2020年高考數(shù)學（理）大題專題解析與訓練《解析幾何》

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解析幾何 一、直線與拋物線 （2019年全國卷I）已知拋物線：的焦點為F，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為． （1）若，求的方程； （2）若，求． 【肢解1】若，求的方程； 【肢解2】若，求． 試題解析 【肢解1】若，求的方程； 【解析】設(shè)直線方程為，，， 由拋物線焦半徑公式可知，所以， 聯(lián)立得， 由得， 所以，解得， 所以直線的方程為，即. 【肢解2】若，求． 【解析】設(shè)直線方程為， 聯(lián)立得，由得， 由韋達定理知， 因為，所以，所以，，所以，. 則. 應(yīng)對策略 設(shè)拋物線的焦點為，過點的而直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝x1＋x2＋p. 弦長的計算方法：求弦長時可利用弦長公式，根據(jù)直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元后得到的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之和、兩根之積的代數(shù)式，然后進行整體代入弦長公式求解． 溫馨提示：注意兩種特殊情況：(1)直線與圓錐曲線的對稱軸平行或垂直；(2)直線過圓錐曲線的焦點． 拓展延伸 【拓展1】已知拋物線：的焦點為F，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．若，求在軸上的截距. 【解析】設(shè)直線方程為，，， 由拋物線焦半徑公式可知，所以， 聯(lián)立得， 由得， 所以，解得， 所以直線的方程為，令得， 所以直線在軸上的截距為. 【拓展2】已知拋物線：的焦點為F，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為．若，，求的面積． 【解析】設(shè)直線方程為， 聯(lián)立得，由得， 由韋達定理知，， 因為，所以，所以，，所以.， 所以， 直線方程為，即，所以點到的距離， 所以的面積為． 變式訓練一 1.（2019年山西太原一模)已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線于，兩點，為坐標原點，若的面積為，求. 【解析】由題意知拋物線的焦點的坐標為， 易知當直線垂直于軸時，的面積為2，不滿足題意， 所以可設(shè)直線的方程為， 與聯(lián)立，消去得， 設(shè)，，由韋達定理知，， 所以， 所以的面積為，解得， 所以. 2.（2019年湖北荊州模擬)已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點. （1）若，求直線的斜率； （2）設(shè)點在線段上運動，原點關(guān)于點的對稱點為，求四邊形面積的最小值. 【解析】（1）依題意可設(shè)直線， 將直線與拋物線聯(lián)立， 設(shè)，，由韋達定理得， 因為，所以，即， 所以直線的斜率為或． （2）， 當時，四邊形的面積最小，最小值為4． （2020屆廣東省珠海市高三上學期期末）中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓過、兩點， （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，求當所取何值時，的面積最大. 【肢解1】求橢圓的方程； 【肢解2】設(shè)直線與橢圓交于，兩點，求當所取何值時，的面積最大. 試題解析 【肢解1】求橢圓的方程； 【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為， 代入、兩點得 解得，， 所以橢圓. 【肢解2】設(shè)直線與橢圓交于，兩點，求當所取何值時，的面積最大. 【解析】將直線代入得：. 整理得. 得. 由韋達定理得，. . 由二次函數(shù)可知當即時，的面積的最大． 應(yīng)對策略 直線與圓錐曲線的相交弦長問題：設(shè)斜率為k(k≠0)的直線l與圓錐曲線C相交于A，B兩點，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2| ＝. 變式訓練二 【變式1】中心在坐標原點，對稱軸為坐標軸的橢圓過、兩點， （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點，若的面積為，求的值. 【解析】（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為， 代入、兩點得 解得，. 所以橢圓. （2）將直線代入得. 整理得. 得. 設(shè)，，韋達定理得，. 所以， 由點到直線的距離公式得點到直線的距離. 