2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第2課時 排列的綜合應(yīng)用學案 新人教A版選修2-3.doc
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第2課時 排列的綜合應(yīng)用 學習目標 1.進一步加深對排列概念的理解.2.掌握幾種有限制條件的排列,能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題. 知識點 排列及其應(yīng)用 1.排列數(shù)公式 A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)(n,m∈N*,m≤n)=. A=n(n-1)(n-2)…21=n!(叫做n的階乘).另外,我們規(guī)定0!=1. 2.應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟 類型一 無限制條件的排列問題 例1 (1)有7本不同的書,從中選3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法? (2)有7種不同的書,要買3本送給3名同學,每人各1本,共有多少種不同的送法? 考點 排列的應(yīng)用 題點 無限制條件的排列問題 解 (1)從7本不同的書中選3本送給3名同學,相當于從7個元素中任取3個元素的一個排列,所以共有A=765=210(種)不同的送法. (2)從7種不同的書中買3本書,這3本書并不要求都不相同,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有777=343(種)不同的送法. 反思與感悟 典型的排列問題,用排列數(shù)計算其排列方法數(shù);若不是排列問題,需用計數(shù)原理求其方法種數(shù).排列的概念很清楚,要從“n個不同的元素中取出m個元素”.即在排列問題中元素不能重復(fù)選取,而在用分步乘法計數(shù)原理解決的問題中,元素可以重復(fù)選?。? 跟蹤訓練1 (1)有5個不同的科研小課題,從中選3個由高二(6)班的3個學習興趣小組進行研究,每組一個課題,共有多少種不同的安排方法? (2)有5個不同的科研小課題,高二(6)班的3個學習興趣小組報名參加,每組限報一個課題,共有多少種不同的報名方法? 考點 排列的應(yīng)用 題點 無限制條件的排列問題 解 (1)從5個不同的課題中選出3個,由興趣小組進行研究,對應(yīng)于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列,因此不同的安排方法有A=543=60(種). (2)由題意知3個興趣小組可能報同一科研課題,因此元素可以重復(fù),不是排列問題. 由于每個興趣小組都有5種不同的選擇,且3個小組都選擇完才算完成這件事,所以由分步乘法計數(shù)原理得共有555=125(種)報名方法. 類型二 排隊問題 例2 3名男生、4名女生按照不同的要求排隊,求不同的排隊方法的種數(shù). (1)全體站成一排,男、女各站在一起; (2)全體站成一排,男生必須站在一起; (3)全體站成一排,男生不能站在一起; (4)全體站成一排,男、女各不相鄰. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 解 (1)男生必須站在一起是男生的全排列,有A種排法; 女生必須站在一起是女生的全排列,有A種排法; 全體男生、女生各視為一個元素,有A種排法. 由分步乘法計數(shù)原理知,共有AAA=288(種)排隊方法. (2)三個男生全排列有A種方法,把所有男生視為一個元素,與4名女生組成5個元素全排列,有A種排法.故有AA=720(種)排隊方法. (3)先安排女生,共有A種排法;男生在4個女生隔成的五個空中安排,共有A種排法,故共有AA=1 440(種)排法. (4)排好男生后讓女生插空,共有AA=144(種)排法. 反思與感悟 處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體,后局部”的原則.元素相鄰問題,一般用“捆綁法”,先把相鄰的若干個元素“捆綁”為一個大元素與其余元素全排列,然后再松綁,將這若干個元素內(nèi)部全排列.元素不相鄰問題,一般用“插空法”,先將不相鄰元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之間及兩端插入不相鄰元素. 跟蹤訓練2 某次文藝晚會上共演出8個節(jié)目,其中2個唱歌、3個舞蹈、3個曲藝節(jié)目,求分別滿足下列條件的節(jié)目編排方法有多少種? (1)一個唱歌節(jié)目開頭,另一個放在最后壓臺; (2)2個唱歌節(jié)目互不相鄰; (3)2個唱歌節(jié)目相鄰且3個舞蹈節(jié)目不相鄰. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 解 (1)先排唱歌節(jié)目有A種排法,再排其他節(jié)目有A種排法,所以共有AA=1 440(種)排法. (2)先排3個舞蹈節(jié)目和3個曲藝節(jié)目有A種排法,再從其中7個空(包括兩端)中選2個排唱歌節(jié)目,有A種插入方法,所以共有AA=30 240(種)排法. (3)把2個相鄰的唱歌節(jié)目看作一個元素,與3個曲藝節(jié)目排列共A種排法,再將3個舞蹈節(jié)目插入,共有A種插入方法,最后將2個唱歌節(jié)目互換位置,有A種排法,故所求排法共有AAA=2 880(種)排法. 