2019-2020年新人教a版高中數(shù)學(xué)(必修1)1.3《函數(shù)的基本性質(zhì)》教案2課時.doc
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課 題:函數(shù)的單調(diào)性2019-2020年新人教a版高中數(shù)學(xué)(必修1)1.3函數(shù)的基本性質(zhì)教案2課時【教學(xué)目標(biāo)】1使學(xué)生從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法2通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高學(xué)生的推理論證能力 3通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣,讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過程【教學(xué)重點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的概念、判斷及證明【教學(xué)難點(diǎn)】 歸納抽象函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性【教學(xué)方法】 教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí)【教學(xué)手段】 計算機(jī)、投影儀【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題課前布置任務(wù):(1) 由于某種原因,xx年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. (2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖,捕捉信息,啟發(fā)學(xué)生思考問題:觀察圖形,能得到什么信息?預(yù)案:(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時達(dá)到;(2)在某時刻的溫度;(3)某些時段溫度升高,某些時段溫度降低.在生活中,我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律,對我們的生活是很有幫助的問題:還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎?預(yù)案:水位高低、燃油價格、股票價格等歸納:用函數(shù)觀點(diǎn)看,其實就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小設(shè)計意圖由生活情境引入新課,激發(fā)興趣二、歸納探索,形成概念對于自變量變化時,函數(shù)值是變大還是變小,初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識,但是沒有嚴(yán)格的定義,今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1借助圖象,直觀感知問題1:分別作出函數(shù)的圖象,并且觀察自變量變化時,函數(shù)值有什么變化規(guī)律?預(yù)案:(1)函數(shù)在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而增大;函數(shù)在整個定義域內(nèi) y隨x的增大而減小(2)函數(shù)在上 y隨x的增大而增大,在上y隨x的增大而減小(3)函數(shù)在上 y隨x的增大而減小,在上y隨x的增大而減小引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述 (增函數(shù)、減函數(shù))同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì)問題2:能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?預(yù)案:如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù);如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y越來越小,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)教師指出:這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的,是對函數(shù)單調(diào)性的直觀,描述性的認(rèn)識設(shè)計意圖從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識2探究規(guī)律,理性認(rèn)識問題1:下圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置通過討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究設(shè)計意圖使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性問題2:如何從解析式的角度說明在為增函數(shù)?預(yù)案: (1) 在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為1222,所以在為增函數(shù)(2) 仿(1),取很多組驗證均滿足,所以在為增函數(shù)(3) 任取,因為,即,所以在為增函數(shù)對于學(xué)生錯誤的回答,引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉,從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量設(shè)計意圖把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識事實上也給出了證明單調(diào)性的方法,為證明單調(diào)性做好鋪墊.3抽象思維,形成概念問題:你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?