2012高考數(shù)學 考前沖刺第三部分專題五 三角函數(shù)

2012考前沖刺數(shù)學第三部分【高考預測】1.掌握三角函數(shù)概念，其中以三角函數(shù)的定義學習為重點。（理科：兼顧反三角）2.提高三角函數(shù)的恒等變形的能力，關鍵是熟悉誘導公式、同角關系、和差角公式及倍角公式等，掌握常見的變形方法。3.解決三角函數(shù)中的求值問題，關鍵是把握未知與已知之間的聯(lián)系。4.熟練運用三角函數(shù)的性質，需關注復合問題，在問題轉化過程中，進一步重視三角恒等變形。5.掌握等的圖象及性質，深刻理解圖象變換之原理。6.解決與三角函數(shù)有關的（常見的）最值問題。7.正確處理三角形內的三角函數(shù)問題，主要是理解并熟練掌握正弦定理、余弦定理及三角形內角和定理，提高邊角、角角轉化意識。8.提高綜合運用的能力，如對實際問題的解決以及與其它章節(jié)內容的整合處理?！疽族e點點睛】對癥下荮填 y=作出其圖像知原函數(shù)的最小正周其為2，最大值為-.故最小正周期和最大值之和為2-.2函數(shù)f(x)=sinx+2|sinx|,x（0，2）的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，則眾的取值范圍是 .【錯誤答案】 填0，3 f(x)= f(x)的值域為(0，3)，f(x)與y=k有交點， k0，3 【錯解分析】 上面解答求出k的范圍只能保證y= f(x)的圖像與y=k有交點，但不能保證y=f(x)的圖像與y=k有兩個交點，如k=1，兩圖像有三個交點因此，正確的解答要作出了y=f(x)的圖像，運用數(shù)形結合的思想求解 【正確解答】 填(1，3)f(x) 作出其圖像如圖從圖5-1中可看出：當1<k<3時，直線y=k與 yf(x)有兩個交點 3(2012模擬題精選)要得到函數(shù)y=cosx的圖像，只需將函數(shù)y=sin(2x+)的圖像上所有的點的 ( ) A.橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變)，再向左平行移動 個單位長度 B橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度 C橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向左平行移動個單位長度 D橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，再向右平行移動個單位長度【錯誤答案】 B或D將函數(shù)y=sin(2x+)的所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得函數(shù)y=sin(x+)的圖像，再向右平行移動子個單位長度后得函數(shù)y=sin(x+)= cosx的圖像故選B將函數(shù)y=sin(2x+)變形為y=sin2(x+)若將其圖像橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)后得函數(shù)y=sin(x+)的圖像再向右平行移動 個單位長度后得y=cosx的圖像，選D【錯解分析】 選B有兩處錯誤，一是若將函數(shù)y f(x)=sin(2x+)橫坐標縮短到原來的倍，(縱坐標標不變)所得函數(shù)y=f(x)= sin(4x+)，而不是f(x)=sin(x+)，二是將函數(shù)y=f(x)=sin(x+)向右平行移動得函數(shù)y=f(x)=sinx的圖像，而不是y= f(x)=cosx的圖像因為函數(shù)圖像變換是針對自變量而言，應該是x變?yōu)閤-選D同樣是兩處錯誤一是橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)得函數(shù)y=sin(x+)而不是y=sin(x+)由y=sin(x+)的圖像向右平移個單位長度得了y=sinx的圖像，而不是y=cosx的圖像【錯誤答案】 (1)x=是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸，sin(2×+)=±1， + =k+k Z =k+ ，-<<0， =-(2)由(1)知 =，因此y=sin(2×-)最小正周期為T=.由題意得k-2x-k+，kZ解得 k+xk+，kZ所以函數(shù)y=sin(2x-)的單調查遞增區(qū)間為【錯解分析】 以上解答錯在第（2）小題求函數(shù)單調區(qū)間時，令處，因若把看成一個整體u，則y=sinu的周期為2。故應令，解得的x范圍才是原函數(shù)的遞增區(qū)間.【正確解答】（1）解法1 是函數(shù)y=f(x)的圖像的對稱軸，sin(2×+)=±1。解法2 x=是y=f(x)圖象的對稱軸，對任意的x有f(x)=f(-x).令x=0時，有f(0)=f().即sin=sin(+)=cos.即tan=1.又(2)由（1）得,因此，由題意得（3）由知x0y-1010故函數(shù)y=f(x)在區(qū)間0,上圖像是5.