中考數(shù)學 第十單元 相似形 第32課時 相似形復習課件.ppt

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第十單元相似形 第32課時相似形 1 如圖32 1 已知直線a b c 直線m n與a b c分別交于點A C E B D F AC 4 CE 6 BD 3 則BF A 7B 7 5C 8D 8 5 小題熱身 圖32 1 B 2 2014 南京 若 ABC A B C 相似比為1 2 則 ABC與 A B C 的面積的比為 A 1 2B 2 1C 1 4D 4 1 C 3 如圖32 2 邊長為4的等邊 ABC中 DE為中位線 則四邊形BCED的面積為 圖32 2 B 4 如圖32 3 梯形ABCD中AD BC 對角線AC BD相交于點O 若AO CO 2 3 AD 4 則BC等于 A 12B 8C 7D 6 D 圖32 3 一 必知6知識點1 相似圖形相似圖形 形狀相同的圖形稱為相似圖形 相似多邊形 對應角 對應邊 的兩個多邊形叫做相似多邊形 相似多邊形對應邊的比叫做 相似三角形 對應角 對應邊 的三角形叫做相似三角形 相似三角形對應邊的比叫 通常用字母k表示 全等三角形是相似比為 的特殊的相似三角形 考點管理 相等 成比例 相似比 1 相等 成比例 相似比 黃金分割 如果點P把線段AB分成兩條線段AP和PB 使AP PB 且 那么稱線段AB被點P黃金分割 點P叫做線段AB的黃金分割點 所分成的較長一條線段AP與整條線段AB的比叫做黃金比 黃金比為 一條線段的黃金分割點有 個 2 3 由平行線截得的比例線段定理 兩條直線被一組平行線 不少于3條 所截 所得的對應線段 4 相似三角形的性質性質 1 相似三角形的對應角 對應邊 2 相似三角形周長之比等于 3 相似三角形的面積之比等于相似比的 4 相似三角形的對應高的比 對應中線的比 對應角平分線的比都等于 成比例 相等 相似比 平方 成比例 相似比 5 相似三角形的判定方法預備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊 或兩邊的延長線 相交 所構成的三角形與原三角形相似 判定定理1 兩個角 的兩個三角形相似 判定定理2 兩邊對應成比例 且 的兩個三角形相似 判定定理3 三邊對應 的兩個三角形相似 對應相等 夾角相等 成比例 智慧錦囊 重要結論 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原直角三角形都相似 如圖32 4 Rt ABC中 CD是斜邊上的高 則 ABC CBD ACD 圖32 4 6 相似多邊形的性質性質 1 相似多邊形的周長之比等于 2 相似三角形的面積之比等于相似比的 相似比 平方 二 必會2方法1 相似三角形的基本圖形 1 平行線型 如圖32 5 若CD AB 則有 OCD OAB 圖32 5 2 斜線型 如圖32 6 若 1 A 則有 OCD OAB 特別是右圖中 當 OCD OAB 有OC2 OA OD 圖32 6 3 旋轉型 如圖32 7 若 1 2 且OD OA OC OB 或 1 2 D A 則有 OCD OBA 圖32 7 2 分類討論思想近幾年中考常出現(xiàn)有關相似形的多解問題 這類題特征是不給出幾何圖形 要求分類討論 不要漏解 三 必明3易錯點1 求兩條線段的比時 對這兩條線段要用同一長度單位 2 證明兩個三角形相似時 要注意將對應頂點寫在對應位置上 3 相似多邊形的面積比等于相似比的平方 要注意與周長比的區(qū)別 類型之一平行線分線段成比例定理 圖32 8 2015 成都 如圖32 9 在 ABC中 DE BC AD 6 BD 3 AE 4 則EC的長為 A 1B 2C 3D 4 B 圖32 9 類型之二相似三角形的判定 2015 咸寧 如圖32 10 在 ABC中 AB AC A 36 BD為角平分線 DE AB 垂足為E 1 寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形 2 選擇 1 中一對加以證明 解析 1 利用相似三角形的性質以及全等三角形的性質作答 2 利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法 圖32 10 解 1 ADE BDE ABC BDC 2 證明 AB AC A 36 ABC C 72 BD為角平分線 圖32 11 2 ACD CBD A BCD 在 ACD中 ADC 90 A ACD 90 BCD ACD 90 即 ACB 90 2 如圖32 12 在平行四邊形ABCD中 過點A作AE BC 垂足為E 連結DE F為線段DE上一點 且 AFE B 1 求證 ADF DEC 圖32 12 解 1 證明 四邊形ABCD是平行四邊形 AB CD AD BC C B 180 ADF DEC 又 AFD AFE 180 AFE B AFD C 點悟 判定兩個三角形相似的常規(guī)思路 先找兩對對應角相等 若只能找到一對對應角相等 則判斷相等的角的兩夾邊是否對應成比例 若找不到角相等 就判斷三邊是否對應成比例 另外還可考慮平行線分線段成比例定理及相似三角形的 傳遞性 類型之三相似三角形的性質 2015 銅仁 如圖32 13 在平行四邊形ABCD中 點E在邊DC上 DE CE 3 1 連結AE交BD于點F 則 DEF的面積與 BAF的面積之比為 A 3 4B 9 16C 9 1D 3 1 解析 四邊形ABCD為平行四邊形 DC AB DFE BFA 圖32 13 B DE EC 3 1 DE DC 3 4 DE AB 3 4 S DFE S BFA 9 16 1 2015重慶 已知 ABC DEF 若 ABC與 DEF的相似比為2 3 則 ABC與 DEF對應邊上的中線的比為 解析 相似三角形對應中線的比等于相似比 2 2015 自貢 一副三角板疊放位置如圖32 