例3 六人按下列要求站一橫排,分別有多少種不同的站法? (1)甲不能在兩端; (2)甲、乙必須在兩端; (3)甲不在最左端,乙不在最右端. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“在”與“不在”問題 解 (1)先考慮甲有A種方案,再考慮其余5人全排列,故N=AA=480(種); (2)先安排甲、乙有A種方案,再安排其余4人全排列,故N=AA=48(種); (3)方法一 甲在最左端的站法有A種,乙在最右端的站法有A種,且甲在最左端而乙在最右端的站法有A種,共有A-2A+A=504(種)站法. 方法二 以元素甲分類可分為兩類:a.甲站最右端有A種,b.甲在中間4個位置之一,而乙不在最右端有AAA種,故共有A+AAA=504(種)站法. 反思與感悟 “在”與“不在”排列問題解題原則及方法 (1)原則:解“在”與“不在”的有限制條件的排列問題時,可以從元素入手也可以從位置入手,原則是誰特殊誰優(yōu)先. (2)方法:從元素入手時,先給特殊元素安排位置,再把其他元素安排在其他位置上,從位置入手時,先安排特殊位置,再安排其他位置. 提醒:解題時,或從元素考慮,或從位置考慮,都要貫徹到底.不能一會考慮元素,一會考慮位置,造成分類、分步混亂,導致解題錯誤. 跟蹤訓練3 某一天的課程表要排入政治、語文、數(shù)學、物理、體育、美術(shù)共六節(jié)課,如果第一節(jié)不排體育,最后一節(jié)不排數(shù)學,那么共有多少種不同的排課程表的方法? 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“在”與“不在”問題 解 6門課總的排法是A,其中不符合要求的可分為體育排在第一節(jié),有A種排法;數(shù)學排在最后一節(jié),有A種排法,但這兩種方法,都包括體育排在第一節(jié),數(shù)學排在最后一節(jié),這種情況有A種排法.因此符合條件的排法有A-2A+A=504(種). 例4 將A,B,C,D,E這5個字母排成一列,要求A,B,C在排列中的順序為“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相鄰).則有多少種不同的排列方法? 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列中的定序問題 解 5個不同元素中部分元素A,B,C的排列順序已定,這種問題有以下兩種常用的解法. 方法一 (整體法)5個元素無約束條件的全排列有A種,由于字母A,B,C的排列順序為“A,B,C”或“C,B,A”,因此,在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排列有2=40(種). 方法二 (插空法)若字母A,B,C的排列順序為“A,B,C”,將字母D,E插入,這時形成的4個空中,分兩類: 第一類,若字母D,E相鄰,則有AA種排法; 第二類,若字母D,E不相鄰,則有A種排法. 所以有AA+A=20(種)不同的排列方法. 同理,若字母A,B,C的排列順序為“C,B,A”,也有20種不同的排列方法. 因此,滿足條件的排列有20+20=40(種). 反思與感悟 在有些排列問題中,某些元素有前后順序是確定的(不一定相鄰),解決這類問題的基本方法有兩種: (1)整體法,即若有m+n個元素排成一列,其中m個元素之間的先后順序確定不變,先將這m+n個元素排成一列,有A種不同的排法;然后任取一個排列,固定其他n個元素的位置不動,把這m個元素交換順序,有A種排法,其中只有一個排列是我們需要的,因此共有種滿足條件的不同排法. (2)插空法,即m個元素之間的先后順序確定不變,因此先排這m個元素,只有一種排法,然后把剩下的n個元素分類或分步插入由以上m個元素形成的空隙中. 跟蹤訓練4 用1,2,3,4,5,6,7組成沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),若1,3,5,7的順序一定,則有________個七位數(shù)符合條件. 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列中的定序問題 答案 210 解析 若1,3,5,7的順序不定,有A=24(種)排法,故1,3,5,7的順序一定的排法數(shù)只占總排法數(shù)的. 故有A=210(個)七位數(shù)符合條件. 類型三 數(shù)字排列問題 例5 用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個符合下列條件的無重復(fù)的數(shù)字? (1)六位奇數(shù); (2)個位數(shù)字不是5的六位數(shù); (3)不大于4 310的四位偶數(shù). 考點 排列的應(yīng)用 題點 數(shù)字的排列問題 解 (1)第一步,排個位,有A種排法; 第二步,排十萬位,有A種排法; 第三步,排其他位,有A種排法. 故共有AAA=288(個)六位奇數(shù). (2)方法一 (直接法): 十萬位數(shù)字的排法因個位上排0與不排0而有所不同,因此需分兩類. 第一類,當個位排0時,有A個; 第二類,當個位不排0時,有AAA個. 故符合題意的六位數(shù)共有A+AAA=504(個). 