2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第三部分專題四 數(shù)列

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1、 2012考前沖刺數(shù)學(xué)第三部分 【高考預(yù)測】1.數(shù)列的概念 2.等差數(shù)列3.等比數(shù)列 4.差與等比數(shù)列的綜合5.數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合 6.數(shù)列的應(yīng)用7.數(shù)列的概念 8.等差數(shù)列與等比數(shù)列9.數(shù)列的通項與前n項和 10.遞推數(shù)列與不等式的證明11.有關(guān)數(shù)列的綜合性問題 12.數(shù)列的實際應(yīng)用13.數(shù)列與圖形 【易錯點點睛】易錯點 1 數(shù)列的概念1(2012模擬題精選)已知數(shù)列an滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，則an的通項an=_.【錯誤答案】 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，

2、兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此類推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由疊乘法可得an=【錯解分析】 在求數(shù)列的通項公式時向前遞推一項時應(yīng)考慮n的范圍當n=1時，a1=與已知a1=1，矛盾【正確解答】 n2時，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 當n3時，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1當n3時，=n，an=n43a2=a2，a2=a1=1當n2時，an= . 當n=1時，a1=1故an= 2(2012模擬題精選)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,Sn=(對于所有n1)，且a4=

3、54，則a1的數(shù)值是_.【錯誤答案】Sn=,此數(shù)列是等比數(shù)列，首項是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2【錯解分析】 此題不知數(shù)列an的類型，并不能套用等比數(shù)列的公式而答案一致是巧合【正確解答】a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n2)(1)求a2，a3；(2)求通項an的表達式【錯誤答案】 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1【

4、錯解分析】 (2)問中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個變量，故不符合等差數(shù)列的定義【正確解答】 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=.4(典型例題)等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，則此數(shù)列前20項和等于 ( )A.160 B180 C. 200 D220則使前n項和Sn0成立的最大自然數(shù)n是 ( )A.4005 B4006 C.4007 D.4008【錯誤答案】 a2004+a20030

5、，即2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使na1+d0這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a20030，a20040【錯解分析】 此題運用等差數(shù)列前n項的性質(zhì)及圖象中應(yīng)注意a20030，a20040 且忽視了這兩項的大小3(2012模擬題精選)設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項和為Sn. ()若首項a1=，公差d=1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; ()求所有的無窮等差數(shù)列an；使得對于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立【錯誤答案】 (1)當a1=,d=1時，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4

6、k0故k=4()由對一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對切正整數(shù)k恒成立 故 求得a1=0或1，d=0 等差數(shù)列an=0,0,0,，或an=1，1，1，【錯解分析】 ()中解法定對一切正整數(shù)k都成立而不是一切實數(shù)故而考慮取k的特值也均成立【正確解答】 ()當a1=,d=1時，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 當a1=0時

7、，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當a1=1時,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個滿足條件的無窮等差數(shù)列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3

8、，5，.4.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an的各項都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)證明anan+12,nN.(2)求數(shù)列an的通項公式an.【錯誤答案】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1當n=1時，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命題正確.2假設(shè)n=k時有ak-1ak2.則n=k+1時，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak

9、-2)22.n=k+1時命題正確.由1、2知，對一切nN時有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,bn=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.【錯解分析】 在（）問中求bn的通項時，運用疊代法.最后到b0而不是b1.【特別提醒】1.要善于運用等差數(shù)列的性質(zhì)：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質(zhì)進行數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列問題.2.會運用一般與特殊的邏輯思維,

10、利用滿足條件的特值求相關(guān)參數(shù)的值,學(xué)會分析問題和解決問題.【變式探究】1 在等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 ( )A.14 B.15 C.16 D.17答案： C分析：略。2 等差數(shù)列an中,若其前n項的和Sn=,前m項的和Sm=(mn,m,nN*),則 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2答案： B分析：略。 ()將Sn表示成關(guān)于an的函數(shù).答案：由a4在數(shù)列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差為-1的等差數(shù)列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,

