(江蘇專用)2019高考數學二輪復習 第二篇 第22練 直線與圓的綜合問題試題 理.docx
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第22練直線與圓的綜合問題明晰考情1.命題角度:求直線方程或圓的方程,直線、圓的位置關系.2.題目難度:圓的方程要求較高,試題難度中檔或偏上.考點一直線與圓、圓與圓的位置關系方法技巧當直線和圓相切時,求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑,求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形;與圓相交時,弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.1.(2018常熟月考)已知圓C經過A(2,1),B(5,0)兩點,且圓心C在直線y2x上.(1)求圓C的方程;(2)動直線l: (m2)x(2m1)y7m80過定點M,斜率為1的直線m過點M,直線m和圓C相交于P, Q兩點,求PQ的長度.解(1)設圓C的方程為x2y2DxEyF0,則解得D4, E8, F5,圓C的方程為x2y24x8y50.(2)動直線l的方程為(x2y7)m2xy80,則解得動直線l過定點M,直線m: yx1,圓心C到m的距離為,PQ的長為2.2.(2018江蘇省揚州中學模擬)已知圓M的方程為x221,直線l的方程為x2y0,點P在直線l上,過P點作圓M的切線PA,PB,切點為A,B.(1)若APB60,試求點P的坐標;(2)若P點的坐標為,過P作直線與圓M交于C,D兩點,當CD時,求直線CD的方程.解(1)設P(2m,m),由條件可知MP2,所以(2m)2(m2)24,解得m0, m,故所求點P的坐標為(0,0)或.(2)由題意知直線CD的斜率存在,設斜率為k,則直線CD的方程為y1k(x2),由題意知圓心M到直線CD的距離為,所以,解得k1或.故所求直線CD的方程為xy30或x7y90.3.(2018泰州市姜堰區(qū)質檢)已知圓C:(x4)2(y1)24,直線l:2mx(3m1)y20.(1)求證:直線l過定點;(2)求直線l被圓C所截得的弦長最短時m的值;(3)已知點M(4,5),在直線MC上(C為圓心)存在定點N(異于點M)滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數,試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數.(1)證明依題意得,m(2x3y)(2y)0.令2x3y0且2y0,得x3,y2,直線l過定點A(3,2).(2)解當ACl時,所截得弦長最短,由題意知C(4,1),r2,kAC1,得kl1,由1,得m1.(3)解由題意知,直線MC的方程為x4,假設存在定點N(4,t)滿足題意,則設P(x,y),得PM22PN2 (0),且(x4)24(y1)2, 4(y1)2(y5)2422(y1)22(yt)2,整理得(22t)28y(3t2)2280.上式對任意y1,3恒成立, (22t)280且(3t2)2280,即得t27t100 ,t2,t5(舍去,與M重合),24,2.綜上可知,在直線MC上存在定點N(4,2),使得為常數2.4.已知圓M:2x22y24y23,直線l0:xy8,l0上一點A的橫坐標為a,過點A作圓M的兩條切線l1,l2,切點分別為B,C,D為線段BC的中點.(1)當a0時,求直線l1,l2的方程;(2)當直線l1,l2互相垂直時,求a的值;(3)是否存在點A,使得BC長為?若存在,求出點A的坐標,若不存在,請說明理由.解(1)圓M:x2(y1)2,圓心為M(0,1),半徑為,A(0,8),設切線的方程為ykx8,圓心距d.k,所求直線l1,l2的方程為x5y400或x5y400.(2)當l1l2時,四邊形MCAB為正方形,AMMB5.A(a,8a),M(0,1),則5,即a27a120,a3或a4.(3)若BC,則BD,MB,MD,又MB2MDMA,MA.圓心M到直線l0的距離為,點A不存在.考點二直線與圓的綜合方法技巧解決直線與圓的綜合問題,往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化.數形結合、分類討論、函數與方程的思想在解決圓的有關問題時經常運用.5.已知圓C:x2y22x4y40.(1)直線l1過點P(2,0),被圓C截得的弦長為4,求直線l1的方程;(2)直線l2的斜率為1,且l2被圓C截得的弦為AB,若以AB為直徑的圓過原點,求直線l2的方程.