2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第三部分專題五 三角函數(shù)

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1、2012考前沖刺數(shù)學(xué)第三部分【高考預(yù)測(cè)】1.掌握三角函數(shù)概念，其中以三角函數(shù)的定義學(xué)習(xí)為重點(diǎn)。（理科：兼顧反三角）2.提高三角函數(shù)的恒等變形的能力，關(guān)鍵是熟悉誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系、和差角公式及倍角公式等，掌握常見的變形方法。3.解決三角函數(shù)中的求值問(wèn)題，關(guān)鍵是把握未知與已知之間的聯(lián)系。4.熟練運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)，需關(guān)注復(fù)合問(wèn)題，在問(wèn)題轉(zhuǎn)化過(guò)程中，進(jìn)一步重視三角恒等變形。5.掌握等的圖象及性質(zhì)，深刻理解圖象變換之原理。6.解決與三角函數(shù)有關(guān)的（常見的）最值問(wèn)題。7.正確處理三角形內(nèi)的三角函數(shù)問(wèn)題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內(nèi)角和定理，提高邊角、角角轉(zhuǎn)化意識(shí)。8.提高綜合運(yùn)用的能

2、力，如對(duì)實(shí)際問(wèn)題的解決以及與其它章節(jié)內(nèi)容的整合處理?！疽族e(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】對(duì)癥下荮填 y=作出其圖像知原函數(shù)的最小正周其為2，最大值為-.故最小正周期和最大值之和為2-.2函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的圖像與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則眾的取值范圍是 .【錯(cuò)誤答案】 填0，3 f(x)= f(x)的值域?yàn)?0，3)，f(x)與y=k有交點(diǎn)， k0，3 【錯(cuò)解分析】 上面解答求出k的范圍只能保證y= f(x)的圖像與y=k有交點(diǎn)，但不能保證y=f(x)的圖像與y=k有兩個(gè)交點(diǎn)，如k=1，兩圖像有三個(gè)交點(diǎn)因此，正確的解答要作出了y=f(x)的圖像，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想求解 【

3、正確解答】 填(1，3)f(x) 作出其圖像如圖從圖5-1中可看出：當(dāng)1k3時(shí)，直線y=k與 yf(x)有兩個(gè)交點(diǎn) 3(2012模擬題精選)要得到函數(shù)y=cosx的圖像，只需將函數(shù)y=sin(2x+)的圖像上所有的點(diǎn)的 ( ) A.橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度 B橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 C橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度 D橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度【錯(cuò)誤答案】 B或D將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像

4、，再向右平行移動(dòng)子個(gè)單位長(zhǎng)度后得函數(shù)y=sin(x+)= cosx的圖像故選B將函數(shù)y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+)若將其圖像橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)后得函數(shù)y=sin(x+)的圖像再向右平行移動(dòng) 個(gè)單位長(zhǎng)度后得y=cosx的圖像，選D【錯(cuò)解分析】 選B有兩處錯(cuò)誤，一是若將函數(shù)y f(x)=sin(2x+)橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，(縱坐標(biāo)標(biāo)不變)所得函數(shù)y=f(x)= sin(4x+)，而不是f(x)=sin(x+)，二是將函數(shù)y=f(x)=sin(x+)向右平行移動(dòng)得函數(shù)y=f(x)=sinx的圖像，而不是y= f(x)=cosx的圖像因?yàn)楹瘮?shù)圖像變換是針對(duì)自變量而言

5、，應(yīng)該是x變?yōu)閤-選D同樣是兩處錯(cuò)誤一是橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變)得函數(shù)y=sin(x+)而不是y=sin(x+)由y=sin(x+)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得了y=sinx的圖像，而不是y=cosx的圖像【錯(cuò)誤答案】 (1)x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸，sin(2+)=1， + =k+k Z =k+ ，-0， =-(2)由(1)知 =，因此y=sin(2-)最小正周期為T=.由題意得k-2x-k+，kZ解得 k+xk+，kZ所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調(diào)查遞增區(qū)間為【錯(cuò)解分析】 以上解答錯(cuò)在第（2）小題求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí)，令處，因若把看成一個(gè)整體u，則y=sinu的周期為2