11、是等比數(shù)列，公比為q，|q|1,這個等比數(shù)列的所有項之和等于.(1)求數(shù)列an的通項公式;答案：設(shè)bn=log2(3an+1-an),因為 bn是等差數(shù)列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-an=2-n設(shè)cn=2an+1-an,cn是等比數(shù)列，公比為q,|q|1,c1=2a2-a1=2由 由,解得(2)計算(a1+a2+an). (2)過點Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直線l1、l2,設(shè)l1與l2的夾角為，求證：tan答案：直線l2的方程為y-a1=d(x-),直線l2的斜率為d.tan=當且僅當易錯點3 等比數(shù)列1數(shù)列

12、an的前n項和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3).證明:()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn+1=4an.【錯誤答案】 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=S2=24=8.S3=1+3+8=12.即.故是公比為2的等比數(shù)列.()由()知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對于任意正整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.【錯解分析】 ()中利用有限項判斷數(shù)列類型是運用不完全歸納法,應(yīng)給予證明. ()中運用前推一項必須使 n2.【錯誤答案】 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),

13、得a2=.()an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首項為-，公比為-的等比數(shù)列.【錯解分析】 在利用an=Sn-Sn-1公式時,應(yīng)考慮n2時才能成立.【正確解答】()由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()當n1時,an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以an是首項為-,公比為-的等比數(shù)列.3.(2012模擬題精選)等比數(shù)列的四個數(shù)之和為16,中間兩個數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或【錯誤答案】 設(shè)

14、這四個數(shù)為,aq,aq3.由題意得由得a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應(yīng)選A.【錯解分析】 上述解答設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當于增加了四個數(shù)同號這個條件,而題設(shè)中的四個數(shù)不一定同號.因此,產(chǎn)生了漏解現(xiàn)象. ()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.【錯解分析】在求證bn是等比數(shù)列是時，式子中，an中n為偶數(shù)時， 是連續(xù)兩項，并不能得出.【正確解答】()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:bn是公

15、比為的等比數(shù)列.證明如下:因為bn+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首項為a-,公比為的等比數(shù)列.()求(b1+b2+b3+bn)= 【特別提醒】1.證明等比數(shù)列時應(yīng)運用定義證為非0常數(shù),而不能(此時n2).2.等比數(shù)列中q可以取負值.不能設(shè)公比為q2.3.會運用等比數(shù)列性質(zhì),“若m+n=p+k,則aman=apak”.【變式探究】1 試在無窮等比數(shù)列, ,中找出一個無窮等比的子數(shù)列(由原數(shù)列中部分項按原來次序排列的數(shù)列),使它所有項的和為,則此子數(shù)列的通項公式為_.答案： an=分析：略。2 已知等比數(shù)列an的首項為8,Sn是其前n項的和,某同學(xué)經(jīng)計算

16、得S2=20,S3=36,S4=65,后來該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個數(shù)算錯了，則該數(shù)為（ ）AS1 B. S2 C.S3 D.S4答案： C分析：略。3 已知數(shù)列an的首項為a1,公比為q(q-1),用表示這個數(shù)列的第n項到第m項共m-n+1項的和.()計算,并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列;答案： S13=a1(1+q+q2),S46=a1q3(1+q+q2)，S79=a1q6(1+q+q2),因為()受上面()的啟發(fā),你能發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律嗎?寫出你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律,并證明.答案：一般地4 已知數(shù)列an中,a1=,an+1=an+()n+1(nN*),數(shù)列bn對任何 nN*都有bn=an+1- an.(1)求

17、證bn為等比數(shù)列;答案： bn+1=an+2若bn=0,則an+1=b1=a2-(2)求bn的通項公式;(3)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,求.答案： an+1又an+1=SN=3=Sn=2x5 已知數(shù)列an的首項為a1=2,前n項和為Sn,且對任意的正整數(shù)n,an都是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項(n2).(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列,并求通項an;使得TnRn,若存在，請求出所有n的值，若不存在請說明理由.答案：當n=1、2、3時，TnRn.即易錯點 4 等差與等比數(shù)列的綜合1.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an的前n項和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,

