2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用 教案.doc

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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 4-2-3 直線與圓的方程的應(yīng)用 教案 教學(xué)目標 1.知識與技能： （1）理解直線與圓的位置的種類，重點是利用直線和圓的位置關(guān)系解決實際問題； （2）利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關(guān)系，會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題； （3）會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，會用代數(shù)的方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系。 2.過程與方法：加深對數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解；增強應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。 從高考發(fā)展的趨勢看，高考越來越重視學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。因此，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到問題時，不要急于求成，而要根據(jù)問題提供的信息回憶所學(xué)知識，涉及到轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)用平面解析幾何的相關(guān)知識。 經(jīng)歷公理的推導(dǎo)過程，體驗由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。使學(xué)生初步學(xué)會把一些實際問題轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系的問題,關(guān)鍵是要使該問題是否滿足直線和圓的位置關(guān)系以及它們之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 3.情感態(tài)度價值觀： （1）空間教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解圓的特征，加強與實際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評價身邊的一些現(xiàn)象； （2）用有現(xiàn)實意義的實例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學(xué)生掌握“理論來源于實踐，并把理論應(yīng)用于實踐”的辨證思想 重點難點 1.教學(xué)重點：利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離； 2.教學(xué)難點：會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系，會用代數(shù)的方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系。 教學(xué)過程： 導(dǎo)入新課 如圖1,某城市中的高空觀覽車的高度是100 m, 圖1 在離觀覽車約150 m處有一建筑物,某人在離建筑物100 m的地方剛好可以看到觀覽車,你根據(jù)上述數(shù)據(jù),如何求出該建筑物的高度？要解決這個問題,我們繼續(xù)研究直線與圓的方程的應(yīng)用,教師板書課題:直線與圓的方程的應(yīng)用. 推進新課 新知探究 提出問題 ①你能說出直線與圓的位置關(guān)系嗎？ ②解決直線與圓的位置關(guān)系,你將采用什么方法？ ③閱讀并思考教科書上的例4,你將選擇什么方法解決例4的問題？ ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點嗎？ ⑤你能利用“坐標法”解決例5嗎？ 活動：學(xué)生回憶,教師引導(dǎo),教師提問,學(xué)生回答,學(xué)生之間可以相互交流討論,學(xué)生有困難教師點撥.教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解決問題的思路,要全面考慮,發(fā)散思維.①學(xué)生回顧學(xué)習(xí)的直線與圓的位置關(guān)系的種類；②解決直線與圓的位置關(guān)系,可以采取兩種方法；③首先考慮問題的實際意義,如果本題出在初中,我們沒有考慮的余地,只有幾何法,在這里當然可以考慮用坐標法,兩種方法比較可知哪個簡單；④回顧圓的定義可知確定一個圓的方程的條件；⑤利用“坐標法”解決問題的關(guān)鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?再利用代數(shù)與幾何元素的相互轉(zhuǎn)化得到結(jié)論. 討論結(jié)果：①直線與圓的位置關(guān)系有三類:相交、相切、相離. ②解決直線與圓的位置關(guān)系,將采用代數(shù)和幾何兩種方法,多數(shù)情況下采用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來解決. ③閱讀并思考教科書上的例4,先用代數(shù)方法及坐標法,再用幾何法,作一比較. ④你能分析一下確定一個圓的方程的要點,圓心坐標和半徑,有時關(guān)于D、E、F的三個獨立的條件也可. ⑤建立適當?shù)淖鴺讼?