6、。故應(yīng)令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間.【正確解答】（1）解法1 是函數(shù)y=f(x)的圖像的對(duì)稱軸，sin(2+)=1。解法2 x=是y=f(x)圖象的對(duì)稱軸，對(duì)任意的x有f(x)=f(-x).令x=0時(shí)，有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又(2)由（1）得,因此，由題意得（3）由知x0y-1010故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間0,上圖像是5.求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在0，上的單調(diào)遞增區(qū)間.【錯(cuò)誤答案】 當(dāng)時(shí)，函數(shù)y有最小值-2. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. 函數(shù)遞增區(qū)間是.【錯(cuò)解分析】上面解答錯(cuò)在求函數(shù)的遞增區(qū)間上，當(dāng)x0，時(shí)，2x- (-,)函數(shù)不為

7、單調(diào)函數(shù)應(yīng)先求出函數(shù)y=2sin(2x-)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間，再求它與區(qū)間0，的交集【正確解答】 函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故該函數(shù)的最小正周期是.當(dāng)2x-=2k-時(shí)，即x=k-時(shí)，y有最小值2令2k-2x-2k+，kZ解得k-xk+，kZ令K=0時(shí)，-x又0x，0x， K=1時(shí)， x 又0x.x.函數(shù)y=2sin(2x-)的遞增區(qū)間是0， ，【特別提醒】一般地，y=Asib(x+)的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=Asin(x+a)+ 的圖象，再把其上所有點(diǎn)

8、的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，即得到y(tǒng)=Asinw1+a+的圖像【變式探究】 1 已知函數(shù)y=tan 在(-,)內(nèi)是減函數(shù)，則 ( ) A01 B-10 C.1 D -1 答案：D解析函數(shù)y=tan x在（-）內(nèi)是減函數(shù)，w0，又函數(shù)y=tan(-wx)在（）上是增函數(shù)，有2 函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期為 ( ) A B. C D2 答案： C 解析：f(x)=|sin(x+)|y=sin(x+) 的最小正周期為2，f(x)=|sin(x+)|的最小正周期為.3 當(dāng)0x時(shí)，函數(shù)f(x)=的最小值為 ( ) A.2 B2 C4 D. 4答案： C 解析：f(x)=cotx+4tanx

9、0x0，cot x0，f(x)4 化簡(jiǎn)f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+ 2(xR，kZ)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期【錯(cuò)解分析】 上面解答錯(cuò)在由cos2=得sin2=時(shí)沒(méi)有考慮角是第四象限角2是第三、四象限角sin2只能取負(fù)值因而tan2也只能為負(fù)值【正確解答】 -=cos2+2cos2=2cos2+1=cos2=又為第四象限角，即2k+ 2k+2，kZ，4k+324k+4，kZ 即2為第三、四象限角sin2=- 2(2012模擬題精選)已知-x0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值=sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時(shí)認(rèn)為2

10、sin2 =1+cosx，用錯(cuò)了公式，因?yàn)?2sin2 =1-cosx因此原式化簡(jiǎn)結(jié)果是錯(cuò)誤的【正確解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- x0，sinx0，sinx-cosx0sinx-cosx= (2)解法2 (1)聯(lián)立方程由得slnx=-cosx，將其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)- x0，故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(2012模擬題精選)已

11、知6sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 即【錯(cuò)解分析】 上述解答忽視了題設(shè)條件提供的角的范圍的運(yùn)用，(,)，tan0，tan=應(yīng)舍去，因此原題只有一解 【正確解答】 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知條件可知cos20，所以，即(，)于是tan0，cos0，tan(=14 已知函數(shù)f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值；答案：sin(2)設(shè)(0，),f()=，求sin的值 答案： 16sin2-4sin-11=0，解得sin=(0，)，sin0，則sin=已知函數(shù)f(

