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1、泰山學(xué)院信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院教案
數(shù)值分析 教研室
課程名稱
高等數(shù)學(xué)研究
授課對(duì)象
授課題目
第十三講 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題
課時(shí)數(shù)
4
教學(xué)
目的
通過(guò)教學(xué)使學(xué)生掌握兩類曲線積分的來(lái)源、定義、性質(zhì)和計(jì)算方法，重點(diǎn)掌握格林公式及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件
重
點(diǎn)
難
點(diǎn)
1．重點(diǎn)兩類曲線積分的計(jì)算方法；
2．難點(diǎn)格林公式及曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。
教
學(xué)
提
綱
第十三講 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題
1. 第一型曲線積分
(1)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的模型：
(2)積分弧
2、段的方向無(wú)關(guān)。
(3)對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的計(jì)算
2. 第二型曲線積分
(1) 第二型曲線積分的模型, 第二型曲線積分方向無(wú)關(guān)
3. 格林公式及其應(yīng)用
用“補(bǔ)面法”用格林公是求解。
4. 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件
定理：以下條件等價(jià)
(1) 在區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充分；
(2) 內(nèi)沿任一閉曲線的積分為零；
(3) 設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)恒成立；
為全微分．
教學(xué)過(guò)程與內(nèi)容
教學(xué)
后記
第十三講 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題
一、第一型曲線積分
1. 第一型曲線積分的模型
設(shè)給定一條平面曲線?。?其線密度為求弧的質(zhì)量。
3、,
【說(shuō)明】若，則=，即對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分與積分弧段有關(guān),但與積分弧段的方向無(wú)關(guān)。
2. 第一型曲線積分的計(jì)算（代入法）
設(shè)在曲線弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為 ，,
=
特別,當(dāng)時(shí), 表示曲線弧的弧長(zhǎng)。
當(dāng)曲線弧的方程為 ，在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，則
=；
例1：計(jì)算第一型曲線積分
（１），其中從（１，１）到（０，０）一段。；
（２），其中圓周。
二、第二型曲線積分
1.第二型曲線積分的模型（代入法）
設(shè)有一平面力場(chǎng)，其中為連續(xù)函數(shù),一質(zhì)點(diǎn)在此力場(chǎng)的力作用下，由點(diǎn)沿光滑曲線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，求力場(chǎng)的力所作的功。
，
【評(píng)注】設(shè)為有向曲線弧，為與方向相反的
4、有向曲線弧，則
即第二型曲線積分方向無(wú)關(guān)
2. 第二型曲線積分的計(jì)算
設(shè)平面上的有向曲線的參數(shù)方程為 ，當(dāng)參數(shù)單調(diào)地由變到時(shí),
=
這里的是曲線的起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，是曲線的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，并不要求。
若曲線的方程為對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)，應(yīng)于的終點(diǎn)，則
=；
若曲線的方程為對(duì)應(yīng)于的起點(diǎn)，應(yīng)于的終點(diǎn)，則
=。
同樣，以上并不要求，。
公式可推廣到空間曲線上對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的情形，
若空間曲線的參數(shù)方程為，則
=
這里下限為曲線的起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，上限為曲線的終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值。
例2：計(jì)算，其中
(1)為拋物線上從點(diǎn)到
5、點(diǎn)的一段弧。
(2)為從到點(diǎn)的直線段.
【解法1】 (1)由知不是的單值函數(shù)，因此不能運(yùn)用公式（2），但可運(yùn)用公式（3），這里，從變到，于是
===。
【解法2】 當(dāng)把曲線分成與兩部分時(shí)，在每一部分上都是的單值函數(shù)。在上，由變到；在上，，由變到。于是
=+
=+
==
(2) 直線的方程為,,從到,于是
==
從這個(gè)例子可以看出, 對(duì)坐標(biāo)的曲線積分沿不同的路徑,曲線積分不一定相等.