師生共同探究,得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義,然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義(1)板書定義(2)鞏固概念判斷題:若函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)因為函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù),所以在上是減函數(shù).通過判斷題,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以是整個定義域(如一次函數(shù)),可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù)),也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù)思考:如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?設(shè)計意圖讓學(xué)生由特殊到一般,從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義,通過對判斷題的辨析,加深學(xué)生對定義的理解,完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法,適當(dāng)延展例 證明函數(shù)在上是增函數(shù)1分析解決問題 針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題,組織學(xué)生討論、交流證明:任取, 設(shè)元求差 變形,斷號即函數(shù)在上是增函數(shù) 定論2歸納解題步驟引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論練習(xí):證明函數(shù)在上是增函數(shù)問題:要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),除了用定義來證,如果可以證得對任意的,且有可以嗎?引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)設(shè)計意圖初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆四、歸納小結(jié),提高認(rèn)識學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲,交流學(xué)習(xí)過程中的體驗和感受,師生合作共同完成小結(jié)1小結(jié)(1) 概念探究過程:直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性(2) 證明方法和步驟:設(shè)元、作差、變形、斷號、定論(3) 數(shù)學(xué)思想方法和思維方法:數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化,類比等2作業(yè)書面作業(yè):課本第60頁 習(xí)題2.3 第4,5,6題課后探究:(1) 證明:函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的充要條件是對任意的,且有 (2) 研究函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖函數(shù)的單調(diào)性說課稿北京景山學(xué)校 許云堯一、 教學(xué)內(nèi)容的分析1教材的地位和作用首先,從單調(diào)性知識本身來講.學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)共分為三個階段,第一階段是在初中學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上對增減性有一個初步的感性認(rèn)識;第二階段是在高一進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義,從數(shù)和形兩個方面理解單調(diào)性的概念;第三階段則是在高三利用導(dǎo)數(shù)為工具研究函數(shù)的單調(diào)性.高一單調(diào)性的學(xué)習(xí),既是初中學(xué)習(xí)的延續(xù)和深化,又為高三的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)其次,從函數(shù)角度來講. 函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)概念后學(xué)習(xí)的第一個函數(shù)性質(zhì),也是第一個用數(shù)學(xué)符號語言來刻畫的概念.函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的奇偶性、周期性一樣,都是研究自變量變化時,函數(shù)值的變化規(guī)律;學(xué)生對于這些概念的認(rèn)識,都經(jīng)歷了直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義三個階段,即都從圖象觀察,以函數(shù)解析式為依據(jù),經(jīng)歷用符號語言刻畫圖形語言,用定量分析解釋定性結(jié)果的過程.因此,函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的其它性質(zhì)提供了方法依據(jù).最后,從學(xué)科角度來講.函數(shù)的單調(diào)性是學(xué)習(xí)不等式、極限、導(dǎo)數(shù)等其它數(shù)學(xué)知識的重要基礎(chǔ),是解決數(shù)學(xué)問題的常用工具,也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力和滲透數(shù)形結(jié)合思想的重要素材.2教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)對于函數(shù)的單調(diào)性,學(xué)生的認(rèn)知困難主要在兩個方面:首先,要求用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言去刻畫圖象的上升與下降,把對單調(diào)性直觀感性的認(rèn)識上升到理性的高度, 這種由形到數(shù)的翻譯,從直觀到抽象的轉(zhuǎn)變對高一的學(xué)生來說比較困難.