建模方法示例--華東理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模.ppt

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2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 第二章建模方法示例 2 1公平的席位分配2 2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2 3雙層玻璃窗的功效2 4汽車(chē)剎車(chē)距離2 5劃艇比賽的成績(jī)2 6實(shí)物交換2 7核軍備競(jìng)賽2 8啟帆遠(yuǎn)航2 9量綱分析與無(wú)量綱化 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 1公平的席位分配 問(wèn)題 三個(gè)系學(xué)生共200名 甲系100 乙系60 丙系40 代表會(huì)議共20席 按比例分配 三個(gè)系分別為10 6 4席 現(xiàn)因?qū)W生轉(zhuǎn)系 三系人數(shù)為103 63 34 問(wèn)20席如何分配 若增加為21席 又如何分配 比例加慣例 對(duì)丙系公平嗎 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 公平 分配方法 衡量公平分配的數(shù)量指標(biāo) 當(dāng)p1 n1 p2 n2時(shí) 分配公平 p1 n1 p2 n2 對(duì)A的絕對(duì)不公平度 p1 150 n1 10 p1 n1 15p2 100 n2 10 p2 n2 10 p1 1050 n1 10 p1 n1 105p2 1000 n2 10 p2 n2 100 p1 n1 p2 n2 5 但后者對(duì)A的不公平程度已大大降低 雖二者的絕對(duì)不公平度相同 若p1 n1 p2 n2 對(duì)不公平 A p1 n1 p2 n2 5 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 公平分配方案應(yīng)使rA rB盡量小 設(shè)A B已分別有n1 n2席 若增加1席 問(wèn)應(yīng)分給A 還是B 不妨設(shè)分配開(kāi)始時(shí)p1 n1 p2 n2 即對(duì)A不公平 對(duì)A的相對(duì)不公平度 將絕對(duì)度量改為相對(duì)度量 類(lèi)似地定義rB n1 n2 將一次性的席位分配轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)的席位分配 即 公平 分配方法 若p1 n1 p2 n2 定義 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 1 若p1 n1 1 p2 n2 則這席應(yīng)給A 2 若p1 n1 1 p2 n2 3 若p1 n1 p2 n2 1 應(yīng)計(jì)算rB n1 1 n2 應(yīng)計(jì)算rA n1 n2 1 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應(yīng)給 應(yīng)討論以下幾種情況 初始p1 n1 p2 n2 問(wèn) p1 n1 p2 n2 1 是否會(huì)出現(xiàn) A 否 若rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 則這席應(yīng)給B 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 當(dāng)rB n1 1 n2 rA n1 n2 1 該席給A 該席給A 否則 該席給B 推廣到m方分配席位 該席給Q值最大的一方 Q值方法 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 三系用Q值方法重新分配21個(gè)席位 按人數(shù)比例的整數(shù)部分已將19席分配完畢 甲系 p1 103 n1 10乙系 p2 63 n2 6丙系 p3 34 n3 3 用Q值方法分配第20席和第21席 第20席 第21席 同上 Q3最大 第21席給丙系 甲系11席 乙系6席 丙系4席 Q值方法分配結(jié)果 公平嗎 Q1最大 第20席給甲系 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 進(jìn)一步的討論 Q值方法比 比例加慣例 方法更公平嗎 席位分配的理想化準(zhǔn)則 已知 m方人數(shù)分別為p1 p2 pm 記總?cè)藬?shù)為P p1 p2 pm 待分配的總席位為N 設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1 n2 nm 自然應(yīng)有n1 n2 nm N 記qi Npi P i 1 2 m ni應(yīng)是N和p1 pm的函數(shù) 即ni ni N p1 pm 若qi均為整數(shù) 顯然應(yīng)ni qi 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 qi Npi P不全為整數(shù)時(shí) ni應(yīng)滿(mǎn)足的準(zhǔn)則 記 qi floor qi 向 qi方向取整 qi ceil qi 向 qi方向取整 1 qi ni qi i 1 2 m 2 ni N p1 pm ni N 1 p1 pm i 1 2 m 即ni必取 qi qi 之一 即當(dāng)總席位增加時(shí) ni不應(yīng)減少 比例加慣例 方法滿(mǎn)足1 但不滿(mǎn)足2 Q值方法滿(mǎn)足2 但不滿(mǎn)足1 令人遺憾 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題 在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半 計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450 問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目 要求 不僅回答問(wèn)題 而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系 思考 計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎 2 2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途 經(jīng)試驗(yàn) 一盤(pán)標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾 時(shí)間用了184分 計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理 錄像帶運(yùn)動(dòng) 問(wèn)題分析 觀(guān)察 計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型假設(shè) 錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)v 