3. 格林公式及其應(yīng)用
格林公式: 設(shè)平面單連通區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則
其中是的正向邊界曲線。
在公式(1)中取，可得
6、，
上式左端為閉區(qū)域的面積的兩倍，因此計(jì)算有界閉區(qū)域的面積的公式為:
。
例3： 計(jì)算星形線所圍圖形的面積.
【解】 由公式(2)得
=
==.
例4: 在過(guò)點(diǎn)Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲線族中，求一條曲線Ｃ，使沿該曲 線從Ｏ到Ａ的線積分的值最小。
【解】 本題可用代入法直接求解，這里采用“補(bǔ)面法”用格林公是求解。
令，即AO直線段。
-
。
用一元函數(shù)極值的方法得時(shí)達(dá)到最小值。
4. 平面曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件
曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題：設(shè)是平面上的一個(gè)開(kāi)區(qū)域，以及在內(nèi)具有一階階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).如果對(duì)內(nèi)任意兩點(diǎn)與，以及內(nèi)從點(diǎn)
7、到點(diǎn)的任意兩條曲線、，恒有=，則稱曲線積分在內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。
定理：以下條件等價(jià)
（１）在區(qū)域內(nèi)曲線積分與路徑無(wú)關(guān)；
（２）內(nèi)沿任一閉曲線的積分為零；
（３）設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且在內(nèi)恒成立；
（４）為全微分．
例5： 計(jì)算,其中是從點(diǎn)經(jīng)圓周
上半部到點(diǎn)的弧段。
【解】 直接計(jì)算曲線積分比較難,先判斷是否與積分路徑無(wú)關(guān).
這里,,
有=,且與在全平面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).
因此這個(gè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān).為便于計(jì)算,取直線段作為積分路徑.于是
=
=
5.奇點(diǎn)的處理方法
定理：設(shè)在坐標(biāo)平面上除了點(diǎn)Ｐ外都有，則對(duì)任意分段光滑閉曲線，是一個(gè)定
8、值。
例6: 計(jì)算,其中為:
（1）任一簡(jiǎn)單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域不含有原點(diǎn);
（2）任一簡(jiǎn)單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域含原點(diǎn);
【解】 這里,,
,且與在不含原點(diǎn)的任意一個(gè)區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).
（1） 這個(gè)曲線積分與路徑無(wú)關(guān),所以
.
（2）設(shè)在坐標(biāo)平面上除了原點(diǎn)點(diǎn)外都有，則對(duì)任意分段光滑閉曲線，是一個(gè)定值，把換成圓周，它的參數(shù)方程為,,
則 .
例７：設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).
（I）證明：對(duì)右半平面x>0內(nèi)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線C，有；
（II）求函數(shù)的表達(dá)式.
【分析】 證明（I
9、）的關(guān)鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡(jiǎn)單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進(jìn)行分解討論；而（II）中求的表達(dá)式，顯然應(yīng)用積分與路徑無(wú)關(guān)即可.
Y
【解】 （I）
l2
10、 C
o X
l3
如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與C相接，則
.
（II） 設(shè)，在單連通區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，由（Ⅰ）知，曲線積分在該區(qū)域內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，故當(dāng)時(shí)，總有.
①
②
比較①、②兩式的右端，得
④
③
由③得，將代入④得
所以，從而
【評(píng)注】 本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形.
６. 二元函數(shù)的全微分求法
定義：若函數(shù)使,則稱函數(shù)是表達(dá)式的一個(gè)原函數(shù)。
判別法： 設(shè)開(kāi)區(qū)域是一個(gè)單連通域，函數(shù)以及在內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則在內(nèi)存在原函數(shù)的充分必要條件是等式在內(nèi)恒成立。
求法：
一般取.
例８：驗(yàn)證在整個(gè)在平面內(nèi)是存在原函數(shù),并求出一個(gè)原函數(shù)。
【解】 這里,,
且在整個(gè)在平面內(nèi)恒成立,因此在整個(gè)在平面內(nèi)存在原函數(shù).
==.
對(duì)于常微分方程,由上面可知這個(gè)微分方程的通解
為 (為任意常數(shù)).
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13第十三講 曲線積分與路徑無(wú)關(guān)問(wèn)題