其次,單調(diào)性的證明是學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中首次接觸到的代數(shù)論證內(nèi)容,而學(xué)生在代數(shù)方面的推理論證能力是比較薄弱的. 根據(jù)以上的分析和教學(xué)大綱對單調(diào)性的教學(xué)要求,本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念,判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性;難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生歸納并抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義以及根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性.二、 教學(xué)目標(biāo)的確定根據(jù)本課教材的特點(diǎn)、教學(xué)大綱對本節(jié)課的教學(xué)要求以及學(xué)生的認(rèn)知水平,我從三個方面確定了以下教學(xué)目標(biāo):1學(xué)生能從形與數(shù)兩方面理解函數(shù)單調(diào)性的概念,初步掌握利用函數(shù)圖象和單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法2通過對函數(shù)單調(diào)性定義的探究,滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法,培養(yǎng)觀察、歸納、抽象的能力和語言表達(dá)能力;通過對函數(shù)單調(diào)性的證明,提高推理論證能力 3通過知識的探究過程培養(yǎng)學(xué)生細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣;經(jīng)歷從具體到抽象,從特殊到一般,從感性到理性的認(rèn)知過程三、 教學(xué)方法的選擇1教學(xué)方法本節(jié)課是函數(shù)單調(diào)性的起始課,根據(jù)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生的認(rèn)知水平,主要采取教師啟發(fā)講授,學(xué)生探究學(xué)習(xí)的教學(xué)方法.教學(xué)過程中,根據(jù)教材提供的線索,安排適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境,讓學(xué)生展示相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維過程,使學(xué)生有機(jī)會經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念抽象的各個階段,引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立自主地開展思維活動,深入探究,從而創(chuàng)造性地解決問題,最終形成概念,獲得方法,培養(yǎng)能力.2教學(xué)手段 教學(xué)中使用了多媒體投影和計算機(jī)來輔助教學(xué)目的是充分發(fā)揮其快捷、生動、形象的特點(diǎn),為學(xué)生提供直觀感性的材料,有助于學(xué)生對問題的理解和認(rèn)識四、 教學(xué)過程的設(shè)計為達(dá)到本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),突出重點(diǎn),突破難點(diǎn),我把教學(xué)過程設(shè)計為四個階段:創(chuàng)設(shè)情境,引入課題;歸納探索,形成概念;掌握證法,適當(dāng)延展;歸納小結(jié),提高認(rèn)識.具體過程如下: (一)創(chuàng)設(shè)情境,引入課題概念的形成主要依靠對感性材料的抽象概括,只有學(xué)生對學(xué)習(xí)對象有了豐富具體經(jīng)驗以后,才能使學(xué)生對學(xué)習(xí)對象進(jìn)行主動的、充分的理解,因此在本階段的教學(xué)中,我從具體材料有關(guān)奧運(yùn)會天氣的例子出發(fā),而不是從抽象語言入手來引入函數(shù)的單調(diào)性.使學(xué)生體會到研究函數(shù)單調(diào)性的必要性,明確本課我們要研究和學(xué)習(xí)的課題,同時激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動探究的精神在課前,我給學(xué)生布置了兩個任務(wù):(1) 由于某種原因,xx年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日,請查閱資料說明做出這個決定的主要原因. 課上通過交流,可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因,北京的天氣到8月中旬,平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降,比較適宜大型國際體育賽事.(2) 通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上我引導(dǎo)學(xué)生觀察2006年8月8日的氣溫變化曲線圖,引導(dǎo)學(xué)生體會在某些時段溫度升高,某些時段溫度降低.然后,我指出生活中我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化,并讓學(xué)生舉出一些實際例子(如燃油價格等). 隨后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生歸納:所有這些數(shù)據(jù)的變化,用函數(shù)觀點(diǎn)看,其實就是隨著自變量的變化,函數(shù)值是變大還是變小 (二)歸納探索,形成概念在本階段的教學(xué)中,為使學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)概念的發(fā)生與發(fā)展過程和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,經(jīng)歷觀察、歸納、抽象的探究過程,加深對函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)的認(rèn)識,我設(shè)計了三個環(huán)節(jié),引導(dǎo)學(xué)生分別完成對單調(diào)性定義的三次認(rèn)識.1借助圖象,直觀感知本環(huán)節(jié)的教學(xué)主要是從學(xué)生的已有認(rèn)知出發(fā),即從學(xué)生熟悉的常見函數(shù)的圖象出發(fā),直觀感知函數(shù)的單調(diào)性,完成對函數(shù)單調(diào)性定義的第一次認(rèn)識.