2019屆高考數學一輪復習 第九章 統計、統計案例 課堂達標53 古典概型 文 新人教版.doc

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課堂達標(五十三) 古典概型 [A基礎鞏固練] 1．(2018蘭州模擬)將一顆骰子擲兩次，觀察出現的點數，并記第一次出現的點數為m，第二次出現的點數為n，向量p＝(m，n)，q＝(3,6)．則向量p與q共線的概率為(　　) A.　　 B.　　　　 C.　　　 D. [解析]　由題意可得：基本事件(m，n)(m，n＝1,2，…，6)的個數＝66＝36. 若p∥q，則6m－3n＝0，得到n＝2m.滿足此條件的共有(1,2)，(2,4)，(3,6)三個基本事件．因此向量p與q共線的概率為P＝＝. [答案]　D 2．從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　設2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1 12種情況，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2 4種情況，則發(fā)生的概率為P＝＝，故選A. [答案]　A 3．(2017課標Ⅱ)從分別寫有1,2,3,4,5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數大于第二張卡片上的數的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]如下表所示，表中的點橫坐標表示第一次取到的數，縱坐標表示第二次取到的數 1 2 3 4 5 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) 總計有25種情況，滿足條件的有10種所以所求概率為＝. [答案]　D 4．(2018哈爾濱模擬)設a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,8,12}，則函數f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[1,2]上有零點的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　D. [解析]　已知f′(x)＝3x2＋a>0， 所以f(x)在R上遞增，若f(x)在[1,2]上有零點， 則需經驗證有(1,2)，(1,4)，(1,8)，(2,4)，(2,8)，(2,12)，(3,4)，(3,8)，(3,12)，(4,8)，(4,12)，共11對滿足條件，而總的情況有16種，故所求概率為. [答案]　C 5．在平面直角坐標系xOy中，不等式組表示的平面區(qū)域為W，從W中隨機取點M(x，y)．若x∈Z，y∈Z，則點M位于第二象限的概率為(　　) A. B. C．1－ D．1－ [解析]　畫出平面區(qū)域，列出平面區(qū)域內的整數點如下： (－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共12個，其中位于第二象限的有(－1,1)，(－1,2)，共2個，所以所求概率P＝. [答案]　A 6．拋擲兩枚均勻的骰子，得到的點數分別為a，b，那么直線＋＝1的斜率k≥－的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　D. [解析]　記a，b的取值為數對(a，b)，由題意知a，b的所有可能取值有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(2,6)，(3,1)，(3,2)，…，(3,6)，(4,1)，(4,2)，…，(4,6)，(5,1)，(5,2)，…，(5,6)，(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36種．由直線＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么滿足題意的a，b可能的取值為(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9種，所以所求概率為＝. [答案]　D 7．將一顆骰子先后投擲兩次分別得到點數a，b，則直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點的概率為______． [解析]　依題意，將一顆骰子先后投擲兩次得到的點數所形成的數組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36種，其中滿足直線ax＋by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2有公共點，即滿足≤，a2≤b2的數組(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21種，因此所求的概率等于＝. [答案]　 8．投擲兩顆骰子，得到其向上的點數分別為m和n，則復數(m＋ni)(n－mi)為實數的概率為______． [解析]　因為(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其為實數，須n2－m2，即m＝n.由已知得，事件的總數為36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6個，所以所求概率為P＝＝. [答案]　 9．(2018宣武模擬)曲線C的方程為＋＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點數，事件A＝“方程＋＝1表示焦點在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝__________. [解析]　試驗中所含基本事件個數為36；若想表示橢圓，由m>n，有(2,1)，(3,1)，…(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況，因此P(A)＝＝. [答案]　 10．(2018太原模擬)某工廠對一批共50件的機器零件進行分類檢測，其重量(克)統計如下： 重量段 [80,85) [85,90) [90,95) [95,100] 件數 5 m 12 n 規(guī)定重量在82克及以下的為甲型，重量在85克及以上的為乙型，已知該批零件有甲型2件． (1)從該批零件中任選1件，若選出的零件重量在[95,100]內的概率為0.26，求m的值． (2)從重量在[80,85)的5件零件中，任選2件，求其中恰有1件為甲型的概率． [解]　(1)由題意可得n＝0.2650＝13， 則m＝50－5－12－13＝20. (2)設“從重量在[80,85)的5件零件中，任選2件，其中恰有1件為甲型”為事件A，記這5件零件分別為a，b，c，d，e，其中甲型為a，b. 