解圓C:(x1)2(y2)29,圓心為C(1,2) ,半徑為3,(1)直線l1過點P(2,0),當直線斜率不存在時,l1:x2,此時l1被圓C截得的弦長為4,l1:x2;當直線斜率存在時,可設l1的方程為yk(x2) 即kxy2k0,由l1被圓C截得的弦長為4,則圓心C到l1的距離為1,1,解得k,l1的方程為y(x2),即3x4y60,綜上可知,l1的方程為x2或3x4y60.(2)設直線l2的方程為yxb,代入圓C的方程得x2(xb)22x4(xb)40.即2x2(2b2)xb24b40.(*)以AB為直徑的圓過原點O,則OAOB.設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1x2y1y20,即x1x2(x1b)(x2b)0,2x1x2b(x1x2)b20,x1,2.x1x2b1,x1x2,b24b4b(b1)b20,即b23b40,b4或b1.將b4或b1代入(*)式,對應的0.故直線l2:xy40或xy10. 6.如圖,在平面直角坐標系xOy中,平行于x軸且過點A(3,2)的入射光線l1被直線l:yx反射.反射光線l2交y軸于B點,圓C過點A且與l1,l2都相切.(1)求l2所在直線的方程和圓C的方程;(2)設P,Q分別是直線l和圓C上的動點,求PBPQ的最小值及此時點P的坐標.解(1)直線l1:y2,設l1交l于點D,則D(2,2),l的傾斜角為30,l2的傾斜角為60,k2.反射光線l2所在直線的方程為y2(x2),即xy40.已知圓C與l1切于點A,設C(a,b),圓心C在過點D且與l垂直的直線上,ba8.又圓心C在過點A且與l1垂直的直線上,a3,由得圓C的半徑r3,故所求圓C的方程為(x3)2(y1)29.(2)設點B(0,4)關于l的對稱點為B(x0,y0),則,且,得B(2,2),固定點Q可發(fā)現(xiàn),當B,P,Q三點共線時,PBPQ最小,故PBPQ的最小值為BC3,設P(x,y),由解得P.PBPQ的最小值為BC323.7.已知圓M:x2(y2)21,設點B,C是直線l:x2y0上的兩點,它們的橫坐標分別是t,t4(tR),點P在線段BC上,過P點作圓M的切線PA,切點為A.(1)若t0,MP,求直線PA的方程;(2)經過A,P,M三點的圓的圓心是D,求線段DO長的最小值L(t).解(1)設P(2a,a)(0a2).M(0,2),MP,.解得a1或a(舍去).P(2,1).由題意知切線PA的斜率存在,設斜率為k.直線PA的方程為y1k(x2),即kxy2k10.直線PA與圓M相切,1,解得k0或k.直線PA的方程為y1或4x3y110.(2)設P(2a,a)(t2at4).PA與圓M相切于點A,PAMA.經過A,P,M三點的圓的圓心D是線段MP的中點.M(0,2),點D的坐標是.設DO2f(a),f(a)a22a2a12.當,即t時,f(a)minft21;當2,即t時,f(a)minf;當2,即t時,f(a)minf21t23t8,綜上所述,L(t)8.(2018江蘇太倉市明德高級中學月考)已知O:x2y21和點M(4,m).過O作M的兩條切線,切點分別為A,B且直線AB的方程為4x2y110.(1)求M的方程;(2)設P為M上任一點,過點P向O引切線,切點為Q, 試探究:平面內是否存在一定點R,使得為定值?若存在,請舉出一例,并指出相應的定值;若不存在,請說明理由.解(1)以OM為直徑的圓為xy0,設圓M的半徑為R,故M的方程為22R2,直線AB的方程為4xmy16m2R20,解得R3,故M的方程為229.(2)假設存在這樣的點R,點P的坐標為,相應的定值為(0),根據題意可得PQ,即x2y212,(*)又點P為M上一點,229,即x2y28x4y11,代入(*)式得8x4y122,若系數對應相等,則等式恒成立,解得a2,b1,或a,b,可以找到這樣的定點R,使得為定值.如點R的坐標為時,比值為;點R的坐標為時,比值為.例(14分)如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知點A(3,4),B(9,0),C,D分別為線段OA,OB上的動點,且滿足ACBD.(1)若AC4,求直線CD的方程;(2)證明:OCD的外接圓恒過定點(異于原點O).審題路線圖(1)(2)規(guī)范解答評分標準(1)解因為A(3,4),所以OA5.1分又因為AC4,所以OC1,所以C.3分由BD4,得D(5,0),4分所以直線CD的斜率k,5分所以直線CD的方程為y(x5),即x7y50.6分(2)證明設C(3m,4m)(0m1),則OC5m.7分所以ACOAOC55m.因為ACBD,所以ODOBBD5m4,所以點D的坐標為(5m4,0).8分又設OCD的外接圓的方程為x2y2DxEyF0,則有10分解得D(5m4),F(xiàn)0,E10m3,所以OCD的外接圓的方程為x2y2(5m4)x(10m3)y0,12分整理得x2y24x3y5m(x2y)0.