在本環(huán)節(jié)的教學(xué)中,我主要設(shè)計了兩個問題:問題1:分別作出函數(shù)的圖象,并且觀察自變量變化時,函數(shù)值有什么變化規(guī)律?在學(xué)生畫圖的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生觀察圖象,獲得信息:第一個圖象從左向右逐漸上升,y隨x的增大而增大;第二個圖象從左向右逐漸下降,y隨x的增大而減小.然后讓學(xué)生明確,對于自變量變化時,函數(shù)值具有這兩種變化規(guī)律的函數(shù),我們分別稱為增函數(shù)和減函數(shù).而后兩個函數(shù)圖象的上升與下降要分段說明,通過討論使學(xué)生明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,是函數(shù)的局部性質(zhì)對于概念教學(xué),若學(xué)生能用自己的語言來表述概念的相關(guān)屬性,則能更好的理解和掌握概念,因此我設(shè)計了問題2.問題2:能否根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?教學(xué)中,我引導(dǎo)學(xué)生用自己的語言描述增函數(shù)的定義:如果函數(shù)在某個區(qū)間上的圖象從左向右逐漸上升,或者如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大,y也越來越大,我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)然后讓學(xué)生類比描述減函數(shù)的定義.至此,學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性就有了一個直觀、描述性的認(rèn)識2探究規(guī)律,理性認(rèn)識在此環(huán)節(jié)中,我設(shè)計了兩個問題,通過對兩個問題的研究、交流、討論,將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式,使學(xué)生對單調(diào)性的認(rèn)識由感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識的高度,使學(xué)生完成對概念的第二次認(rèn)識問題1:右圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎?對于問題1,學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置通過討論,使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀,但有時不夠精確,需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究,使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性,從而將函數(shù)的單調(diào)性研究從研究函數(shù)圖象過渡到研究函數(shù)的解析式.問題2:如何從解析式的角度說明在上為增函數(shù)?在前邊的鋪墊下,問題2是形成單調(diào)性概念的關(guān)鍵.在教學(xué)中,我組織學(xué)生先分組探究,然后全班交流,相互補(bǔ)充,并及時對學(xué)生的發(fā)言進(jìn)行反饋,評價,對普遍出現(xiàn)的問題組織學(xué)生討論,在辨析中達(dá)成共識.對于問題2,學(xué)生錯誤的回答主要有兩種: (1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù),例如1和2,因為,所以在上為增函數(shù)(2)仿(1),取很多組驗證均滿足,所以在上為增函數(shù)對于這兩種錯誤,我鼓勵學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析.引導(dǎo)學(xué)生明確問題的根源是兩個自變量不可能被窮舉.在充分討論的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生從給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量,然后求差比較函數(shù)值的大小,從而得到正確的回答: 任意取,有,即,所以在為增函數(shù)這種回答既揭示了單調(diào)性的本質(zhì),也讓學(xué)生領(lǐng)悟到兩點(diǎn):(1)兩自變量的取值具有任意性;(2)求差比較它們函數(shù)值的大小.事實上,這種回答也給出了證明單調(diào)性的方法,為后續(xù)用定義證明其他函數(shù)的單調(diào)性做好鋪墊,降低難度.至此,學(xué)生對函數(shù)單調(diào)性有了理性的認(rèn)識.3抽象思維,形成概念本環(huán)節(jié)在前面研究的基礎(chǔ)上,引導(dǎo)學(xué)生歸納、抽象出函數(shù)單調(diào)性的定義,使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般,從具體到抽象的認(rèn)知過程,完成對概念的第三次認(rèn)識.教學(xué)中,我引導(dǎo)學(xué)生用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)符號語言歸納、抽象增函數(shù)的定義,并讓學(xué)生類比得到減函數(shù)的定義.然后我指導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真閱讀教材中有關(guān)單調(diào)性的概念,對定義中關(guān)鍵的地方進(jìn)行強(qiáng)調(diào).同時我設(shè)計了一組判斷題:判斷題:若函數(shù)滿足f(2)f(3),則函數(shù)在2,3上為增函數(shù).