從這5件零件中任選2件，所有可能的情況為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10種． 其中恰有1件為甲型的情況有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6種．所以P(A)＝＝. 即從重量在[80,85)的5件零件中，任選2件，其中恰有1件為甲型的概率為. [B能力提升練] 1．(2018太原二模)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點數分別為m，n，向量a＝(m，n)，與向量b＝(1,0)的夾角為α，則α∈的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　D. [解析]　法一：依題意，向量a＝(m，n)共有66＝36(個)，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈，即n＜m的(m，n)可根據n的具體取值進行分類計數：第一類，當n＝1時，m有5個不同的取值；第二類，當n＝2時，m有4個不同的取值；第三類，當n＝3時，m有3個不同的取值；第四類，當n＝4時，m有2個不同的取值；第五類，當n＝5時，m有1個取值， 因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個)，所以所求概率為＝. 法二：依題意可得向量a＝(m，n)共有66＝36(個)，其中滿足向量a＝(m，n) 與向量b＝(1,0)的夾角α∈，即n＜m的向量a＝(m，n)有＝15(個)，所以所求概率為＝. [答案]　B 2．(2018江南十校聯考)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定義映射f：M→N，則從中任取一個映射滿足自由點A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構成△ABC且AB＝BC的概率為(　　) A.　　 B. C.　　　 D. [解析]　∵集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}， ∴映射f：M→N有43＝64種， ∵由點A(1，f(1))，B(2，f(2))， C(3，f(3))構成△ABC且AB＝BC， ∴f(1)＝f(3)≠f(2)， ∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇， ∴從中任取一個映射滿足由點A(1，f(1))， B(2，f(2))，C(3，f(3))構成△ABC且AB＝BC的事件有43＝12種， ∴所求概率為＝. [答案]　C 3．某學校成立了數學、英語、音樂3個課外興趣小組，3個小組分別有39、32、33個成員，一些成員參加了不止一個小組，具體情況如圖所示．現隨機選取一個成員，他屬于至少2個小組的概率是____，他屬于不超過2個小組的概率是____． [解析]　“至少2個小組”包含“2個小組”和“3個小組”兩種情況，故他屬于至少2個小組的概率為P＝＝. “不超過2個小組”包含“1個小組”和“2個小組”，其對立事件是“3個小組”． 故他屬于不超過2個小組的概率是P＝1－＝. [答案]　； 4．現有7名數理化成績優(yōu)秀者，分別用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的數學成績優(yōu)秀，B1，B2的物理成績優(yōu)秀，C1，C2的化學成績優(yōu)秀．從中選出數學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名，組成一個小組代表學校參加競賽，則A1和B1不全被選中的概率為______． [解析]　從這7人中選出數學、物理、化學成績優(yōu)秀者各1名， 所以可能的結果組成的12個基本事件為：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)． 設“A1和B1不全被選中”為事件N， 則其對立事件表示“A1和B1全被選中”， 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}， 所以P()＝＝， 由對立事件概率計算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. [答案]　 5．一個均勻的正四面體的四個面上分別涂有1,2,3,4四個數字，現隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． [解析]　(1)因為是投擲兩次，因此基本事件(b，c)： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個． 當z＝4時，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)， 所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0， 即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0， 即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0， 即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0， 即4b＋c＝16，所以由①②③④知， (b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程為“漂亮方程”的概率為P＝. [C尖子生專練] (2018鄭州市第二次質量預測)最新高考改革方案已在上海和江蘇開始實施，某教育機構為了解我省廣大師生對新高考改革方案的看法，對某市部分學校500名師生進行調查，統計結果如下： 贊成改革 不贊成改革 無所謂 教師 120 y 40 學生 x z 130 在全體師生中隨機抽取1名“贊成改革”的人是學生的概率為0.3，且z＝2y. (1)現從全部500名師生中用分層抽樣的方法抽取50名進行問卷調查，則應抽取“不贊成改革”的教師和學生人數各是多少？ (2)在(1)中所抽取的“不贊成改革”的人中，隨機選出三人進行座談，求至少有一名教師被選出的概率． [解]　(1) 由題意知＝0.3，∴x＝150，所以y＋z＝60，因為z＝2y，所以y＝20，z＝40，則應抽取教師人數20＝2，應抽取學生人數40＝4. (2)所抽取的“不贊成改革”的2名教師記為a，b,4名學生記為1,2,3,4，隨機選出三人的不同選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20種， 至少有一名教師的選法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)共16種，至少有一名教師被選出的概率P＝＝.