方法二 (排除法): 0在十萬位和5在個位的排列都不對應(yīng)符合題意的六位數(shù),這兩類排列中都含有0在十萬位和5在個位的情況. 故符合題意的六位數(shù)共有A-2A+A=504(個). (3)分三種情況,具體如下: ①當千位上排1,3時,有AAA個. ②當千位上排2時,有AA個. ③當千位上排4時,形如4 02,4 20的各有A個; 形如4 1的有AA個; 形如4 3的只有4 310和4 302這兩個數(shù). 故共有AAA+AA+2A+AA+2=110(個). 反思與感悟 數(shù)字排列問題是排列問題的重要題型,解題時要著重注意從附加受限制條件入手分析,找出解題的思路.常見附加條件有:(1)首位不能為0;(2)有無重復(fù)數(shù)字;(3)奇偶數(shù);(4)某數(shù)的倍數(shù);(5)大于(或小于)某數(shù). 跟蹤訓練5 用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成多少個無重復(fù)數(shù)字的 (1)能被5整除的五位數(shù); (2)能被3整除的五位數(shù); (3)若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個數(shù)列{an},則240 135是第幾項. 考點 排列的應(yīng)用 題點 數(shù)字的排列問題 解 (1)個位上的數(shù)字必須是0或5.個位上是0,有A個;個位上是5,若不含0,則有A個;若含0,但0不作首位,則0的位置有A種排法,其余各位有A種排法,故共有A+A+AA=216(個)能被5整除的五位數(shù). (2)能被3整除的條件是各位數(shù)字之和能被3整除,則5個數(shù)可能有{1,2,3,4,5}和{0,1,2,4,5}兩種情況,能夠組成的五位數(shù)分別有A個和AA個. 故能被3整除的五位數(shù)有A+AA=216(個). (3)由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0,首位數(shù)字為1有A個數(shù),首位數(shù)字為2,萬位上為0,1,3中的一個,有3A個數(shù), ∴240 135的項數(shù)是A+3A+1=193, 即240 135是數(shù)列的第193項. 1.6位學生排成兩排,每排3人,則不同的排法種數(shù)為( ) A.36 B.120 C.240 D.720 考點 排列的應(yīng)用 題點 無限制條件的排列問題 答案 D 解析 不同的排法有A=654321=720(種). 2.6位選手依次演講,其中選手甲不排在第一個也不排在最后一個演講,則不同的演講次序共有( ) A.240種 B.360種 C.480種 D.720種 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“在”與“不在”問題 答案 C 解析 第一步:排甲,共有A種不同的排法;第二步:排其他人,共有A種不同的排法,因此不同的演講次序共有AA=480(種). 3.用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40 000大的偶數(shù)共有( ) A.144個 B.120個 C.96個 D.72個 考點 排列的應(yīng)用 題點 數(shù)字的排列問題 答案 B 解析 當五位數(shù)的萬位為4時,個位可以是0,2,此時滿足條件的偶數(shù)共有2A=48(個);當五位數(shù)的萬位為5時,個位可以是0,2,4,此時滿足條件的偶數(shù)共有3A=72(個),所以比40 000大的偶數(shù)共有48+72=120(個). 4.5位母親帶領(lǐng)5名兒童站成一排照相,兒童不相鄰的站法有________種. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 86 400 解析 第1步,先排5位母親的位置,有A種排法; 第2步,把5名兒童插入5位母親所形成的6個空位中,如下所示: 母親____母親____母親____母親____母親____,共有A種排法. 由分步乘法計數(shù)原理可知,符合條件的站法共有AA=86 400(種). 5.兩家夫婦各帶一個小孩一起去公園游玩,購票后排隊依次入園.為安全起見,首尾一定要排兩位爸爸,另外,兩個小孩一定要排在一起,則這6人的入園順序排法種數(shù)為________. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 24 解析 分3步進行分析, ①先安排兩位爸爸,必須一首一尾,有A=2(種)排法, ②兩個小孩一定要排在一起,將其看成一個元素,考慮其順序有A=2(種)排法, ③將兩個小孩看作一個元素與兩位媽媽進行全排列,有A=6(種)排法.則共有226=24(種)排法. 求解排列問題的主要方法: 直接法 把符合條件的排列數(shù)直接列式計算 優(yōu)先法 優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置 捆綁法 把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列,同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列 插空法 對不相鄰問題,先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中 定序問題 除法處理 對于定序問題,可先不考慮順序限制,排列后,再除以定序元素的全排列 間接法 正難則反,等價轉(zhuǎn)化的方法 一、選擇題 1.