18、),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列xn、yn使得（ ）A.an=xn+yn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Ban=xn+yn,其中xn和yn都為等差數(shù)列Can=xnyn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Dan=xnyn,其中xn和yn都為等比數(shù)列【錯誤答案】a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比數(shù)列，故選D.【錯解分析】應(yīng)從數(shù)列an的前n項和Sn的表達式入手，而不能從形式上主觀判斷.【正確解答】C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1

19、 ()n-1為等比數(shù)列,bn-a-b為等差數(shù)列.2.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an是首項為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.() 證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.【錯誤答案】 ()由a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.從而可求q3=-,或q3=1.當q3=-時，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.當q3=1時,=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比數(shù)列.【錯解分析】本題條件中已規(guī)定q1.故應(yīng)將q=1時

20、舍去.【正確解答】()證明:由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.變形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+n(-)n-1a. (-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+n(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n(-)na=-n(-)na=a-(+n)(-)na

21、.所以Tn=(-)na.3.(2012模擬題精選)如圖，OBC的三個頂點坐標分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P1為線段BC的中點，P2為線段CO的中點，P3為線段OP1的中點，對于每一個正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點，令Pn的坐標為（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()證明yn+4=1-,nN*,()若記bn=y4n+4-y4n,nN*,證明bn是等比數(shù)列.【錯誤答案】（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類推可求得an=2()將yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=yn+4=

22、1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比數(shù)列.【錯解分析】第()問題運用不完全歸納法求出an的通項.理由不充分,第()問中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整.【正確解答】()因為y1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an為常數(shù)列.an=a1=2,nN*.()將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-

23、=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比為- 的等比數(shù)列.4.(2012模擬題精選)在等差數(shù)列an中,公差d0,a2是a1與a4的等比中項.已知數(shù)列a1,a3,akn,成等比數(shù)列,求數(shù)列kn的通項kn.【錯誤答案】an=a1+(n-1)d,=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比為3的等比數(shù)列.kn=13n-1=3n-1.【錯解分析】錯因在把k1當作數(shù)列an的首項.k1=1.而實際上k1=9.【正確解答】依題設(shè)得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d

24、),整理得d2=a1d, d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比數(shù)列.由d0,所A5 B.6 C.7 D.8答案： C設(shè)2 已知等差數(shù)列an的首項為a,公差為b;等比數(shù)列bn的首項為b,公比為a,其中a,bN+,且a1b1a2b2a3.()求a的值;答案：()若對于任意nN+,總存在mN+，使am+3=bn,求b的值；答案：即b(2n-1-m+1)=5,b=5.()在()中，記cn是所有an中滿足am+3=b,mN+的項從小到大依次組成的數(shù)列，又記Sn為cn的前n項和，SnTn(nN+).答案：由(2)知an=5n-3,bn=5.2n-1,3 設(shè)函

25、數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像是以（2，0）為頂點且過點（1，1）的拋物線；數(shù)列an 數(shù).(1)令bn=aa+1-an(nN+),證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；答案：證明:由(2)求數(shù)列an的通項公式；答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN)當k1時,b1+b2+bn-1=(a2-a1)當k=1時,b1+b2+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=an-a1 (n2)所以,當k1時an-a1=(a2-a1).上式對n=1也成立.所以,數(shù)列an的通項公式為上式對n

26、=1也成立,所以,數(shù)列an的通項公式為an=a+(n+1)(f(a)-a) (nN)(3)當|k|1時，求答案：解:當|k|1時 liman=lim nn5設(shè)實數(shù)a0，數(shù)列an是首項為a，公比為-a的等比數(shù)列，記(1+a)S=易錯點5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合1（典型例題）已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).()令bn=aa+1-an(nN*),證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；()求數(shù)列an的通項公式；()當|k|1時

