2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)3.2《回歸分析》word教案1.doc
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2019-2020年蘇教版選修2-3高中數(shù)學(xué)3.2《回歸分析》word教案1 教學(xué)目標(biāo) (1)通過實例引入線性回歸模型,感受產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因; (2)通過對回歸模型的合理性等問題的研究,滲透線性回歸分析的思想和方法; (3)能求出簡單實際問題的線性回歸方程. 教學(xué)重點,難點 線性回歸模型的建立和線性回歸系數(shù)的最佳估計值的探求方法. 教學(xué)過程 一.問題情境 1. 情境:對一作直線運動的質(zhì)點的運動過程觀測了次,得到如下表所示的數(shù)據(jù),試估計當(dāng)x=9時的位置y的值. 時刻/s 位置觀測值/cm 根據(jù)《數(shù)學(xué)(必修)》中的有關(guān)內(nèi)容,解決這個問題的方法是: 先作散點圖,如下圖所示: 從散點圖中可以看出,樣本點呈直線趨勢,時間與位置觀測值y之間有著較好的線性關(guān)系.因此可以用線性回歸方程來刻畫它們之間的關(guān)系.根據(jù)線性回歸的系數(shù)公式, 可以得到線性回歸方為,所以當(dāng)時,由線性回歸方程可以估計其位置值為 2.問題:在時刻時,質(zhì)點的運動位置一定是嗎? 二.學(xué)生活動 思考,討論:這些點并不都在同一條直線上,上述直線并不能精確地反映與之間的關(guān)系,的值不能由完全確定,它們之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系,的實際值與估計值之間存在著誤差. 三.建構(gòu)數(shù)學(xué) 1.線性回歸模型的定義: 我們將用于估計值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù); 的實際值與估計值之間的誤差記為,稱之為隨機(jī)誤差; 將稱為線性回歸模型. 說明:(1)產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有: ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)引起的誤差; ②忽略了某些因素的影響; ③存在觀測誤差. (2)對于線性回歸模型,我們應(yīng)該考慮下面兩個問題: ①模型是否合理(這個問題在下一節(jié)課解決); ②在模型合理的情況下,如何估計,? 2.探求線性回歸系數(shù)的最佳估計值: 對于問題②,設(shè)有對觀測數(shù)據(jù),根據(jù)線性回歸模型,對于每一個,對應(yīng)的隨機(jī)誤差項,我們希望總誤差越小越好,即要使越小越好.所以,只要求出使取得最小值時的,值作為,的估計值,記為,. 注:這里的就是擬合直線上的點到點的距離. 用什么方法求,? 回憶《數(shù)學(xué)3(必修)》“2.4線性回歸方程”P71“熱茶問題”中求,的方法:最小二乘法. 利用最小二乘法可以得到,的計算公式為 , 其中, 由此得到的直線就稱為這對數(shù)據(jù)的回歸直線,此直線方程即為線性回歸方程.其中,分別為,的估計值,稱為回歸截距,稱為回歸系數(shù),稱為回歸值. 在前面質(zhì)點運動的線性回歸方程中,,. 3. 線性回歸方程中,的意義是:以為基數(shù),每增加1個單位,相應(yīng)地平均增加個單位; 4. 化歸思想(轉(zhuǎn)化思想) 在實際問題中,有時兩個變量之間的關(guān)系并不是線性關(guān)系,這就需要我們根據(jù)專業(yè)知識或散點圖,對某些特殊的非線性關(guān)系,選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q,把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程,從而確定未知參數(shù).下面列舉出一些常見的曲線方程,并給出相應(yīng)的化為線性回歸方程的換元公式. (1),令,,則有. (2),令,,,則有. (3),令,,,則有. (4),令,,,則有. (5),令,,則有. 四.?dāng)?shù)學(xué)運用 1.例題: 例1.下表給出了我國從年至年人口數(shù)據(jù)資料,試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計我國年的人口數(shù). 年份 人口數(shù)/百萬 解:為了簡化數(shù)據(jù),先將年份減去,并將所得值用表示,對應(yīng)人口數(shù)用表示,得到下面的數(shù)據(jù)表: 作出個點構(gòu)成的散點圖, 由圖可知,這些點在一條直線附近,可以用線性回歸模型來表示它們之間的關(guān)系. 根據(jù)公式(1)可得 這里的分別為的估 計值,因此線性回歸方程 為 由于年對應(yīng)的,代入線性回歸方程可得(百萬),即年的人口總數(shù)估計為13.23億. 例2. 某地區(qū)對本地的企業(yè)進(jìn)行了一次抽樣調(diào)查,下表是這次抽查中所得到的各企業(yè)的人均資本(萬元)與人均產(chǎn)出(萬元)的數(shù)據(jù): 人均 資本 /萬元 人均 產(chǎn)出 /萬元 (1)設(shè)與之間具有近似關(guān)系(為常數(shù)),試根據(jù)表中數(shù)據(jù)估計和的值; (2)估計企業(yè)人均資本為萬元時的人均產(chǎn)出(精確到). 分析:根據(jù),所具有的關(guān)系可知,此問題不是線性回歸問題,不能直接用線性回歸方程處理.但由對數(shù)運算的性質(zhì)可知,只要對的兩邊取對數(shù),就能將其轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系. 解(1)在的兩邊取常用對數(shù),可得,設(shè),,,則.相關(guān)數(shù)據(jù)計算如圖所示. 1 人均資本/萬元 3 4 5.5 6.5 7 8 9 10.5 11.5 14 2 人均產(chǎn)出/萬元 4.12 4.67 8.68 11.01 13.04 14.43 17.5 25.46 26.66 45.2 3 0.47712 0.60206 0.74036 0.81291 0.8451 0.90309 0.95424 1.02119 1.0607 1.14613 4 0.6149 0.66932 0.93852 1.04179 1.11528 1.15927 1.24304 1.40586 1.42586 1.65514 仿照問題情境可得,的估計值,分別為由可得,即,的估計值分別為和. (2)由(1)知.樣本數(shù)據(jù)及回歸曲線的圖形如圖(見書本 頁) 當(dāng)時,(萬元),故當(dāng)企業(yè)人均資本為萬元時,人均產(chǎn)值約為萬元. 2.練習(xí):練習(xí)第題. 五.回顧小結(jié): 1. 線性回歸模型與確定性函數(shù)相比,它表示與之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系(非確定性關(guān)系)其中的隨機(jī)誤差提供了選擇模型的準(zhǔn)則以及在模型合理的情況下探求最佳估計值,的工具; 2. 線性回歸方程中,的意義是:以為基數(shù),每增加1個單位,相應(yīng)地平均增加個單位; 3.求線性回歸方程的基本步驟. 六.課外作業(yè):第題.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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