14 則 AOB與 COD的面積之比為 圖32 14 2 3 1 3 解析 首先設BC x 根據(jù)題意可得 ABC DCB 90 AB BC D 30 即可求得CD與AB的長 又可得 AOB COD 又由相似三角形的面積比等于相似比的平方 即可求得 AOB與 COD的面積之比 解析 首先根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似 證得 ADE ACB 再由相似三角形面積的比等于相似比的平方求解 圖32 15 ADE ACB S ADE S ACB AE AB 2 1 4 S ADE S四邊形BCED 1 3 故選C 點悟 相似三角形面積的比等于相似比的平方 類型之四相似三角形與圓 2015 黃岡 已知 如圖31 16 在 ABC中 AB AC 以AC為直徑的 O交AB于點M 交BC于點N 連結AN 過點C的切線交AB的延長線于點P 圖31 16 解析 1 由AC為 O直徑 得到 NAC ACN 90 由AB AC 得到 BAN CAN 根據(jù)PC是 O的切線 得到 ACN BCP 90 2 由等腰三角形的性質得到 ABC ACB 根據(jù)圓內接四邊形的性質得到 PBC AMN 證出 BPC MNA 證明 1 AC為 O直徑 ANC 90 CAN ACN 90 AB AC BAN CAN PC是 O的切線 ACP 90 ACN BCP 90 BCP CAN BCP BAN 1 2015 威海 如圖32 17 在 ABC中 AB AC 以AC為直徑的 O交AB于點D 交BC于點E 1 求證 BE CE 2 若BD 2 BE 3 求AC的長 解析 1 連結AE 根據(jù)圓周角定理 由AC為 O的直徑得到 AEC 90 然后利用等腰三角形的性質即可得到BE CE 2 連結DE 證明 BED BAC 然后利用相似比可計算出AB的長 從而得到AC的長 圖32 17 解 1 證明 連結AE 如答圖 AC為 O的直徑 AEC 90 AE BC 又 AB AC BE CE 2 連結DE 如答圖 BE CE 3 BC 6 BED DEC BAC DEC 180 BED BAC 又 DBE CBA BED BAC 變式跟進1答圖 2 2015 東營 如圖32 18 已知在 ABC中 ABC 90 以AB上的一點O為圓心 以OA為半徑的圓交AC于點D 交AB于點E 1 求證 AC AD AB AE 2 如果BD是 O的切線 D是切點 E是OB的中點 當BC 2時 求AC的長 解析 1 連結DE 根據(jù)圓周角定理求得 ADE 90 得出 ADE ABC 進而證得 ADE ABC 2 連結OD 根據(jù)切線的性質求得OD BD 在Rt OBD中 根據(jù)已知求得 OBD 30 進而求得 BAC 30 根據(jù)30 的直角三角形的性質求得AC的長 圖32 18 解 1 證明 連結DE 如答圖 AE是直徑 ADE 90 ADE ABC DAE BAC ADE ABC AC AD AB AE 變式跟進2答圖 2 連結OD 如答圖 BD是 O的切線 OD BD 在Rt OBD中 OE BE OD OB 2OD OBD 30 BAC 30 在Rt ABC中 AC 2BC 2 2 4 圖32 19 變式跟進3答圖 解 1 證明 連結PB ACB 90 AB是 O的直徑 APB 90 PAB PBA 90 PBA AFE ABP ACP AFE ACP 又 PAC PDC PAC PDF 點悟 證明線段的積相等的常用方法是把等式轉化為比例式 然后根據(jù) 三點定形 確定它們所在三角形是否相似 若相似 則結論成立 若不相似 再用中間比來 搭橋 類型之五相似三角形對應高的比的應用 2015 武漢 已知銳角 ABC中 邊BC長為12 高AD長為8 1 如圖32 20 矩形EFGH的邊GH在BC邊上 其余兩個頂點E F分別在AB AC邊上 EF交AD于點K 設EH x 矩形EFGH的面積為S 求S與x的函數(shù)關系式 并求S的最大值 2 若AB AC 正方形PQMN的兩個頂點在 ABC一邊上 另兩個頂點分別在 ABC的另兩邊上 直接寫出正方形PQMN的邊長 圖32 20 1 一張等腰三角形紙片 底邊長15cm 底邊上的高為22 5cm 現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為3cm的矩形紙條 如圖32 21所示 已知剪得的紙條中有一張是正方形 則這張正方形紙條是 A 第4張B 第5張C 第6張D 第7張 C 圖32 21 2 2014 紹興 如圖32 22 課本中有一道作業(yè)題 有一塊三角形余料ABC 它的邊BC 120mm 高AD 80mm 要把它加工成正方形零件 使正方形的一邊在BC上 其余兩個頂點分別在AB AC上 問加工成的正方形零件的邊長為多少毫米 小穎解得此題的答案為48mm 小穎善于反思 她又提出了如下的問題 1 如果原題中所要加工的零件是一個矩形 且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成 如圖 此時 這個矩形零件的兩條邊長又分別是多少毫米 請你計算 2 如果原題中所要加工的零件只是一個矩形 如圖 這樣 此矩形零件的兩條邊長就不能確定 但這個矩形面積有最大值 求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長 圖32 22 相似三角形易錯點掃描 圖32 23 錯因 運用平行線分線段成比例定理時 容易出現(xiàn)沒有按 對應 來寫比例線段的錯誤 正解 D 理由 AG 2 GB 1 AB AG BG 3 直線l1 l2 l3 點悟 1 相似三角形要考慮不同的對應情況 思維全面 不能漏解 2 善于利用平行線構造比例線段 表示相似圖形時 要特別注意對應點的正確寫法以及對應邊與對應角的尋找 不然很容易因疏忽而出現(xiàn)錯誤