計(jì)數(shù)器讀數(shù)n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)m成正比 記m kn 錄像帶厚度 加兩圈間空隙 為常數(shù)w 空右輪盤(pán)半徑記作r 時(shí)間t 0時(shí)讀數(shù)n 0 建模目的 建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系 設(shè)v k w r為已知參數(shù) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型建立 建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法 1 右輪盤(pán)轉(zhuǎn)第i圈的半徑為r wi m圈的總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt 所以 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 考察右輪盤(pán)面積的變化 等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度 即 3 考察t到t dt錄像帶在右輪盤(pán)纏繞的長(zhǎng)度 有 模型建立 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 思考 3種建模方法得到同一結(jié)果 但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別 請(qǐng)解釋 模型中有待定參數(shù) 一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法 思考 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 參數(shù)估計(jì) 另一種確定參數(shù)的方法 測(cè)試分析 將模型改記作 只需估計(jì)a b 理論上 已知t 184 n 6061 再有一組 t n 數(shù)據(jù)即可 實(shí)際上 由于測(cè)試有誤差 最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合 現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù) 用最小二乘法可得 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型檢驗(yàn) 應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?模型應(yīng)用 回答提出的問(wèn)題 由模型算得n 4450時(shí)t 116 4分 剩下的錄像帶能錄184 116 4 67 6分鐘的節(jié)目 揭示了 t與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系 這一普遍規(guī)律 當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí) 只需重新估計(jì)a b即可 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題 雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 減少多少熱量損失 假設(shè) 熱量傳播只有傳導(dǎo) 沒(méi)有對(duì)流 T1 T2不變 熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài) 材料均勻 熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù) 建模 熱傳導(dǎo)定律 Q 單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量 T 溫差 d 材料厚度 k 熱傳導(dǎo)系數(shù) 2 3雙層玻璃窗的功效 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 Ta Tb 記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1 Ta 內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 Tb 外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 建模 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2 雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比 k1 4 10 3 8 10 3 k2 2 5 10 4 k1 k2 16 32 對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì) 取k1 k2 16 建模 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型應(yīng)用 取h l d 4 則Q1 Q2 0 03 即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比 可減少97 的熱量損失 結(jié)果分析 Q1 Q2所以如此小 是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2 而這要求空氣非常干燥 不流通 房間通過(guò)天花板 墻壁 損失的熱量更多 雙層窗的功效不會(huì)如此之大 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 4汽車(chē)剎車(chē)距離 美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則 背景與問(wèn)題 正常駕駛條件下 車(chē)速每增10英里 小時(shí) 后面與前車(chē)的距離應(yīng)增一個(gè)車(chē)身的長(zhǎng)度 實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是 2秒準(zhǔn)則 后車(chē)司機(jī)從前車(chē)經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開(kāi)始默數(shù)2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志 而不管車(chē)速如何 判斷 2秒準(zhǔn)則 與 車(chē)身 規(guī)則是否一樣 建立數(shù)學(xué)模型 尋求更好的駕駛規(guī)則 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題分析 常識(shí) 剎車(chē)距離與車(chē)速有關(guān) 10英里 小時(shí) 16公里 小時(shí) 車(chē)速下2秒鐘行駛29英尺 9米 車(chē)身的平均長(zhǎng)度15英尺 4 6米 2秒準(zhǔn)則 與 10英里 小時(shí)加一車(chē)身 規(guī)則不同 剎車(chē)距離 反應(yīng)時(shí)間 司機(jī)狀況 制動(dòng)系統(tǒng)靈活性 制動(dòng)器作用力 車(chē)重 車(chē)速 