若函數(shù)在和(2,3)上均為增函數(shù),則函數(shù)在(1,3)上為增函數(shù)因為函數(shù)在上都是減函數(shù),所以在上是減函數(shù).通過對判斷題的討論,強(qiáng)調(diào)三點(diǎn):單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的,離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性有的函數(shù)在整個定義域內(nèi)單調(diào)(如一次函數(shù)),有的函數(shù)只在定義域內(nèi)的某些區(qū)間單調(diào)(如二次函數(shù)),有的函數(shù)根本沒有單調(diào)區(qū)間(如常函數(shù))函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增(或減)函數(shù),一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增(或減)函數(shù)從而加深學(xué)生對定義的理解,完成本階段的教學(xué).(三)掌握證法,適當(dāng)延展本階段的教學(xué)主要是通過對例題和練習(xí)的思考交流、分析講解以及反思小結(jié),使學(xué)生初步掌握根據(jù)單調(diào)性定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,同時引導(dǎo)學(xué)生探究定義的等價形式,對證明方法做適當(dāng)延展.例 證明函數(shù)在上是增函數(shù)在引入導(dǎo)數(shù)后,用定義證明單調(diào)性的作用已經(jīng)有所降低,我選擇一個較難的例子,主要是考慮讓學(xué)生對證明過程中遇到的問題有一個比較深刻的認(rèn)識.證明過程的教學(xué)分為三個環(huán)節(jié):難點(diǎn)突破、詳細(xì)板書、歸納步驟.1難點(diǎn)突破對于函數(shù)單調(diào)性的證明,由于前邊有對函數(shù)在上為增函數(shù)的研究作鋪墊, 大部分學(xué)生能完成取值和求差兩個步驟:證明:任取, ,因此學(xué)生的難點(diǎn)主要是兩個函數(shù)值求差后的變形方向以及變形的程度.問題主要集中在兩個方面:一方面部分學(xué)生不知道如何變形,不敢動筆;另一方面部分學(xué)生在變形不徹底,理由不充分的情形下就下結(jié)論.針對這兩方面的問題,教學(xué)中,我組織學(xué)生討論,引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)在上為增函數(shù)的說明過程,明確變形的主要思路是因式分解.然后我引導(dǎo)學(xué)生從已有的認(rèn)知出發(fā),考慮分組分解法,即把形式相同的項分在一起,變形后容易找到公因式,提取后即可考慮判斷符號.2詳細(xì)板書在上面分析的基礎(chǔ)上,我對證明過程進(jìn)行規(guī)范、完整的板書,引導(dǎo)學(xué)生注意證明過程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性,幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣.證明:任取, 設(shè)元 求差 變形.由得 斷號又由,得于是即.所以,函數(shù)在上是增函數(shù)定論3歸納步驟在板書的基礎(chǔ)上,我引導(dǎo)學(xué)生歸納利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟(設(shè)元,求差,變形,斷號,定論).通過對證明過程的分析,使學(xué)生明確每一步的必要性和目的,特別是第三步,讓學(xué)生明確變形的方法以及變形的程度,幫助學(xué)生掌握方法,提高學(xué)生的推理論證能力為了鞏固用定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法,強(qiáng)化解題步驟,形成并提高解題能力,我設(shè)計了課堂練習(xí):證明:函數(shù)在上是增函數(shù)教學(xué)過程中,我對學(xué)生的完成情況進(jìn)行及時評價和有針對性的指導(dǎo). 同時考慮到我校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好,思維較為活躍的特點(diǎn),為了加深學(xué)生對定義的理解,并對判斷單調(diào)性的方法做適當(dāng)延展,我設(shè)計了下面的問題.問題:除了用定義外,如果證得對任意的,且,有,能斷定函數(shù)在上是增函數(shù)嗎?教學(xué)過程中,我引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性然后,讓學(xué)生嘗試用這種定義等價形式證明之前的課堂練習(xí).這種方法進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法,為今后用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆(四)歸納小結(jié),提高認(rèn)識本階段通過學(xué)習(xí)小結(jié)進(jìn)行課堂教學(xué)的反饋,組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識、技能、方法的一般規(guī)律,深化對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識,為后續(xù)學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)1學(xué)習(xí)小結(jié)在知識層面上,引導(dǎo)學(xué)生回顧函數(shù)單調(diào)性定義的探究過程,使學(xué)生對單調(diào)性概念的發(fā)生與發(fā)展過程有清晰的認(rèn)識,體會到數(shù)學(xué)概念形成的主要三個階段:直觀感受、文字描述和嚴(yán)格定義.