求函數(shù)的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在0，上的單調遞增區(qū)間.【錯誤答案】 當時，函數(shù)y有最小值-2. 當時，函數(shù)單調遞增. 函數(shù)遞增區(qū)間是.【錯解分析】上面解答錯在求函數(shù)的遞增區(qū)間上，當x0，時，2x- (-,)函數(shù)不為單調函數(shù)應先求出函數(shù)y=2sin(2x-)在R上的單調遞增區(qū)間，再求它與區(qū)間0，的交集【正確解答】 函數(shù)y=sin4x+sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ sin2x =sin2x-cos2x=2sin(2x-)故該函數(shù)的最小正周期是.當2x-=2k-時，即x=k-時，y有最小值2令2k-2x-2k+，kZ解得k-xk+，kZ令K=0時，-x又0x，0x， K=1時， x 又0x.x.函數(shù)y=2sin(2x-)的遞增區(qū)間是0， ，【特別提醒】一般地，y=Asib(x+)的圖象向左平移a個單位得到y(tǒng)=Asin(x+a)+ 的圖象，再把其上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模吹玫統(tǒng)=Asinw1+a+的圖像【變式探究】 1 已知函數(shù)y=tan 在(-,)內是減函數(shù)，則 ( ) A0<1 B-1<0 C.1 D -1 答案：D解析函數(shù)y=tan x在（-）內是減函數(shù)，w<0，又函數(shù)y=tan(-wx)在（）上是增函數(shù)，有2 函數(shù)f(x)=|sinx+cosx|的最小正周期為 ( ) A B. C D2 答案： C 解析：f(x)=|sin(x+)|y=sin(x+) 的最小正周期為2，f(x)=|sin(x+)|的最小正周期為.3 當0<x<時，函數(shù)f(x)=的最小值為 ( ) A.2 B2 C4 D. 4答案： C 解析：f(x)=cotx+4tanx0<x<，tan x >0，cot x>0，f(x)4 化簡f(x)=cos(+2x)+cos(-2x)+ 2(xR，kZ)求函數(shù)f(x)的值域和最小正周期【錯解分析】 上面解答錯在由cos2=得sin2=±時沒有考慮角是第四象限角2是第三、四象限角sin2只能取負值因而tan2也只能為負值【正確解答】 -=cos2+2cos2=2cos2+1=cos2=又為第四象限角，即2k+<< 2k+2，kZ，4k+3<2<4k+4，kZ 即2為第三、四象限角sin2=- 2(2012模擬題精選)已知-<x<0，sinx+cosx=， (1)求sinx-cosx的值； (2)求的值=sinxcosx(2-sinx -cosx)變形時認為2sin2 =1+cosx，用錯了公式，因為 2sin2 =1-cosx因此原式化簡結果是錯誤的【正確解答】 解法1 (1)由sinx+cosx=，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- <x<0，sinx<0，cosx>0，sinx-cosx<0sinx-cosx= (2)解法2 (1)聯(lián)立方程由得slnx=-cosx，將其代入，整理得25cos2x- 5cosx-12=0，cosx=-或(cosx=)- <x<0，故sinx-cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(2012模擬題精選)已知6sin2+sincos-2cos2=0，求sin(2+)的值 即【錯解分析】 上述解答忽視了題設條件提供的角的范圍的運用，(,)，tan<0，tan=應舍去，因此原題只有一解 【正確解答】 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知條件可知cos20，所以，即(，)于是tan<0，tan=sin(2+)=sin2cos+cos2·sin 【錯誤答案】 f(x) =sinx的最大值為1，a=3【錯解分析】 上面解答在三角恒等變形中，用錯了兩個公式：1+cos2x2sin2x；sin(+x)sinx因為 cos2x=1-2sin2x=2cos2x-11+cos2x=2cos2x由誘導公式“奇變偶不變”知sin(+x)=cosx【正確解答】 f(x)=其中角滿足由已知有=4，解之得，a=【特別提醒】由于三角函數(shù)式中包含著各種角，不同的三角函數(shù)的種類，以及不同的式了結構，所以三角函數(shù)配湊、降次與升冪、引入輔助角等.同時在三角恒等變形中應多觀察，以便發(fā)現(xiàn)角、三角函數(shù)名稱及式子結構差異，運用公式，找出差異的內在聯(lián)系，選擇適當?shù)墓酱偈共町惖霓D化.另外，由于公式記錯而在考試中失分是很常風的，應該熟練掌握各種要求記的公式及其使用范圍.【變式探究】 1 ( ) Atan Btan2c1 D3 已知、均為銳角，且cos(+)=sin(-)，則tan= . 