道路 氣候 最大制動(dòng)力與車(chē)質(zhì)量成正比 使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng) 車(chē)速 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 假設(shè)與建模 1 剎車(chē)距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和 2 反應(yīng)距離d1與車(chē)速v成正比 3 剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F F作功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變 Fd2 mv2 2 F m t1為反應(yīng)時(shí)間 且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0 75秒 參數(shù)估計(jì) 利用交通部門(mén)提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k 模型 最小二乘法 k 0 06 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2秒準(zhǔn)則 應(yīng)修正為 t秒準(zhǔn)則 模型 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 5劃艇比賽的成績(jī) 對(duì)四種賽艇 單人 雙人 四人 八人 4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較 發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系 問(wèn)題 準(zhǔn)備 調(diào)查賽艇的尺寸和重量 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題分析 前進(jìn)阻力 浸沒(méi)部分與水的摩擦力 前進(jìn)動(dòng)力 漿手的劃漿功率 分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系 賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定 對(duì)漿手體重 功率 阻力與艇速的關(guān)系等作出假定 運(yùn)用合適的物理定律建立模型 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型假設(shè) 1 艇形狀相同 l b為常數(shù) w0與n成正比 2 v是常數(shù) 阻力f與sv2成正比 符號(hào) 艇速v 浸沒(méi)面積s 浸沒(méi)體積A 空艇重w0 阻力f 漿手?jǐn)?shù)n 漿手功率p 漿手體重w 艇重W 艇的靜態(tài)特性 艇的動(dòng)態(tài)特性 3 w相同 p不變 p與w成正比 漿手的特征 模型建立 fsv2 pw s1 2A1 3 AW w0 nw n npfv 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型檢驗(yàn) 利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型tn 1 9進(jìn)行檢驗(yàn) 與模型巧合 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 問(wèn)題 甲有物品X 乙有物品Y 雙方為滿(mǎn)足更高的需要 商定相互交換一部分 研究實(shí)物交換方案 用x y分別表示甲 乙 占有X Y的數(shù)量 設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0 乙占有Y的數(shù)量為y0 作圖 若不考慮雙方對(duì)X Y的偏愛(ài) 則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p x y 都是一種交換方案 甲占有 x y 乙占有 x0 x y0 y 2 6實(shí)物交換 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 甲的無(wú)差別曲線(xiàn) 分析與建模 如果甲占有 x1 y1 與占有 x2 y2 具有同樣的滿(mǎn)意程度 即p1 p2對(duì)甲是無(wú)差別的 線(xiàn)上各點(diǎn)的滿(mǎn)意度相同 線(xiàn)的形狀反映對(duì)X Y的偏愛(ài)程度 比MN各點(diǎn)滿(mǎn)意度更高的點(diǎn)如p3 在另一條無(wú)差別曲線(xiàn)M1N1上 于是形成一族無(wú)差別曲線(xiàn) 無(wú)數(shù)條 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 無(wú)差別曲線(xiàn)族的性質(zhì) 單調(diào)減 x增加 y減小 下凸 凸向原點(diǎn) 互不相交 在p1點(diǎn)占有x少 y多 寧愿以較多的 y換取較少的 x 在p2點(diǎn)占有y少 x多 就要以較多的 x換取較少的 y 甲的無(wú)差別曲線(xiàn)族記作 f x y c1 c1 滿(mǎn)意度 f 等滿(mǎn)意度曲線(xiàn) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 乙的無(wú)差別曲線(xiàn)族g x y c2具有相同性質(zhì) 形狀可以不同 雙方的交換路徑 乙的無(wú)差別曲線(xiàn)族g c2 坐標(biāo)系x O y 且反向 甲的無(wú)差別曲線(xiàn)族f c1 雙方滿(mǎn)意的交換方案必在AB 交換路徑 上 因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p 雙方 滿(mǎn)意度低于AB上的點(diǎn)p 兩族曲線(xiàn)切點(diǎn)連線(xiàn)記作AB 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 p 交換方案的進(jìn)一步確定 交換方案 交換后甲的占有量 x y 0 x x0 0 y y0矩形內(nèi)任一點(diǎn) 交換路徑AB 等價(jià)交換原則 X Y用貨幣衡量其價(jià)值 設(shè)交換前x0 y0價(jià)值相同 則等價(jià)交換原則下交換路徑為 x0 0 0 y0 兩點(diǎn)的連線(xiàn)CD AB與CD的交點(diǎn)p 設(shè)X單價(jià)a Y單價(jià)b 則等價(jià)交換下ax by s s ax0 by0 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 7核軍備競(jìng)賽 冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱(chēng)為了保衛(wèi)自己的安全 實(shí)行 核威懾戰(zhàn)略 核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí) 隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束 雙方通過(guò)了一系列的核裁軍協(xié)議 