在方法層面上,首先引導(dǎo)學(xué)生回顧判斷,證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟;然后引導(dǎo)學(xué)生回顧知識探究過程中用到的思想方法和思維方法,如數(shù)形結(jié)合,等價轉(zhuǎn)化,類比等,重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)用符號語言來刻畫圖形語言,用定量分析來解釋定性結(jié)果;同時對學(xué)習(xí)過程作必要的反思,為后續(xù)的學(xué)習(xí)做好鋪墊.2布置作業(yè)在布置書面作業(yè)的同時,為了尊重學(xué)生的個體差異,滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需要,我設(shè)計了探究作業(yè)供學(xué)有余力的同學(xué)課后完成.(1) 證明:函數(shù)在上是增函數(shù)的充要條件是對任意的,且有目的是加深學(xué)生對定義的理解,而且這種方法進(jìn)一步發(fā)展同樣也可以得到導(dǎo)數(shù)法 (2) 研究函數(shù)的單調(diào)性,并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖目的是使學(xué)生體會到利用函數(shù)的單調(diào)性可以簡化函數(shù)圖象的繪制過程,體會由數(shù)到形的研究方法和引入單調(diào)性定義的必要性,加深對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識1.3.2函數(shù)的奇偶性(第一課時)課前預(yù)習(xí)【知識情景】“對稱”是大自然固有的、天然的一種美,也是人類在創(chuàng)造和諧社會中積極打造的一種美,這種“對稱美”在數(shù)學(xué)中有大量的存在,這就奠定了本節(jié)所要學(xué)習(xí)的“函數(shù)的奇偶性”的基礎(chǔ)。請同學(xué)們閱讀教材,然后完成下面的任務(wù).【知識梳理】1. 奇偶函數(shù)的定義:一般地,對于函數(shù)的定義域內(nèi)的任意一個,都有,那么就叫做偶函數(shù)對于函數(shù)的定義域的任意一個,都有,那么就叫做奇函數(shù)思考:判斷函數(shù)的奇偶性解析:函數(shù)是非奇非偶函數(shù),因為它的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱溫馨提示:定義中的“定義域內(nèi)的任意一個”說明:函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì),而非同單調(diào)性的區(qū)間性質(zhì);定義中的“都有”說明:函數(shù)具有奇偶性必須首先滿足一個先決條件,即對于定義域內(nèi)的任意一個,也一定是定義域內(nèi)的一個自變量(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類:奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù),其中,函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性等式的等價形式:; .據(jù)此,可把邏輯推理轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算.2. 奇偶函數(shù)的圖象特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱思考:函數(shù)yf(x)(x2,2)的圖象如圖所示,則f(x)f(x) .解析:由圖象可知f(x)為定義域上的奇函數(shù)f(x)f(x)f(x)f(x)0.溫馨提示:若一個函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱,則此函數(shù)是偶函數(shù);若關(guān)于原點(diǎn)對稱,則為奇函數(shù).3. 奇偶性性質(zhì):設(shè),的定義域分別是,那么在它們的公共定義域(非空)上:奇+奇=奇,奇奇=偶,偶+偶=偶,偶偶=偶,奇偶=奇已知函數(shù)是奇函數(shù),且有定義,則.課堂互動【疑難導(dǎo)析】1函數(shù)的奇偶性的判定例1判斷下列函數(shù)的奇偶性 (1); (2)思路分析:根據(jù)定義,先驗證函數(shù)定義域的對稱性,再考察解:(1)函數(shù)的定義域為,所以解析式可以化簡為,因為所以,函數(shù)在上為奇函數(shù)。(2)當(dāng)0時,0,于是;當(dāng)0時,0,于是綜上可知,在R*上是奇函數(shù)規(guī)律總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱;確定;作出相應(yīng)結(jié)論.誤區(qū)警示:第(1)題中,若忽略定義域的求解,就不能有效化簡函數(shù)式,會錯誤的認(rèn)為函數(shù)不具備奇偶性;第(2)題中,往往忽略或不能準(zhǔn)確討論自變量的取值范圍。2函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)例2.辨析正誤(1) 兩個奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù);兩個偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)。(2) 已知函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),方程=0有實根,那么方程=0的所有實根之和為零。思路分析:函數(shù)的一般性性質(zhì)辨析題可從反例、特例入手解決。解:(1)錯誤。一方面,如果這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集,那么它們的和或差沒有定義;另一方面,兩個奇函數(shù)或偶函數(shù)的差可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù),如,,可以看出函數(shù)都是定義域上的奇函數(shù),它們的差只在區(qū)間1,1上有定義且,而在此區(qū)間上函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。(2)正確。方程=0的實數(shù)根即為函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),由奇偶性的定義可知:若,則。誤區(qū)警示:在處理奇、偶函數(shù)的和差積商的屬性時,易忽略定義域的判定,導(dǎo)致錯誤解答與應(yīng)用.3利用函數(shù)的奇偶性求解析式中的參數(shù)例3.