答案：1 解析：cos(+)=sin(-)cos cos-sin sin=sin cos-cos·sincos(cos+sin) =sin(sin+cos) (0，)，sin>0，cos>0，tan(=14 已知函數(shù)f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值；答案：sin(2)設(0，),f()=，求sin的值 答案： 16sin2-4sin-11=0，解得sin=(0，)，sin>0，則sin=已知函數(shù)f(x)=2sin2x+sin2x，x(0，2)求使f(x)為正值的x的集合 =(+a2)sin(x+) f(x)的最大值為+a2令+a2=+3 a=±易錯點3 三角函數(shù)的綜合應用1(2012模擬題精選)如圖，在直徑為1的圓O中，作一關于圓心對稱、鄰邊互相垂直的十字形，其中y>x>0()將十字形的面積表示為的函數(shù)；()為何值時，十字形的面積最大?最大面積是多少?【錯誤答案】 設S為十字形的面積，則S=2xy=2sin· cos=sin2(<) (2)當sin2=1即= 時，S最大，S的最大值為1【錯解分析】 上面解答錯在面積S的計算上，因為十字形面積等于兩個矩形面積和還需減去中間一個邊長為 x的正方形面積 【正確解答】 (1)設S為十字形的面積，則S=2xy-x2=2sincos-cos2(<< ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1，即2-=時，S最大當=時，S最大，S的最大值為 解法2 S=2sincos-cos2，S=2cos2- 2sin2+2sin·cos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0， 可解得=arctan(-2)當=arctan(-2)時，S最大，S的最大值為 2(2012模擬題精選)若0<x<，則2x與3sinx的大小關系為 ( ) A2x>3sinx B2x<3sinx C2x=3sinx D與x的取值有關【錯誤答案】 選A 設f(x)=2x-3sinx，f(x)= 2-3cosx，0<x<f(x)>0 f(x)在(0，)上是增函數(shù) f(x)>f(0)=0即2x>3sinx，選A 【錯解分析】f(x)=3(-cosx)當0<x<時，f(x)不一定恒大于0，只有當x(arccos)時 f(x)才大于0因而原函數(shù)f(x)在(0，)先減后增函數(shù)，因而2x與3sinx的大小不確定 【正確解答】 選D 設y=(x)=2x-3sinx， y=2-3cosx=3(-cosx)當cosx<即x(arccos)時，y>0當x(0，arcccos)時，y<0即當x(arccos，)時，f(x)>0口P2x>3sinx當x(0，arccoss)時，f(x)<0即2x<3sinx故選D 3(2012模擬題精選)設函數(shù)f(x)=xsinx(xR)(1)證明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ；(2)設x0是f(x)的一個極值點證明f(x0)2=； (3)設f(x)在(0，+)的全部極值點按從小到大的順序a1,a2，an，證明：<an+1-an< 【錯誤答案】 (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x+2k)-f(x)=(x+2k)·sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2karsinx(2)函數(shù)f(x)在定義域R上可得f(x)=sinx+ xcosx令f(x)=0，sinx+xcosx=0顯然，對于滿足上述方程的x有cosx0，上述方程化簡為x=-tanx，此方程一定有解,f(x)的極值點x0一定滿足tanx0=-x0· (3)證明：設x0>0是f，(x0)=0的任意正實根即x0 =-tax0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0(+k，+ k)即x0在第二或第四象限內 由題設條件，a1，a2，an為方程x=-tanx的全部正實根,且滿足a1<a2<a3，an，那么對于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n< an+1<+n，則<an+1-an< 由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an-1，-an)< 0由此可知an+1-an必在第二象限 <an+1-an< 【錯解分析】 上面解答的錯誤出現(xiàn)在第三小題的證明，設x0是f(x0)的根，則認為x0是f(x)的一個極值點，沒有判斷f(x)在(+k，x0)和(x0+k)上的符號是否異號，這顯然是錯誤的 【正確解答】 (1)證明：由函數(shù)f(x)的定義，對任意整數(shù)k，有f(x+2k)-(x)=(x+2k)sin(x+2k)- xsinx=(x+2k)sinx-xsinx=2ksinx (2)證明：函數(shù)f(x)在定義域R上可導f(x)=sinx +xcosx， 令f(x)=0，得sinx+xcos=0顯然，對于滿足上述方程x有cosx0，上述方程化簡為x=-tanx如圖所示，此方程一定有解f(x)的極值點x0一定滿足tanx0=-x0·由sin2x=f(x0)2=(3)證明：設x0>0是f(x)=0的任意正實根，即x0-tanx0，則存在一個非負整數(shù)k，使x0(+k，+k)，即x0在第二或第四象限內由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符號可列表如下：X()f(x)的符號K為奇數(shù)-0+K為偶數(shù)+0-所以滿足f(x)=0的正根x0都為f(x)的極值點由題設條件，a1,a2，an為方程x=-tanx的全部正實根且滿足a1<a2<<an<那么對于n=1，2， an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)<an<+(n-1)，+n<an+1<+n，則<an+1-an<,由于tanan+1·tanan>0，由式知tan(an+1-an)<0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-an<.綜上，<an+1-an<【特別提醒】處理與角度有關的應用問題時，可優(yōu)先考慮三角方法，其一般步驟是：具體設角、構造三角函數(shù)模型，通過三角變換來解決另外，有些代數(shù)問題，可通過三角代換，運用三角知識來求解有些三角問題，也可轉化成代數(shù)函數(shù)，利用代數(shù)知識來求解如前面第2、3題 【變式探究】 1將參數(shù)方程(為參數(shù))化為普通方程，所得方程是 答案：解析：(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4，則x-y的最大值是 . 答案：2解析：設x：2cos，y=2sin，則x-y=2(sin-cos)=2sin(-) 當=2k+時,(x-y)max=23 某體育館擬用運動場的邊角地建一個矩形的健身室如圖所示， ABCD是一塊邊長為50米的正方形地皮，扇形CEF是運動場的一部分，其半徑為40米，矩形AGHM就是擬建的健身室，其中C、M分別在AB和AD上，H在EF上，設矩形AGHM的面積為 S，HCF=，請將S表示為的函數(shù)，并指出當點H在EF的何處時，該健身室的面積最大，最大面積是多少? 當t=1時，S有最大值，且S最大值=500 此時，2sincos=0，即 sin 2=0 02,=0或， 當H在EF的端點E或F處時，健身室面積最大，最大面積為500平方米4 已知函數(shù)f(x)=sin(1)將f(x)寫成Asin(x+)+k的形式并求其圖像對稱中心的橫坐標；答案：解f(x)=sin(x+)+ ， 由sin(x+)=0，即x-=k(kZ) 得x=，kZ 即對稱中心的橫坐標為，kZ(2)如果ABC的三邊。a，b,c成等比數(shù)列，且邊 b所對的角為x，試求x的取值范圍及此時函數(shù)f(x)的值域答案：解析：(2)由已知b2=ac，cosx= 0<xsin<sin(x+)1 即f(x)的值域為，1+【知識導學】難點1 三角函數(shù)的圖象和性質 1關于函數(shù)f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命題： 由f(x1)=f(x2)，可得x1-x2必是的整數(shù)倍；若<x1,x2<，且2f(x1)=f(x1+x2+)，則x1<x2；函數(shù)y=f(x)的圖像關于點(-，0)對稱函數(shù)y=f(-x)的單凋遞增區(qū)間可由不等式2k-2x+2k+(kZ)求得 其中正確命題的序號是 .圖像的對稱點，x=,4sin(2·()+)=0故對由復合函數(shù)的知識可知，y=4sin(-2x+)的遞增區(qū)間為滿足不等式2k+-2x+2k+的 x的集合，故錯綜合得只有正確故填 2函數(shù)f(x)=2cos2x+ (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)當方程f(x)+a=0有解時，求a的取值范圍；(3)當cos()=時，求f(x)的值難點2 運用三角恒等變形求值 1若關于x的方程x2-4x·Sin+·tan=0(<<有兩個相同的實根 (1)求a的取值范圍； (2)當a=時，求cos(+)的值【解析】 (1)利有=0可得a表示為的函數(shù)，通過來值域即可得a的取值范圍 (2)可先通過第(1)問結果求出sin2的值，再運用降冪公式可求得cos2(+)的值，再求cos(+)的值就容易了【答案】 (1)=16sin2-4a·tan=0 <<，sin0 故4sin- ， a=4sincos=2sin2，<2<, ·0<sin20<1，0<a<2 (2)由=2sin2， sin2= cos()= 而2已知(0，)，sin-cos=,求的值 【解析】 由已知可求得sin2及tan的值，因此只要把 