在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張 而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài) 當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御 提高武器精度 發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí) 平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化 估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量 這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響 背景 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 以雙方 戰(zhàn)略 核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小 假定雙方采取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略 認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊 即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地 乙方在經(jīng)受第一次核打擊后 應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈 給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊 在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí) 假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地 摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù) 它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定 模型假設(shè) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 圖的模型 y f x 甲方有x枚導(dǎo)彈 乙方所需的最少導(dǎo)彈數(shù) x g y 乙方有y枚導(dǎo)彈 甲方所需的最少導(dǎo)彈數(shù) 當(dāng)x 0時(shí)y y0 y0 乙方的威懾值 y0 甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈 乙方為毀滅甲方工業(yè) 交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù) P xm ym 乙安全區(qū) 甲安全區(qū) 雙方安全區(qū) P 平衡點(diǎn) 雙方最少導(dǎo)彈數(shù) 乙安全線(xiàn) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 精細(xì)模型 乙方殘存率s 甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地 基地未被摧毀的概率 sx個(gè)基地未摧毀 y x個(gè)基地未攻擊 x y 甲方以x攻擊乙方y(tǒng)個(gè)基地中的x個(gè) y0 sx y x x y y0 sy 乙的x y個(gè)被攻擊2次 s2 x y 個(gè)未摧毀 y x y 2y x個(gè)被攻擊1次 s 2y x 個(gè)未摧毀 y0 s2 x y s 2y x x 2y y0 s2y y x 2y 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 a 交換比 甲乙導(dǎo)彈數(shù)量比 x ay 精細(xì)模型 x y y y0 s x 2y y y0 s2 y0 威懾值 s 殘存率 y是一條上凸的曲線(xiàn) y0變大 曲線(xiàn)上移 變陡 s變大 y減小 曲線(xiàn)變平 a變大 y增加 曲線(xiàn)變陡 x y y y0 1 s x y x 2y 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè) 交通中心等目標(biāo) 乙方威懾值y0變大 甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí) 其它因素不變 乙安全線(xiàn)y f x 上移 模型解釋 平衡點(diǎn)P P 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架 乙安全線(xiàn)y f x 不變 甲方殘存率變大 威懾值x0和交換比不變 x減小 甲安全線(xiàn)x g y 向y軸靠近 模型解釋 甲方這種單獨(dú)行為 會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少 P P 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈 每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo) x y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量 雙方威懾值減小 殘存率不變 交換比增加 y0減小 y下移且變平 a變大 y增加且變陡 雙方導(dǎo)彈增加還是減少 需要更多信息及更詳細(xì)的分析 模型解釋 乙安全線(xiàn)y f x 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航 確定最佳的航行方向及帆的朝向 簡(jiǎn)化問(wèn)題 海面上東風(fēng)勁吹 設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn) 確定起航時(shí)的航向 2 8啟帆遠(yuǎn)航 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 模型分析 風(fēng) 通過(guò)帆 對(duì)船的推力w 風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p 推力w的分解 阻力p的分解 p p1 p2 模型假設(shè) w與帆迎風(fēng)面積s1成正比 p與船迎風(fēng)面積s2成正比 比例系數(shù)相同且s1遠(yuǎn)大于s2 f1 航行方向的推力 p1 航行方向的阻力 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 w1 wsin f1 w1sin wsin sin p1 pcos 模型假設(shè) w2與帆面平行 可忽略 f2 p2垂直于船身 可由舵抵消 模型建立 w ks1 p ks2 船在正東方向速度分量v1 vcos 航向速度v與力f f1 p1成正比 v k1 f1 p1 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 令 2 v1 k1 w 1 cos 2 pcos cos 求 使v1最大 