27、，求【錯誤答案】()證明:由b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bn=an+1-an0(nN*).由題設(shè)條件，當n2時=k故數(shù)列bn是公比為k的等比數(shù)列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()當|k|1時=a+2.如圖，直線l1:y=kx+1-k(k0，k)與l2相交于點P

28、.直線l1與x軸交于點P1,過點P1作x軸的垂線交于直線l2于點Q1,過點Q1作y軸的垂線交直線l1于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線l2于點Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點P1，Q1，P2，Q2，點Pn(n=1,2,)的橫坐標構(gòu)成數(shù)列xn. ()證明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求數(shù)列xn的通項公式；（）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小.【錯誤答案】證明：設(shè)點Pn的坐標是（xn,yn）,由已知條件得點Qn、Pn+1的坐標分別是：.由Pn+1在直線l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,nN*.()

29、由（）知，故xn-1是等比數(shù)列，且首項x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2()n,nN*.【錯解分析】 （）問中對于xn+1-1=(xn-1)先應(yīng)考慮xn-1能否為0，繼而可求.【正確解答】（）同錯解中（）.（）解法：由題設(shè)知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1),所以數(shù)列xn-1是首項為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nN*.（）解法：由得點P的坐標為（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2(1-1)2(0-1)2+5=4

30、k2+9.（i）當|k|，即k-或k時，4k2|PP1|2+51+9=10.D而此時0|1，所以2|PPn|281+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)當0|k|，即k（-，0）（0，）時，4k2|PP1|2+51+9=10.而此時|1，所以2|PPN|281+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.已知函數(shù)f(x)=設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列bn滿足bn=|an-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn；（）證明Sn.【錯誤答案】()bn=|an-|,又an=1+，an+1=(n2),a2=2,a3=,a4=2

31、.an1.bn=由疊代法.bn.（）Sn=b1+b2+bn(-1)+.【錯解分析】運用疊代法時并不能化簡成.Sn=b1+b2+bn(-1)+（-1）.故對任意nN*,Sn【特別提醒】函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知識的交匯性，方法的靈活性.因此解此類題目應(yīng)充分運用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關(guān)系來解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問題的綜合性.【變式探究】1 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖像上兩點P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且點P的橫坐標為.（1）求證：P點的縱坐標為定值，并求出這個值；答案：（2）若Sn=f()+f()+f()+f(1)

32、,nN*，求Sn;答案：由(1)知而Sn兩式相加，得所以Sn(3)記Tn為數(shù)列的前n項和，若Tna(Sn+2+)對一切nN*都成立，試求a的取值范圍.答案：由(2)有,2已知一次函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x-y=0對稱的圖像為C，且f(-1)=0,若點（n+1,（nN*）在曲線C上，并有a1=a2=1.（1）求曲線C的方程；答案：3過P（1，0）做曲線C:y=yk(x)(0,)，kN+k1）的切線，切點為Q1，設(shè)Q1在x軸上的投影為P1，又過P1做曲線C的切線，切點為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影為P2，依次下去得到一系列點Q1，Q2，Q3，Qn的橫坐標為an.求證：（）數(shù)列an是等比數(shù)列；答案：

33、 y=kxk-1,若切點是Qn(an,a當n=1時，切線過點P(1,0)（）an1+答案：（）（）答案：記4 在xOy平面上有一系列點P1（x1,y1）,P2(x2,y2),Pn(xn,yn),對每個正整數(shù)n,點Pn位于函數(shù)y=x2(x0)的圖象上。以點Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此相外切。若x1=1,且xn+1xn(n=1,2,3).求證：數(shù)列|是等差數(shù)列；設(shè)圓Pn的面積為Sn,Tn=+，求證Tn.答案：記圓Pn的半徑為rn,由條件知，yn=所以5.f(x)=ln(2-x)+ax在開區(qū)間（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍答案： f(x)=-由于f(x)在(0