化為sin-cos，sin2，及tan表示的式子，再代入計算即可 【答案】 解法1 把sin-cos兩邊平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0，)，()，求sin(+)的值 【解析】 注意已知角與未知角之間的聯(lián)系，即+=+-(-)- 【答案】 由已知，()所以難點3 向量與三角函數(shù)的綜合 1已知向量a=(2sinx，cosx)，b=(cosx，2cosx)，定義函數(shù)f(x)=a·b-1 (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期； (2)求函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間【解析】 用向量的數(shù)量積的坐標運算求出y=f(x)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質求解【答案】 (1)f(x)=a·b-1=sinxcosx+2cos2x- 1=sin2x+cosx=2sin(2x+)(2)令函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為k+kZ. 2設a=(1+cos，sin)，b=(1-cos，sin)，c=(1，0)(0，)，(，2)，a與b的夾角為1，b與c的夾角為的值【解析】 通過向量的夾角公式找到1、2與、的關系，從而得1-2與-的關系，進而求得 sin的值 【答案】根據(jù)題意，cos1=3已知a=(sino，cos)，b=(cos，sin)，b+c=(2cos， 0)，a·b=,a·c=求cos2(+)+tan·cot的值 【典型習題導練】 1 已知x，cos2x=a，則sinx ( ) A B-C D 答案：B 解析：由-<x<0知sinx<0，sin2x=.sinx=-2已知的值為 ( ) A. B. C. D.答案： A 解析：<<，sin(-)=，cos(-)=3 設，則有 ( ) AO>b>c BO<b<c CO<c<6 D6<c<O 5 已知f()=,則f()取得最大值時的值是 ( ) A BC D答案： B 解析：f(x)=當sin2a=1，即=時f(x)有最大值6 若sin+cos=tan(0<<)，則( ) 答案： C 解析：0<+<+，sin(+)(，1)sina+cos=sin(+)(1，)，即tan(，)故()7的值是 . 答案：解析：1+tan10°= 原式=8 函數(shù)y=(sin-2x)的單調減區(qū)間是 . 答案：(k)解析：函數(shù)變形為即函數(shù)單調減區(qū)間為（k）9 求函數(shù)f(x)=的最小正周期、最大值和最小值 答案：解析：f(x)=所以函數(shù)f(x)的最小正周期為，最大值是，最小值是.10 已知函數(shù)y=Asin(w+)(xR)(其中A>O,w>0)的圖像在y軸右側的第一個最高點為M(2，2)，與x軸在原點右側的第一個交點為N(0,0) (1)求這個函數(shù)的解析式；答案：解：（1）根據(jù)題意可知，A=2=6-2=4，T=16，于是w=所以y=2將點M的坐標代入y=2即sin.滿足為最小正數(shù)解，即.故所求的解析工為y=2(2)此函數(shù)可以由y=sinx經過怎樣的變換得到?(寫出每一個具體變換) y=2sin()11 已知三點A，B，C的坐標分別為A(3，0)，B(0，3)C(cos，sin)，kZ，若=-1，求的值 (1)若f(x)=(a+b)2，求f(x)的解析式；答案： f(x)=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+(2)求函數(shù)f(x)的最大值和最小值； 答案：由x-得x+ 當x+=，即x=-時，函數(shù)f(x)取最大值+2；當x+=，即x=時，函數(shù)f(x)取最小值為013 已知為第二象限的角，sin=，為第一象限的角，cos=，求tan(2-)的值 答案：解：為第二象限的角，sin=，cos=-.tan=-，又 為第一象限的角，cos=，sin14如圖所示，有一農民在自留地建造一個長10 m，深05 m，橫截面為等腰梯形的封閉式引水槽側面材料每平方米造價50元，頂蓋材料每平方米造價10元 (1)把建立引水槽的費用y(元)表示為引水槽的側面與地面所成的角DAE=的函數(shù)；答案：作AHCD，垂足為H，則AH=,ADH=AH(AB+CD).即(2)引水槽的側面與地面所成的角多大時，其材料費最低?最低材料費是多少?(精確到001，1732)答案：等號當且僅當 3tan=cot即tan= =60°即當引槽的側面與地面所成角為60°材料費最低為6464元(3)按照題沒條件，在引水槽的深度和橫截面積及所在的材料不改變的情況下，將引水槽的橫截面形狀改變?yōu)檎叫螘r的材料費與(2)中所求得的材料費相比較，哪一種設計所用材料費更省?省多少?答案：截面為正方形時，材料費為×10=700元所以橫截面為等腰梯形時比橫截面為正方形時，材料費用較省，省536元26用心 愛心 專心