w ks1 p ks2 1 當(dāng) 固定時(shí)求 使f1最大 f1 w cos 2 cos 2 k1 f1 p1 cos f1 w1sin wsin sin p1 pcos 求 使v1最大 模型建立 v1 vcos 模型求解 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 60 75 1 t 2 備注 只討論起航時(shí)的航向 是靜態(tài)模型航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方 記t 1 2s2 s1 k2 k1w 2 k1w 2 1 1 2p w cos cos w ks1 p ks2 1 4 cos 1 2 模型求解 v1 k1 w 1 cos 2 pcos cos s1 s2 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 9量綱分析與無(wú)量綱化 物理量的量綱 長(zhǎng)度l的量綱記L l 質(zhì)量m的量綱記M m 時(shí)間t的量綱記T t 動(dòng)力學(xué)中基本量綱L M T 速度v的量綱 v LT 1 導(dǎo)出量綱 加速度a的量綱 a LT 2 力f的量綱 f LMT 2 引力常數(shù)k的量綱 k 對(duì)無(wú)量綱量 1 L0M0T0 2 9 1量綱齊次原則 f l 2 m 2 L3M 1T 2 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 量綱齊次原則 等式兩端的量綱一致 量綱分析 利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系 例 單擺運(yùn)動(dòng) 求擺動(dòng)周期t的表達(dá)式 設(shè)物理量t m l g之間有關(guān)系式 1 2 3為待定系數(shù) 為無(wú)量綱量 1 的量綱表達(dá)式 對(duì)比 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 對(duì)x y z的兩組測(cè)量值x1 y1 z1和x2 y2 z2 p1 f x1 y1 z1 p2 f x2 y2 z2 為什么假設(shè)這種形式 設(shè)p f x y z x y z的量綱單位縮小a b c倍 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 單擺運(yùn)動(dòng)中t m l g的一般表達(dá)式 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 設(shè)f q1 q2 qm 0 ys ys1 ys2 ysm T s 1 2 m r F 1 2 m r 0與f q1 q2 qm 0等價(jià) F未定 Pi定理 Buckingham 是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律 X1 X2 Xn是基本量綱 n m q1 q2 qm的量綱可表為 量綱矩陣記作 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 g LT 2 l L L 3M v LT 1 s L2 f LMT 2 量綱分析示例 波浪對(duì)航船的阻力 航船阻力f 航船速度v 船體尺寸l 浸沒(méi)面積s 海水密度 重力加速度g m 6 n 3 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 Ay 0有m r 3個(gè)基本解 rankA 3 rankA r Ay 0有m r個(gè)基本解 ys ys1 ys2 ysm Ts 1 2 m r 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 F 1 2 3 0與 g l v s f 0等價(jià) 為得到阻力f的顯式表達(dá)式 F 0 未定 F 1 2 m r 0與f q1 q2 qm 0等價(jià) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 量綱分析法的評(píng)注 物理量的選取 基本量綱的選取 基本解的構(gòu)造 結(jié)果的局限性 0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的 基本量綱個(gè)數(shù)n 選哪些基本量綱 有目的地構(gòu)造Ay 0的基本解 方法的普適性 函數(shù)F和無(wú)量綱量未定 不需要特定的專(zhuān)業(yè)知識(shí) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 9 2量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用 例 航船阻力的物理模擬 通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力 模型船的參數(shù) 均已知 可得原型船所受阻力 已知模型船所受阻力 原型船的參數(shù) f1未知 其他已知 注意 二者的 相同 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 按一定尺寸比例造模型船 量測(cè)f 可算出f1 物理模擬 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 9 3無(wú)量綱化 例 火箭發(fā)射 星球表面豎直發(fā)射 初速v 星球半徑r 表面重力加速度g 研究火箭高度x隨時(shí)間t的變化規(guī)律 t 0時(shí)x 0 火箭質(zhì)量m1 星球質(zhì)量m2 牛頓第二定律 萬(wàn)有引力定律 3個(gè)獨(dú)立參數(shù) 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù) 用參數(shù)r v g的組合 分別構(gòu)造與x t具有相同量綱的xc tc 特征尺度 無(wú)量綱變量 如 令 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 xc tc的不同構(gòu)造 1 令 為無(wú)量綱量 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 3 令 2 令 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 1 2 3 的共同點(diǎn) 重要差別 考察無(wú)量綱量 在1 2 3 中能否忽略以 為因子的項(xiàng) 1 無(wú)解 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 2 3 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 原問(wèn)題 是原問(wèn)題的近似解 2020 2 17 數(shù)學(xué)建模 為什么3 能忽略 項(xiàng) 得到原問(wèn)題近似解 而1 2 不能 3 令 火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v g 高度為v2 2g 大體上具有單位尺度 林家翹 自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)