34、,1)內(nèi)是增函數(shù)若數(shù)列|an|滿足a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nN+),證明0anan+116在直角坐標平面上有一點列P1（x1,y1）,P2(x2,y2)Pn(xn,yn)對一切正整數(shù)n，點Pn位于函數(shù)y=2x+的圖象上，且Pn的橫坐標構(gòu)成以-為首項，-1為公差的等數(shù)列|xn|，求點Pn的坐標；答案：（2）設(shè)拋物線列c1 ,c2 ,c3,，cn，中的每一條的對稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點為Pn,且過點Dn(0,n2+1),記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn求：易錯點6 數(shù)列的應(yīng)用1.某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則實數(shù)

35、的取值范圍是_.【錯誤答案】 （n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+x圖象上的點，且數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需-1，即-2，的取值范圍是-2，+【錯解分析】 忽視了數(shù)列的離散型特征數(shù)列an為遞增數(shù)列，只要求滿足a1a2an【正確解答】 數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an=n2+n，其對稱軸x=-既可以不超過直線x=1，也可以在 1x之間，故-3 的取值范圍是(-3，+)(答案不唯一，-3的所有實數(shù)均可) 4(2012模擬題精選)自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN+,且x10不考慮其他因素，

36、設(shè)在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C，()求xn+1與xn的關(guān)系式；()猜測：當且僅當x1,a，b，c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變?(不要求證明)()設(shè)a=2，c=1，為保證對任意x1(0，2)，都有xn0，nN+，則捕撈強度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論【錯誤答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) ()xn=x1(nN+)由()式得xn(a-b-cxn)=0x1=()x1 (0，2)a=2c=102-b2 0b0，nN*，則捕撈強度

37、b的最大允許值是1 5(2012模擬題精選)假設(shè)某市：2004年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房預(yù)計在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長8另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價房的累計面積(以2004年為累計的第一年)將首次不少于4750萬平方米?(2)當年建造的中低價房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85?【錯誤答案】 (1)an是等差數(shù)列 an是中低價房面積a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750 即n10(2)設(shè)幾年后新建住房面積S為：400

38、(1+8)n 850，即230-100105n-1 0時，105n-223得n191因此，當2n19時，cn-1Cn；于是當n20時，CnCn-1.C19-b19857元即在A公司工作比在A公司工作的月工資收入最多可以多827元，5.某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2001年底全縣的綠化率已達30。從2002年開始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4又被沙化【知識導(dǎo)學(xué)】難點1 數(shù)列的概念1定義“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的和都為同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列a

39、n是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為_，這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為_.【解析】 由等和數(shù)列的定義可求得a2、a3、a4由此類推可求出a18，以及Sn.【答案】 由已知得：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，易得a18=3,sn=2已知數(shù)列an滿足a1=0，an+1=an+2n，那么a2006的值是 ( ) A20052003 B20062005 C20062 D20062007 【解析】 由遞推公式an+1，=an+2n，可變形為an+1-an=2n.且a1=0采用疊加法即可求出an的通項公式 【答案】 an+1=an+2n，an+1-an=2nan-an-1=2(

40、n1)，a3-a2=4，a2-a1=2，由疊加法可得an=n(n-1)，故a2006=20062005故選B3已知數(shù)列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中k=1，2，3，()求a3，a5；()求an的通項公式 難點2 等差數(shù)列與等比數(shù)列 1已知數(shù)列an是遞減等差數(shù)列，前三項之和為6，前三項之積為24，則該數(shù)列的通項公式是 ( )A-4n+4 B-4n+10C. -4n2 D-4n-4【解析】 根據(jù)已知條件建立方程(組)求解【答案】 由a1+a2+a3=3a2=6 a2=2 即a1+ a3=4，由a1a2a3=2a1a3=-24 a1a3=-12 a1，