具體解法我們在例題中展開. 應(yīng)用示例 例1 講解課本4.2節(jié)例4,解法一見課本. 圖2 解法二：如圖2,過P2作P2H⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10. 在Rt△AOC中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2設(shè)拱圓所在的圓的半徑為r,則有r2=(r-4)2+102. 解得r=14.5. 在Rt△CP2H中,有|CP2|2=|CH|2+|P2H|2. 因為|P2H|=|OA2|=2,于是有|CH|2=r2-|OA2|2=14.52-4=206.25. 又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A2P2的長度約為3.86 cm. 點評：通過課本解法我們總結(jié)利用坐標法解決幾何問題的步驟是：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?用坐標和方程表示問題中的幾何元素,將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論. 把兩種解法比較可以看出坐標法通俗易懂,幾何法較難想,繁瑣,因此解題時要有所選擇. 變式訓(xùn)練 已知圓內(nèi)接四邊形的對角線互相垂直,求證：圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半. 圖3 解:如圖3,以四邊形ABCD互相垂直的對角線CA、DB所在直線分別為x軸、y軸,建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺? 系,設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d). 過四邊形ABCD的外接圓的圓心O1分別作AC、BD、AD的垂線,垂足分別為M、N、E, 則M、N、E分別為線段AC、BD、AD的中點,由線段的中點坐標公式,得 =xm=,=yn=,xE=,yE=. 所以|O1E|=. 又|BC|=,所以|O1E|=|BC|. 點評:用坐標法解決幾何問題時,先用坐標和方程表示相應(yīng)的幾何元素、點、直線、圓.將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,然后通過代數(shù)運算解決代數(shù)問題,最后解釋代數(shù)運算結(jié)果的幾何意義,得到幾何問題的結(jié)論. 例2 有一種大型商品,A、B兩地都有出售,且價格相同,某地居民從兩地之一購得商品后回運的運費是：每單位距離A地的運費是B地運費的3倍,已知A、B兩地相距10 km,居民選擇A或B地購買這種商品的標準是：包括運費和價格的總費用較低.求A、B兩地的售貨區(qū)域的分界線的曲線形狀,并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購貨地點. 活動：學(xué)生先審題,然后思考或討論,學(xué)生有困難教師可以提示引導(dǎo),建立適當?shù)淖鴺讼?這里以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系較簡單,假設(shè)一點距A地近,且費用低,列方程或不等式. 解:以AB所在直線為x軸,線段AB的中點為原點建立直角坐標系,則A(－5,0),B(5,0).設(shè)某地P的坐標為(x,y),且P地居民選擇A地購買商品的費用較低,并設(shè)A地的運費為3a元/km,則B地運費為a元/km.由于P地居民購買商品的總費用滿足條件：價格+A地運費≤價格+B地運費, 即3a≤a,整理得(x+)2+y2≤()2. 所以以點C(-,0)為圓心,為半徑的圓就是兩地居民購貨的分界線.圓內(nèi)的居民從A地購貨費用較低,圓外的居民從B地購貨費用較低,圓上的居民從A、B兩地購貨的總費用相等,因此可以隨意從A、B兩地之一購貨. 點評:在學(xué)習(xí)中要注意聯(lián)系實際,重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)、生活和相關(guān)學(xué)科中的應(yīng)用,解決有關(guān)實際問題時,關(guān)鍵要明確題意,掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法. 拓展提升 某種體育比賽的規(guī)則是:進攻隊員與防守隊員均在安全線l的垂線AC上(C為垂足),且距C分別為2a和a(a＞0)的點A和B,進攻隊員沿直線AD向安全線跑動,防守隊員沿直線方向向前攔截,設(shè)AD和BM交于M,若在M點,防守隊員比進攻隊員先到或同時到,則進攻隊員失敗,已知進攻隊員的速度是防守隊員速度的兩倍,且他們雙方速度不變,問進攻隊員的路線AD應(yīng)為什么方向才能取勝? 圖4 解:如圖4,以l為x軸,C為原點建立直角坐標系,設(shè)防守隊員速度為v,則進攻隊員速度為2v,設(shè)點M坐標為(x,y),進攻隊員與防守隊員跑到點M所需時間分別為t1=,t2=. 若t1＜t2,則|AM|＜2|BM|,即. 整理,得x2+(y-a)2＞(a)2,這說明點M應(yīng)在圓E:x2+(y-a)2=(a)2以外,進攻隊員方能取勝.設(shè)AN為圓E的切線,N為切點,在Rt△AEN中,容易求出∠EAN=30,所以進攻隊員的路線AD與AC所成角大于30即可. 反饋練習(xí)：課本P132，練習(xí)1，2。 歸納小結(jié)： （1）利用“坐標法”解決問題需要準備什么工作？ （2）如何建立直角坐標系，才能易于解決平面幾何問題？ （3）用“坐標法”解決幾何問題的關(guān)鍵是什么？ （4）建立不同的平面直角坐標系，對解決問題有什么直接的影響？ 作業(yè)：課本P132，練習(xí)3，4。