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1、泰山學院信息科學技術學院教案
數(shù)值分析 教研室
課程名稱
高等數(shù)學研究
授課對象
授課題目
第十三講 曲線積分與路徑無關問題
課時數(shù)
4
教學
目的
通過教學使學生掌握兩類曲線積分的來源、定義、性質和計算方法，重點掌握格林公式及曲線積分與路徑無關的條件
重
點
難
點
1．重點兩類曲線積分的計算方法；
2．難點格林公式及曲線積分與路徑無關的條件。
教
學
提
綱
第十三講 曲線積分與路徑無關問題
1. 第一型曲線積分
(1)對弧長的曲線積分的模型：
(2)積分弧
2、段的方向無關。
(3)對弧長的曲線積分的計算
2. 第二型曲線積分
(1) 第二型曲線積分的模型, 第二型曲線積分方向無關
3. 格林公式及其應用
用“補面法”用格林公是求解。
4. 平面曲線積分與路徑無關的條件
定理：以下條件等價
(1) 在區(qū)域內曲線積分與路徑無關的充分；
(2) 內沿任一閉曲線的積分為零；
(3) 設開區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)以及在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)且在內恒成立；
為全微分．
教學過程與內容
教學
后記
第十三講 曲線積分與路徑無關問題
一、第一型曲線積分
1. 第一型曲線積分的模型
設給定一條平面曲線弧：,其線密度為求弧的質量。
3、,
【說明】若，則=，即對弧長的曲線積分與積分弧段有關,但與積分弧段的方向無關。
2. 第一型曲線積分的計算（代入法）
設在曲線弧上有定義且連續(xù),的參數(shù)方程為 ，,
=
特別,當時, 表示曲線弧的弧長。
當曲線弧的方程為 ，在上有連續(xù)的導數(shù)，則
=；
例1：計算第一型曲線積分
（１），其中從（１，１）到（０，０）一段。；
（２），其中圓周。
二、第二型曲線積分
1.第二型曲線積分的模型（代入法）
設有一平面力場，其中為連續(xù)函數(shù),一質點在此力場的力作用下，由點沿光滑曲線運動到點，求力場的力所作的功。
，
【評注】設為有向曲線弧，為與方向相反的
4、有向曲線弧，則
即第二型曲線積分方向無關
2. 第二型曲線積分的計算
設平面上的有向曲線的參數(shù)方程為 ，當參數(shù)單調地由變到時,
=
這里的是曲線的起點所對應的參數(shù)值，是曲線的終點所對應的參數(shù)值，并不要求。
若曲線的方程為對應于的起點，應于的終點，則
=；
若曲線的方程為對應于的起點，應于的終點，則
=。
同樣，以上并不要求，。
公式可推廣到空間曲線上對坐標的曲線積分的情形，
若空間曲線的參數(shù)方程為，則
=
這里下限為曲線的起點所對應的參數(shù)值，上限為曲線的終點所對應的參數(shù)值。
例2：計算，其中
(1)為拋物線上從點到
5、點的一段弧。
(2)為從到點的直線段.
【解法1】 (1)由知不是的單值函數(shù)，因此不能運用公式（2），但可運用公式（3），這里，從變到，于是
===。
【解法2】 當把曲線分成與兩部分時，在每一部分上都是的單值函數(shù)。在上，由變到；在上，，由變到。于是
=+
=+
==
(2) 直線的方程為,,從到,于是
==
從這個例子可以看出, 對坐標的曲線積分沿不同的路徑,曲線積分不一定相等.
3. 格林公式及其應用
格林公式: 設平面單連通區(qū)域D由分段光滑的曲線圍成，函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則
其中是的正向邊界曲線。
在公式(1)中取，可得
6、，
上式左端為閉區(qū)域的面積的兩倍，因此計算有界閉區(qū)域的面積的公式為:
。
例3： 計算星形線所圍圖形的面積.
【解】 由公式(2)得
=
==.
例4: 在過點Ｏ(0,0)和Ａ(π,0)的曲線族中，求一條曲線Ｃ，使沿該曲 線從Ｏ到Ａ的線積分的值最小。
【解】 本題可用代入法直接求解，這里采用“補面法”用格林公是求解。
令，即AO直線段。
-
。
用一元函數(shù)極值的方法得時達到最小值。
4. 平面曲線積分與路徑無關的條件
曲線積分與路徑無關問題：設是平面上的一個開區(qū)域，以及在內具有一階階連續(xù)偏導數(shù).如果對內任意兩點與，以及內從點
7、到點的任意兩條曲線、，恒有=，則稱曲線積分在內與路徑無關。
定理：以下條件等價
（１）在區(qū)域內曲線積分與路徑無關；
（２）內沿任一閉曲線的積分為零；
（３）設開區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)以及在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)且在內恒成立；
（４）為全微分．
例5： 計算,其中是從點經圓周
上半部到點的弧段。
【解】 直接計算曲線積分比較難,先判斷是否與積分路徑無關.
這里,,
有=,且與在全平面上有一階連續(xù)偏導數(shù).
因此這個曲線積分與路徑無關.為便于計算,取直線段作為積分路徑.于是
=
=
5.奇點的處理方法
定理：設在坐標平面上除了點Ｐ外都有，則對任意分段光滑閉曲線，是一個定
8、值。
例6: 計算,其中為:
（1）任一簡單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域不含有原點;
（2）任一簡單閉曲線,該閉曲線包圍的區(qū)域含原點;
【解】 這里,,
,且與在不含原點的任意一個區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數(shù).
（1） 這個曲線積分與路徑無關,所以
.
（2）設在坐標平面上除了原點點外都有，則對任意分段光滑閉曲線，是一個定值，把換成圓周，它的參數(shù)方程為,,
則 .
例７：設函數(shù)具有連續(xù)導數(shù)，在圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分的值恒為同一常數(shù).
（I）證明：對右半平面x>0內的任意分段光滑簡單閉曲線C，有；
（II）求函數(shù)的表達式.
【分析】 證明（I
9、）的關鍵是如何將封閉曲線C與圍繞原點的任意分段光滑簡單閉曲線相聯(lián)系，這可利用曲線積分的可加性將C進行分解討論；而（II）中求的表達式，顯然應用積分與路徑無關即可.
Y
【解】 （I）
l2
10、 C
o X
l3
如圖，將C分解為：，另作一條曲線圍繞原點且與C相接，則
.
（II） 設，在單連通區(qū)域內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，由（Ⅰ）知，曲線積分在該區(qū)域內與路徑無關，故當時，總有.
①
②
比較①、②兩式的右端，得
④
③
由③得，將代入④得
所以，從而
【評注】 本題難度較大，關鍵是如何將待求解的問題轉化為可利用已知條件的情形.
６. 二元函數(shù)的全微分求法
定義：若函數(shù)使,則稱函數(shù)是表達式的一個原函數(shù)。
判別法： 設開區(qū)域是一個單連通域，函數(shù)以及在內具有一階連續(xù)偏導數(shù),則在內存在原函數(shù)的充分必要條件是等式在內恒成立。
求法：
一般取.
例８：驗證在整個在平面內是存在原函數(shù),并求出一個原函數(shù)。
【解】 這里,,
且在整個在平面內恒成立,因此在整個在平面內存在原函數(shù).
==.
對于常微分方程,由上面可知這個微分方程的通解
為 (為任意常數(shù)).
8
13第十三講 曲線積分與路徑無關問題