所以的面積為， 因為的面積為，所以，解得或（舍去）. 所以． 【變式2】已知橢圓的離心率為，其中左焦點為． （1）求橢圓的方程； （2）若直線與橢圓交于不同的兩點，，的面積為，求直線的方程． 【解析】(1)由題意，得解得， 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)點，， 由消去得， 由得， 由韋達定理知，， 所以， 由點到直線的距離公式得到直線的距離， 所以的面積為，解得，滿足， 所以所求直線方程為或. 模擬訓練 1.（2019年山東高考模擬）已知圓，拋物線． （1）若拋物線的焦點在圓上，且為拋物線和圓的一個交點，求； （2）若直線與拋物線和圓分別相切于兩點，設(shè)，當時，求的最大值． 【解析】（1）由題意知，所以. 所以拋物線的方程為. 將與聯(lián)立得點的縱坐標為， 結(jié)合拋物線定義得. （2）由得，， 所以直線的斜率為，故直線的方程為.即. 又由得且， 所以 . 令，，則， 令，則； 當時，單調(diào)遞減， 當時，單調(diào)遞增， 又，， 所以，即的最大值為. 2.（2020黑龍江省齊市地區(qū)普高聯(lián)誼高二上學期期末）已知橢圓：過點與點. （1）求橢圓的方程； （2）設(shè)直線過定點，且斜率為，若橢圓上存在，兩點關(guān)于直線對稱，為坐標原點，求的取值范圍及面積的最大值. 【解析】（1）由題意，可得，解得， 所以橢圓的方程為. （2）由題意，設(shè)直線的方程為， 由，整理得， 所以，即，……….① 且， 所以線段的中點橫坐標，縱坐標為， 將代入直線方程，可得 ……… ②， 由①②可得，又，所以， 又， 且原點到直線AB的距離， 所以 ， 所以時，最大值，此時， 所以時，最大值. 3.（2020福建省寧德市高三第一次質(zhì)量檢查）已知拋物線的焦點為，在拋物線上，且. （1）求拋物線的方程及的值； （2）若過點的直線與相交于兩點，為的中點，是坐標原點，且，求直線的方程. 【解析】（1）因為，所以，所以， 拋物線的方程為：， 將代入得， （2）設(shè)， 顯然直線的斜率存在，設(shè)直線：， 聯(lián)立，消去得， 因為，得且， 所以， 因為，所以， 所以 ，即， 因為是的中點，所以， 所以，整理得 所以，解得， 所以直線的方程為：或. 4.（2020福建省龍巖市上杭縣第一中學月考）已知點A(0，－2)，橢圓E： (a>b>0)的離心率為，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為，為坐標原點. （1）求E的方程； （2）設(shè)過點A的動直線與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求的方程. 【解析】（1）設(shè)，因為直線的斜率為，， 所以，. 又，解得， 所以橢圓的方程為. （2）設(shè)由題意可設(shè)直線的方程為：， 聯(lián)立消去得， 當，所以，所以或， 由韋達定理知. 所以， 點到直線的距離，所以， 設(shè)，則， 所以，當且僅當，即， 解得時取等號，滿足， 所以的面積最大時直線的方程為：或. 5.（2020廣東省佛山市高三教學質(zhì)量檢測）已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，直線過橢圓的右焦點與上頂點，動直線：與橢圓交于，兩點，交于點. （1）求橢圓的方程； （2）已知為坐標原點，若點滿足，求此時的長度. 【解析】（1）由題意得，，結(jié)合， 解得，，， 故所求橢圓的方程為. （2）易知定直線的方程為. 聯(lián)立，整理得，解得， 令點的坐標為. 因為，由對稱性可知，點為的中點，故， 又在直線：上，故， 解得，，所以點的坐標為或， 所以或，所以的長度為4或. 6.（2020廣西名校高三上學期12月高考模擬）如圖，中心為坐標原點O的兩圓半徑分別為，，射線OT與兩圓分別交于A、B兩點，分別過A、B作垂直于x軸、y軸的直線、，交于點P． （1）當射線繞點旋轉(zhuǎn)時，求P點的軌跡E的方程； （2）直線l：與曲線E交于M、N兩點，兩圓上共有6個點到直線的距離為時，求的取值范圍． 【解析】（1）設(shè),OT與x軸正方向夾角為,則，即， 化簡得,即P點的軌跡E的方程為. （2）當兩圓上有6個點到直線1的距離為時,原點至直線的距離, 即,解得， 聯(lián)立方程得， 設(shè),,則,， 所以， 則. 7.（2020遼寧省沈陽市東北育才學校高三模擬）已知為橢圓的右頂點，點在橢圓的長軸上，過點且不與軸重合的直線交橢圓于兩點，當點與坐標原點重合時，直線的斜率之積為． （1）求橢圓的標準方程； （2）若，求面積的最大值． 【解析】（1）設(shè)，，，，則． 又，代入上式可得，又，解得． 所以橢圓的標準方程為：． （2）設(shè)直線的方程為：，．，，，， 聯(lián)立，化為， 由韋達定理知，， 因為，所以， 所以，代入可得：． 所以的面積， ． 所以，當且僅當時取等號． 所以面積的最大值為．