12、x)=2sin2x+sin2x，x(0，2)求使f(x)為正值的x的集合 =(+a2)sin(x+) f(x)的最大值為+a2令+a2=+3 a=易錯(cuò)點(diǎn)3 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用1(2012模擬題精選)如圖，在直徑為1的圓O中，作一關(guān)于圓心對(duì)稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中yx0()將十字形的面積表示為的函數(shù)；()為何值時(shí)，十字形的面積最大?最大面積是多少?【錯(cuò)誤答案】 設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy=2sin cos=sin2() (2)當(dāng)sin2=1即= 時(shí)，S最大，S的最大值為1【錯(cuò)解分析】 上面解答錯(cuò)在面積S的計(jì)算上，因?yàn)槭中蚊娣e等于兩個(gè)矩形面積和還需減去中間一個(gè)邊長(zhǎng)為 x的正方形面積

13、【正確解答】 (1)設(shè)S為十字形的面積，則S=2xy-x2=2sincos-cos2( ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1，即2-=時(shí)，S最大當(dāng)=時(shí)，S最大，S的最大值為 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2sin2+2sincos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0， 可解得=arctan(-2)當(dāng)=arctan(-2)時(shí)，S最大，S的最大值為 2(2012模擬題精選)若0x3sinx B2x3sinx C2x=3sinx D與x的取值有關(guān)【錯(cuò)誤答案】 選A 設(shè)f(x)=2x-3sinx，f(x)= 2-3

14、cosx，0x0 f(x)在(0，)上是增函數(shù) f(x)f(0)=0即2x3sinx，選A 【錯(cuò)解分析】f(x)=3(-cosx)當(dāng)0x時(shí)，f(x)不一定恒大于0，只有當(dāng)x(arccos)時(shí) f(x)才大于0因而原函數(shù)f(x)在(0，)先減后增函數(shù)，因而2x與3sinx的大小不確定 【正確解答】 選D 設(shè)y=(x)=2x-3sinx， y=2-3cosx=3(-cosx)當(dāng)cosx0當(dāng)x(0，arcccos)時(shí)，y0口P2x3sinx當(dāng)x(0，arccoss)時(shí)，f(x)0即2x3sinx故選D 3(2012模擬題精選)設(shè)函數(shù)f(x)=xsinx(xR)(1)證明f(x+2k)f(x)=2ks

15、inx其中kZ；(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)極值點(diǎn)證明f(x0)2=； (3)設(shè)f(x)在(0，+)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序a1,a2，an，證明：an+1-an0是f，(x0)=0的任意正實(shí)根即x0 =-tax0，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使x0(+k，+ k)即x0在第二或第四象限內(nèi) 由題設(shè)條件，a1，a2，an為方程x=-tanx的全部正實(shí)根,且滿足a1a2a3，an，那么對(duì)于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1)，+n an+1+n，則an+1-an0，由式知tan(an-1，-a

16、n) 0由此可知an+1-an必在第二象限 an+1-an0是f(x)=0的任意正實(shí)根，即x0-tanx0，則存在一個(gè)非負(fù)整數(shù)k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限內(nèi)由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號(hào)可列表如下：X()f(x)的符號(hào)K為奇數(shù)-0+K為偶數(shù)+0-所以滿足f(x)=0的正根x0都為f(x)的極值點(diǎn)由題設(shè)條件，a1,a2，an為方程x=-tanx的全部正實(shí)根且滿足a1a2an那么對(duì)于n=1，2， an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1)，+n