令所以(舍去)或所以OCD的外接圓恒過定點(2,1).14分構建答題模板第一步設直線方程:關鍵是求出直線斜率,通過線段長構建方程求斜率.第二步求圓的方程:根據題意設出圓的一般式,求出圓的一般方程.第三步整理圓的方程:利用等式恒成立的思想求出定點坐標.1.已知圓C:(x3)2(y4)24,直線l1過定點A(1,0).(1)若l1與圓相切,求l1的方程;(2)若l1與圓相交于P,Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x2y20的交點為N,判斷AMAN是否為定值,若是,則求出定值;若不是,請說明理由.解(1)若直線l1的斜率不存在,即直線是x1,符合題意,若直線l1的斜率存在,設直線l1為yk(x1),即kxyk0.由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2,即2,解得k,所求直線方程是x1,3x4y30.(2)直線與圓相交,斜率必定存在,且斜率為正數,可設直線方程為kxyk0,由得N.又直線CM與l1垂直,由得M,AMAN6為定值.故AMAN是定值,且定值為6.2.在平面直角坐標系中,已知圓C:x2(y4)24,有一動點P在直線x2y0上運動,過點P作圓C的切線PA,PB,切點分別為A,B.(1)求切線長PA的最小值;(2)試問:當點P運動時,弦AB所在的直線是否恒過定點?若是,求出該定點的坐標;若不是,請說明理由.解(1)因為PA是圓C的一條切線,所以CAP90,在RtCAP中,PA.因為PC的最小值為圓心C到直線x2y0的距離d,且d,所以切線長PA的最小值(PA)min.(2)設P(2b,b),易知經過A,P,C三點的圓E以CP為直徑,圓E的方程為x(x2b)(y4)(yb)0,即x2y22bx(b4)y4b0,又圓C:x2(y4)24,即x2y28y120,得圓E與圓C的相交弦AB所在直線的方程為2bx(b4)y124b0,即(2xy4)b4y120.由解得所以弦AB所在的直線恒過定點.3.(2018鹽城調研)如圖,在平面直角坐標系xOy中,圓O:x2y24與x軸的正半軸交于點A,以點A為圓心的圓A:(x2)2y2r2(r0)與圓O交于B,C兩點.(1)當r時,求BC的長;(2)當r變化時,求的最小值;(3)過點P(6,0)的直線l與圓A切于點D,與圓O分別交于點E,F(xiàn),若點E是DF的中點,試求直線l的方程.解(1)當r時,由得B,C,BC.(2)由對稱性,設B(x0,y0),C(x0,y0),則xy4,所以(x02)2y(x02)2(4x) 2(x01)22.因為2x02,所以當x01時,的最小值為2.(3)取EF的中點G,連結OG,AD,OF,則ADOG,則,從而OGr,不妨記DE2EG2GF2t,PD6t.在RtOFG中,OF2OG2FG2,即222t2,在RtADP中,AP2AD2DP2,即42r2(6t)2,由解得r.由題意可知直線l的斜率存在,可設直線l的方程為yk(x6) ,由點A到直線l的距離等于r,得,所以k,從而直線l的方程為x3y60.4.如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2y212x14y600及其上一點A(2,4).(1)設圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x6上,求圓N的標準方程;(2)設平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點,且BCOA,求直線l的方程;(3)設點T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點P和Q,使得,求實數t的取值范圍.解(1)圓M的標準方程為(x6)2(y7)225,所以圓心M(6,7),半徑為5.由圓心N在直線x6上,可設N(6,y0).因為圓N與x軸相切,與圓M外切,所以0y07,于是圓N的半徑為y0,從而7y05y0,解得y01.因此,圓N的標準方程為(x6)2(y1)21.(2)因為直線lOA,所以直線l的斜率為2.設直線l的方程為y2xm,即2xym0,則圓心M到直線l的距離d.因為BCOA2,而MC2d22,所以255,解得m5或m15.故直線l的方程為2xy50或2xy150.(3)設P(x1,y1),Q(x2,y2).因為A(2,4),T(t,0),所以因為點Q在圓M上,所以(x26)2(y27)225.將代入,得(x1t4)2(y13)225.于是點P(x1,y1)既在圓M上,又在圓x(t4)2(y3)225上,從而圓(x6)2(y7)225與圓x(t4)2(y3)225有公共點,所以5555,解得22t22.因此,實數t的取值范圍是22,22.- 配套講稿:
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