設(shè)函數(shù)為奇函數(shù),則實數(shù)_。思路分析:借助奇偶性的定義,利用對應(yīng)相等可以準(zhǔn)確解決問題.解1:,即,.解2:,即,經(jīng)驗證適合題意.解3:,經(jīng)驗證適合題意.規(guī)律總結(jié):利用函數(shù)奇偶性求解析式中的參數(shù)的思路:定義法;準(zhǔn)確但不快捷;特值法:快捷但不準(zhǔn)確,必須加以驗證.【學(xué)以致用】11. 判斷下列函數(shù)的奇偶性;答案:即奇又偶函數(shù),偶函數(shù),奇函數(shù),奇函數(shù),非奇非偶函數(shù)12.如果定義在區(qū)間上的函數(shù)為奇函數(shù),則=_答案:=813.若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),則函數(shù)的圖象關(guān)于( )(A)軸對稱 (B)軸對稱 (C)原點(diǎn)對稱 (D)以上均不對答案:B14. 若f(x)為R上的奇函數(shù),給出下列四個說法:f(x)f(x)0 ;f(x)f(x)2f(x);f(x)f(x)0)內(nèi),函數(shù)、均為奇函數(shù),則為( A )(A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù) (C)非奇非偶函數(shù) (D)無法判斷奇偶性4. 以下四個函數(shù):(1);(2);(3);25xy0(4),其中奇函數(shù)是(1) ,偶函數(shù)是(3) ,非奇非偶函數(shù)是(4) ,即奇又偶函數(shù)是(2).5. 函數(shù)在5,5上為奇函數(shù),其在0,5上的圖象如圖所示,則使0的x的取值范圍為6. 函數(shù)在實數(shù)集上是奇函數(shù),則a= 0 .7.已知是定義在R上的函數(shù),設(shè),試判斷的奇偶性;試判斷的關(guān)系;由此你能猜想得出什么樣的結(jié)論,并說明理由解析:利用奇偶性的定義可得:分別為偶函數(shù)與奇函數(shù);定義在R上任何一個函數(shù)均可分解為一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和的形式.B組1. 函數(shù)f(x)的圖象是兩條直線的一部分(如圖所示),其定義域為1,0)(0,1,則不等式f(x)f(x)1的解集是(D)(A)x|1x1且x0(B)x|1x0(C)x|1x0或x1(D)x|1x或0x12.已知對任意實數(shù)都成立,則函數(shù)是( A )(A)奇函數(shù) (B)偶函數(shù) (C)可以是奇函數(shù)也可以是偶函數(shù) (D)不能判定奇偶性解析:顯然的定義域是,它關(guān)于原點(diǎn)對稱在中,令,得,令,得,即, 是奇函數(shù)3.設(shè)函數(shù)與的定義域是,函數(shù)是一個偶函數(shù),是一個奇函數(shù),且,則等于( A )(A) (B) (C) (D)4.若函數(shù)f(x)(xa)(bx2a)(常數(shù)a、bR)是偶函數(shù),且它的值域為(,4,則該函數(shù)的解析式f(x)_.解析:由于f(x)的定義域為R,值域為(,4,可知b0,f(x)為二次函數(shù),f(x)(xa)(bx2a)bx2(2aab)x2a2.f(x)為偶函數(shù),其對稱軸為x0,0,2aab0,a0或b2.若a0,則f(x)bx2與值域是(,4矛盾,a0,若b2,又其最大值為4,4,2a24,f(x)2x24.5.定義在上的奇函數(shù)在整個定義域上是減函數(shù),若,求實數(shù)的取值范圍。解析:,因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,又因為函數(shù)在上是減函數(shù),所以,解之得a無解.教學(xué)參考【教學(xué)定位】函數(shù)奇偶性是用代數(shù)方法研究函數(shù)圖象整體對稱性,是學(xué)生在學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和單調(diào)性的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的又一個重要性質(zhì),所以對本節(jié)課的理解與掌握對鞏固前面學(xué)習(xí)的知識,以及為后面進(jìn)一步學(xué)好指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容都具有十分重要的意義。【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn):函數(shù)的奇偶性的定義及其判定;難點(diǎn):對函數(shù)奇偶性定義的建構(gòu)與理解。【教學(xué)理念】教師應(yīng)根據(jù)高一學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和特點(diǎn),按照“由具體到抽象”和“抓聯(lián)系、促遷移”的原則進(jìn)行教學(xué),使學(xué)生體驗類比思想、數(shù)形結(jié)合思想在認(rèn)識函數(shù)中的作用,提高觀察、分析、抽象和概括等方面的能力,具體來講就是要經(jīng)歷概念教學(xué)的四個階段:第一階段:感性認(rèn)識階段,即通過分析問題情景中的生活實例與數(shù)學(xué)實例等素材,分解內(nèi)含屬性,找出共同屬性;第二階段:分化本質(zhì)屬性階段,即舍棄非本質(zhì)屬性,從共同屬性中抽象出結(jié)構(gòu)上的本質(zhì)屬性,遷移到研究函數(shù)圖象的對稱性問題中;第三階段:概括形成定義階段:即通過“圖像語言自然語言數(shù)學(xué)語言符號語言”的遷移,刻畫函數(shù)奇偶性的特征,得到定義;第四階段:應(yīng)用于強(qiáng)化階段,即通過例習(xí)題的教與學(xué)說明如何用定義進(jìn)行判定和證明函數(shù)的奇偶性,并挖掘要注意的問題,從而感悟概念的內(nèi)涵與外延。- 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- 函數(shù)的基本性質(zhì) 2019 2020 新人 高中數(shù)學(xué) 必修 1.3 函數(shù) 基本 性質(zhì) 教案 課時
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