17、an+1+n，則an+1-an0，由式知tan(an+1-an)0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an.綜上，an+1-an【特別提醒】處理與角度有關(guān)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，可優(yōu)先考慮三角方法，其一般步驟是：具體設(shè)角、構(gòu)造三角函數(shù)模型，通過(guò)三角變換來(lái)解決另外，有些代數(shù)問(wèn)題，可通過(guò)三角代換，運(yùn)用三角知識(shí)來(lái)求解有些三角問(wèn)題，也可轉(zhuǎn)化成代數(shù)函數(shù)，利用代數(shù)知識(shí)來(lái)求解如前面第2、3題 【變式探究】 1將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程，所得方程是 答案：解析：(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4，則x-y的最大值是 . 答案：2解析：設(shè)x：2cos，y=2sin，則x-y=2(sin-c

18、os)=2sin(-) 當(dāng)=2k+時(shí),(x-y)max=23 某體育館擬用運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的邊角地建一個(gè)矩形的健身室如圖所示， ABCD是一塊邊長(zhǎng)為50米的正方形地皮，扇形CEF是運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的一部分，其半徑為40米，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中C、M分別在AB和AD上，H在EF上，設(shè)矩形AGHM的面積為 S，HCF=，請(qǐng)將S表示為的函數(shù)，并指出當(dāng)點(diǎn)H在EF的何處時(shí)，該健身室的面積最大，最大面積是多少? 當(dāng)t=1時(shí)，S有最大值，且S最大值=500 此時(shí)，2sincos=0，即 sin 2=0 02,=0或， 當(dāng)H在EF的端點(diǎn)E或F處時(shí)，健身室面積最大，最大面積為500平方米4 已知函數(shù)f(x)=sin(

19、1)將f(x)寫成Asin(x+)+k的形式并求其圖像對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)；答案：解f(x)=sin(x+)+ ， 由sin(x+)=0，即x-=k(kZ) 得x=，kZ 即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為，kZ(2)如果ABC的三邊。a，b,c成等比數(shù)列，且邊 b所對(duì)的角為x，試求x的取值范圍及此時(shí)函數(shù)f(x)的值域答案：解析：(2)由已知b2=ac，cosx= 0xsinsin(x+)1 即f(x)的值域?yàn)椋?+【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】難點(diǎn)1 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì) 1關(guān)于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命題： 由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是的整數(shù)倍；若x1,x2，且2f(x1)=f(x1+x

20、2+)，則x1x2；函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(-，0)對(duì)稱函數(shù)y=f(-x)的單凋遞增區(qū)間可由不等式2k-2x+2k+(kZ)求得 其中正確命題的序號(hào)是 .圖像的對(duì)稱點(diǎn)，x=,4sin(2()+)=0故對(duì)由復(fù)合函數(shù)的知識(shí)可知，y=4sin(-2x+)的遞增區(qū)間為滿足不等式2k+-2x+2k+的 x的集合，故錯(cuò)綜合得只有正確故填 2函數(shù)f(x)=2cos2x+ (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當(dāng)方程f(x)+a=0有解時(shí)，求a的取值范圍；(3)當(dāng)cos()=時(shí)，求f(x)的值難點(diǎn)2 運(yùn)用三角恒等變形求值 1若關(guān)于x的方程x2-4xSin+tan=0(有兩個(gè)相同的實(shí)根 (1)求a的取值

21、范圍； (2)當(dāng)a=時(shí)，求cos(+)的值【解析】 (1)利有=0可得a表示為的函數(shù)，通過(guò)來(lái)值域即可得a的取值范圍 (2)可先通過(guò)第(1)問(wèn)結(jié)果求出sin2的值，再運(yùn)用降冪公式可求得cos2(+)的值，再求cos(+)的值就容易了【答案】 (1)=16sin2-4atan=0 ，sin0 故4sin- ， a=4sincos=2sin2，2, 0sin201，0a2 (2)由=2sin2， sin2= cos()= 而2已知(0，)，sin-cos=,求的值 【解析】 由已知可求得sin2及tan的值，因此只要把 化為sin-cos，sin2，及tan表示的式子，再代入計(jì)算即可 【答案】 解法

