得n=14. 所以原有車站14個(gè),現(xiàn)有車站16個(gè). 四、探究與拓展 14.若S=A+A+A+A+…+A,則S的個(gè)位數(shù)字是( ) A.8 B.5 C.3 D.0 考點(diǎn) 排列數(shù)公式 題點(diǎn) 利用排列數(shù)公式計(jì)算 答案 C 解析 1!=1,2?。?,3?。?,4?。?4,5?。?20,而6!=65!,7?。?65!,…,100?。?0099…65!,所以從5!開始到100!,個(gè)位數(shù)字均為0,所以S的個(gè)位數(shù)字為3. 15.京滬高速鐵路自北京南站至上海虹橋站,雙線鐵路全長1 318公里,途經(jīng)北京、天津、河北、山東、安徽、江蘇、上海7個(gè)省市,設(shè)立包括北京南、天津西、濟(jì)南西、南京南、蘇州北、上海虹橋等在內(nèi)的21個(gè)車站,計(jì)算鐵路部門要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備多少種不同的火車票? 考點(diǎn) 排列的應(yīng)用 題點(diǎn) 無限制條件的排列問題 解 對(duì)于兩個(gè)火車站A和B,從A到B的火車票與從B到A的火車票不同,因?yàn)槊繌埰睂?duì)應(yīng)一個(gè)起點(diǎn)站和一個(gè)終點(diǎn)站.因此,結(jié)果應(yīng)為從21個(gè)不同元素中,每次取出2個(gè)不同元素的排列數(shù)A=2120=420(種).所以一共需要為這21個(gè)車站準(zhǔn)備420種不同的火車票.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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