將3張不同的電影票全部分給10個人,每人至多一張,則不同的分法種數(shù)是( ) A.1 260 B.120 C.240 D.720 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列的簡單應(yīng)用 答案 D 解析 相當于3個元素排10個位置,有A=720(種)不同的分法. 2.要從a,b,c,d,e 5個人中選出1名組長和1名副組長,但a不能當副組長,則不同的選法種數(shù)是( ) A.20 B.16 C.10 D.6 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列的簡單應(yīng)用 答案 B 解析 不考慮限制條件有A種選法,若a當副組長,有A種選法,故a不當副組長,有A-A=16(種)選法. 3.一排9個座位坐了3個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為( ) A.33! B.3(3!)3 C.(3!)4 D.9! 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 C 解析 利用“捆綁法”求解,滿足題意的坐法種數(shù)為A(A)3=(3!)4.故選C. 4.某電視臺一節(jié)目收視率很高,現(xiàn)要連續(xù)插播4個廣告,其中2個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益宣傳廣告,要求最后播放的必須是商業(yè)廣告,且2個商業(yè)廣告不能連續(xù)播放,則不同的播放方式有( ) A.8種 B.16種 C.18種 D.24種 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 A 解析 可分三步:第一步,排最后一個商業(yè)廣告,有A種;第二步,在前兩個位置選一個排第二個商業(yè)廣告,有A種;第三步,余下的兩個位置排公益宣傳廣告,有A種.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,不同的播放方式共有AAA=8(種),故選A. 5.由1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),按從小到大的順序排成一個數(shù)列{an},則a72等于( ) A.1 543 B.2 543 C.3 542 D.4 532 考點 排列的應(yīng)用 題點 數(shù)字的排列問題 答案 C 解析 首位是1的四位數(shù)有A=24(個), 首位是2的四位數(shù)有A=24(個), 首位是3的四位數(shù)有A=24(個), 由分類加法計數(shù)原理得, 首位小于4的所有四位數(shù)共324=72(個). 由此得a72=3 542. 6.在制作飛機的某一零件時,要先后實施6個工序,其中工序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步,工序B和C在實施時必須相鄰,則實施順序的編排方法共有( ) A.34種 B.48種 C.96種 D.144種 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 C 解析 由題意可知,先排工序A,有2種編排方法;再將工序B和C視為一個整體(有2種順序)與其他3個工序全排列共有2A種編排方法.故實施順序的編排方法共有22A=96(種).故選C. 7.由數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有( ) A.210個 B.300個 C.464個 D.600個 考點 排列的應(yīng)用 題點 數(shù)字的排列問題 答案 B 解析 由于組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),個位小于十位的與個位大于十位的一樣多,故有=300(個). 8.某單位安排7位員工在10月1日至7日值班,每天安排1人,每人值班1天.若7位員工中的甲、乙被安排在相鄰兩天值班,丙不在10月1日值班,丁不在10月7日值班,則不同的安排方案共有( ) A.504種 B.960種 C.1 108種 D.1 008種 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“在”與“不在”問題 答案 D 解析 由題意知,滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班的方案共有AA=1 440(種),其中滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班的方案共有AA=240(種),滿足甲、乙兩人被安排在相鄰兩天值班且丁在10月7日值班的方案共有AA=240(種),滿足甲、乙兩人安排在相鄰兩天值班且丙在10月1日值班、丁在10月7日值班的方案共有AA=48(種).因此滿足題意的方案共有1 440-2240+48=1 008(種). 二、填空題 9.5個人排成一排,要求甲、乙兩人之間至少有一人,則不同的排法有________種. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 72 解析 甲、乙兩人相鄰共有AA種排法,則甲、乙兩人之間至少有一人共有A-AA=72(種)排法. 10.從6名短跑運動員中選出4人參加4100 m接力賽,甲不能跑第一棒和第四棒,問共有________種參賽方案. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“在”與“不在”問題 答案 240 解析 方法一 從人(元素)的角度考慮,優(yōu)先考慮甲,分以下兩類: 第1類,甲不參賽,有A種參賽方案; 第2類,甲參賽,可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒,有2種方法,然后安排其他3棒,有A種方法,此時有2A種參賽方案. 由分類加法計數(shù)原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A+2A=240(種). 方法二 從位置(元素)的角度考慮,優(yōu)先考慮第一棒和第四棒,則這兩棒可以從除甲之外的5人中選2人,有A種方法;其余兩棒從剩余4人中選,有A種方法. 由分步乘法計數(shù)原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有AA=240(種). 方法三 (排除法):不考慮甲的約束,6個人占4個位置,有A種安排方法,剔除甲跑第一棒和第四棒的參賽方案有2A種,所以甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有A-2A=240(種). 11.六個停車位置,有3輛汽車需要停放,若要使三個空位連在一起,則停放的方法數(shù)為________. 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 答案 24 解析 把3個空位看作一個元素,與3輛汽車共有4個元素全排列,故停放的方法有A=4321=24(種). 三、解答題 12.分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù). (1)6名學生排3排,前排1人,中排2人,后排3人; (2)6名學生排成一排,甲不在排頭也不在排尾; (3)6人排成一排,甲、乙不相鄰. 考點 排列的應(yīng)用 題點 排列的簡單應(yīng)用 解 (1)分排與直排一一對應(yīng),故排法種數(shù)為A=720. (2)甲不能排頭尾,讓受特殊限制的甲先選位置,有A種選法,然后其他5人排,有A種排法,故排法種數(shù)為AA=480. (3)甲、乙不相鄰,第一步除甲、乙外的其余4人先排好;第二步,甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排,共有AA=480(種)排法. 四、探究與拓展 13.用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字),要求任何相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同,且1和2相鄰,這樣的六位數(shù)的個數(shù)是________.(用數(shù)字作答) 考點 排列的應(yīng)用 題點 數(shù)字的排列問題 答案 40 解析 第一步,讓1,2必相鄰有A種排法;第二步,在5個位置上任取1個位置排有5種方法;第三步,在與1,2相鄰的一個位置上排有2種方法;第四步,在下一個位置上仍有2種方法;第五步,其余2個位置只有1種排法.故共有A5221=40(種). 14.高一年級某班的數(shù)學、語文、英語、物理、化學、體育六門課安排在某一天,每門課一節(jié),上午四節(jié),下午兩節(jié),數(shù)學課必須在上午,體育課必須在下午,數(shù)、理、化三門課中任意兩門不相鄰,但上午第四節(jié)和下午第一節(jié)不叫相鄰,則不同的排法種數(shù)為多少? 考點 排列的應(yīng)用 題點 元素“相鄰”與“不相鄰”問題 解 分兩類: 第1類,數(shù)學課在上午第一節(jié)或第四節(jié)共A種排法,體育課在下午共A種排法,理、化課安排在上午一節(jié),下午一節(jié)有2A種排法,其余兩門在剩下的位置安排共A種. 由分步乘法計數(shù)原理知,共有AA2AA=32(種)排法. 第2類,數(shù)學課安排在上午第二節(jié)或第三節(jié),共A種排法,體育課安排在下午有A種排法,理、化課安排在上午一節(jié)和下午一節(jié),共A種排法,其余兩門在余下的位置安排共A種排法. 由分步乘法計數(shù)原理知,共有AAAA=16(種)排法. 綜上,由分類加法計數(shù)原理知,排法種數(shù)為N=32+16=48.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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- 2018-2019版高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.2 排列與組合 1.2.1 第2課時 排列的綜合應(yīng)用學案 新人教A版選修2-3 2018 2019 高中數(shù)學 計數(shù) 原理 排列 組合 課時 綜合 應(yīng)用
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