22、1 把sin-cos兩邊平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0，)，()，求sin(+)的值 【解析】 注意已知角與未知角之間的聯(lián)系，即+=+-(-)- 【答案】 由已知，()所以難點(diǎn)3 向量與三角函數(shù)的綜合 1已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=ab-1 (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間【解析】 用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出y=f(x)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解【答案】 (1)f(x)=ab-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+c

23、osx=2sin(2x+)(2)令函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為k+kZ. 2設(shè)a=(1+cos，sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)(0，)，(，2)，a與b的夾角為1，b與c的夾角為的值【解析】 通過(guò)向量的夾角公式找到1、2與、的關(guān)系，從而得1-2與-的關(guān)系，進(jìn)而求得 sin的值 【答案】根據(jù)題意，cos1=3已知a=(sino，cos)，b=(cos，sin)，b+c=(2cos， 0)，ab=,ac=求cos2(+)+tancot的值 【典型習(xí)題導(dǎo)練】 1 已知x，cos2x=a，則sinx ( ) A B-C D 答案：B 解析：由-x0知sinx0，sin2x=.sin

24、x=-2已知的值為 ( ) A. B. C. D.答案： A 解析：bc BObc COc6 D6cO 5 已知f()=,則f()取得最大值時(shí)的值是 ( ) A BC D答案： B 解析：f(x)=當(dāng)sin2a=1，即=時(shí)f(x)有最大值6 若sin+cos=tan(0)，則( ) 答案： C 解析：0+O,w0)的圖像在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)為M(2，2)，與x軸在原點(diǎn)右側(cè)的第一個(gè)交點(diǎn)為N(0,0) (1)求這個(gè)函數(shù)的解析式；答案：解：（1）根據(jù)題意可知，A=2=6-2=4，T=16，于是w=所以y=2將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入y=2即sin.滿足為最小正數(shù)解，即.故所求的解析工為y=2(2)此函數(shù)可

25、以由y=sinx經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到?(寫出每一個(gè)具體變換) y=2sin()11 已知三點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(3，0)，B(0，3)C(cos，sin)，kZ，若=-1，求的值 (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；答案： f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2ab=2+(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 答案：由x-得x+ 當(dāng)x+=，即x=-時(shí)，函數(shù)f(x)取最大值+2；當(dāng)x+=，即x=時(shí)，函數(shù)f(x)取最小值為013 已知為第二象限的角，sin=，為第一象限的角，cos=，求tan(2-)的值 答案：解：為第二象限的角，sin=，cos=-.tan=-，又

26、為第一象限的角，cos=，sin14如圖所示，有一農(nóng)民在自留地建造一個(gè)長(zhǎng)10 m，深05 m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽側(cè)面材料每平方米造價(jià)50元，頂蓋材料每平方米造價(jià)10元 (1)把建立引水槽的費(fèi)用y(元)表示為引水槽的側(cè)面與地面所成的角DAE=的函數(shù)；答案：作AHCD，垂足為H，則AH=,ADH=AH(AB+CD).即(2)引水槽的側(cè)面與地面所成的角多大時(shí)，其材料費(fèi)最低?最低材料費(fèi)是多少?(精確到001，1732)答案：等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) 3tan=cot即tan= =60即當(dāng)引槽的側(cè)面與地面所成角為60材料費(fèi)最低為6464元(3)按照題沒(méi)條件，在引水槽的深度和橫截面積及所在的材料不改變的情況下，將引水槽的橫截面形狀改變?yōu)檎叫螘r(shí)的材料費(fèi)與(2)中所求得的材料費(fèi)相比較，哪一種設(shè)計(jì)所用材料費(fèi)更省?省多少?答案：截面為正方形時(shí)，材料費(fèi)為10=700元所以橫截面為等腰梯形時(shí)比橫截面為正方形時(shí)，材料費(fèi)用較省，省536元26用心 愛(ài)心 專心