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高考解答題專項(xiàng)練——三角綜合
1.設(shè)函數(shù)f(x)=2cos x(cos x+3sin x)(x∈R).
(1)求函數(shù)y=f(x)的周期和單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈0,π2時(shí),求函數(shù)f(x)的最大值.
解(1)∵f(x)=2cosx(cosx+3sinx)=2sin2x+π6+1,
∴2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),
∴kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z),
∴函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π3,kπ+π6(k∈Z).
(2)∵x∈0,π2,∴2x+π6∈π6,7π6,
∴sin2x+π6∈-12,1,
∴f(x)=2sin2x+π6+1的最大值是3.
2.已知函數(shù)f(x)=2sin 2π4-x-3cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若f(x)
-1-3.
3.已知f(x)=sin 2x-23sin2x+23.
(1)當(dāng)x∈-π3,π6時(shí),求f(x)的取值范圍;
(2)已知銳角三角形ABC滿足f(A)=3,且sin B=35,b=2,求三角形ABC的面積.
分析(1)由兩角和的正弦公式、二倍角余弦公式變形化簡解析式,由x的范圍求出“2x+π3”的范圍,由正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f(x)的取值范圍.
(2)由(1)和條件化簡f(A),由銳角三角形的條件和特殊角的三角函數(shù)值求出A,由條件和正弦定理求出a,由誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式求出sinC,代入三角形的面積公式求出三角形ABC的面積.
解(1)f(x)=sin2x-23sin2x+23
=sin2x-3(1-cos2x)+23=sin2x+3cos2x+3
=2sin2x+π3+3,
由x∈-π3,π6,得2x+π3∈-π3,2π3,
則sin2x+π3∈-32,1,
所以2sin2x+π3+3∈0,2+3,
即f(x)的取值范圍是[0,2+3].
(2)由(1)得f(A)=2sin2A+π3+3=3,
則sin2A+π3=0,因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,所以A=π3,
因?yàn)閟inB=35,b=2,所以由正弦定理得
a=bsinAsinB=23235=53,
因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形,sinB=35,
所以cosB=1-sin2B=45,
所以sinC=sin(A+B)=sinπ3cosB+cosπ3sinB
=3245+1235=43+310,
所以三角形ABC的面積S=12absinC
=1253243+310=6+323.
4.(2018浙江杭州二中高考仿真)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知2ccos B=2a-b,
(1)求∠C的大小;
(2)若CA-12CB=2,求△ABC面積的最大值.
解(1)∵2bcosC=2a-3c,
∴2sinCcosB=2sinA-sinB.
∴2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB.
∴2sinBcosC=sinB.
∴cosC=12.∴C=π3.
(2)取BC的中點(diǎn)D,則CA-12CB=2=|DA|,在△ADC中,AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC注:也可將CA-12CB=2=|DA|兩邊平方,即4=b2+a22-ab2≥2a2b24-ab2=ab2,所以ab≤8,當(dāng)且僅當(dāng)a=4,b=2時(shí)取等號(hào).此時(shí)S△ABC=12absinC=34ab,其最大值為23.
5.(2018浙江教育綠色評價(jià)聯(lián)盟5月模擬)已知函數(shù)f(x)=sin x(cos x+3sin x).
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)=t在區(qū)間0,π2上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解(1)因?yàn)閒(x)=12sin2x+32(1-cos2x)=sin2x-π3+32,
所以f(x)的最小正周期為T=2π2=π.
(2)因?yàn)閤∈0,π2,所以2x-π3∈-π3,2π3.
因?yàn)閥=sinZ在區(qū)間-π3,π2上是增函數(shù),在區(qū)間π2,2π3上是減函數(shù),
所以f(x)在區(qū)間0,π3上是增函數(shù),在區(qū)間π3,π2上是減函數(shù).又因?yàn)閒(0)=0,fπ3=1+32,fπ2=3,
關(guān)于x的方程f(x)=t在區(qū)間0,π2上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,等價(jià)于函數(shù)y=f(x)與y=t的圖象在區(qū)間0,π2上有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
所以要使得關(guān)于x的方程f(x)=t在區(qū)間0,π2上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,只需滿足3≤t<1+32.
6.(2018浙江寧波5月模擬)已知函數(shù)f(x)=4cos xsinx-π6-1.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若滿足f(B)=0,a=2,且D是BC的中點(diǎn),P是直線AB上的動(dòng)點(diǎn),求|CP|+|PD|的最小值.
解(1)f(x)=4cosx32sinx-12cosx-1=3sin2x-cos2x-2=2sin2x-π6-2,由于-π2+2kπ<2x-π6<π2+2kπ,k∈Z,所以kπ-π6
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