41、 a3，是一元二次方程 x2-4x-12=0的兩個根，a1=6或-2，an是遞減的等差數(shù)列a1=6，則an=-4n +10 故選B 2數(shù)列an的前n項和為Sn，Sn=2an-3n(nN*)(1)若數(shù)列an+c引成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值； (2)求數(shù)列an的通項公式an； (3)數(shù)列an中是否存在三項，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，請求出一組適合條件的項；不存在，請說明理由【解析】 (1)利用an=Sn-Sn-1推出；(2)問運用疊代法求出通項；(3)問假設(shè)存在，再證明之【答案】 (1)由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1)得an+1=2an+3，=2，c=3 (2)a1=S1

42、=2a1-3，a1=3 由(1)知：an+3=(a1+3)2n-1，an=32n-3，nN*(3)設(shè)存在s、p、rN*，且sp r使as，ap、ar，成等差數(shù)列， 2ap=as+ar，即2(32p -3) =(32s-3) +(32r-3)，2p+1=2s+2r，2P-s+1=1+2r-ss、p、rN*且sp對一切正整數(shù)n成立； ()令bn=(n=1，2，)，判定bn與bn+1的大小，并說明理由而這等價于顯然成立所以當n=k+1時，結(jié)論成立因此，an對一切正整數(shù)n均成立證法三：由遞推公式得.上述各式相加并化簡得2n+22n+1 (n2)又n=1時，an了明顯成立，故an (n=1，2，) ()

43、解法一：解法二：解法三：故 2已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系：an+1=（nN*)，又a1=1 (1)在=1時，求數(shù)列an的通項an; (2)問在什么范圍內(nèi)取值時，能使數(shù)列an滿足不等式an+1an恒成立? (3)在-31時，證明：【解析】 (1)求出an+1與an的關(guān)系式再求出通項an.(2)由an可知an是一個遞增數(shù)列(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】 (1)在=1時，an+1=可化為要使an+1=2an+1,則an+1+1=2(an+1),疊代可得an+1=2n-1(a1+1)=2n,即an=2n-1.(2)an+1-an0恒成立，至少需使a2-a10成立，即需a2-a1=0成立，則-3下面使用數(shù)

44、學(xué)歸納法證明：在-3時，an+1an 3已知數(shù)列xn滿足：xn+1=,x1=1 (1)問是否存在mN*，使xm=2，并證明你的結(jié)論; (2)試比較xn與2的大小關(guān)系； (3)設(shè)an=|xn-2|，求證：當n2時，2-21-n【解析】 (1)由“是否存在”常用反證法假設(shè)存在(2)作差法比較(3)放縮法【答案】 （1）假設(shè)存在=2，同理xm-2=2，由此類推有x1=2這與 x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2 (2)當n2時，xn+1-2=xn+1-2與 xn-2符號相反，而x1=12，以此類推有： x2n-12 (3)xn+1=，則xn1，難點5 有關(guān)數(shù)列的綜合性問題 1設(shè)P1(x1,y1)

45、，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn) (n3，nN)是二次曲線C上的點，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，an=|OPn|2構(gòu)成了一個公差為d(d(0)的等差數(shù)列，其中O是坐標原點，記Sn=a1+a2+an (1)若C的方程為點P1(10，0)且S3=255，求點P3的坐標；(只需寫出一個) (2)若C的方程為(ab0)，點P1(a，0)，對于給定的自然數(shù)n，當公差d變化時，求Sn的最小值； (3)請選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上一點P1,對于給定的自然數(shù)n，寫出符合條件的點P1，P2，Pn存在的充要條件，并說明理由【解析】 (1)由已知設(shè)P3坐標再結(jié)合已知列出P3坐標方程，用

46、方程思想求解(2)先將Sn列出表達式，其中Sn必定是以d為自變量的一次函數(shù)，再由點Pn在拋物線上，求出d的取值范圍，則問題轉(zhuǎn)化為給定函數(shù)在某區(qū)間上的最小值問題 (3)屬開放性命題我們可選雙曲線、拋物線、圓而P1點也是任取的但如果取值不當會使問題很難處理，所以P1通常取最值點解法二：對每個自然數(shù)k(2kn)由00.原點O到雙曲線C上各點的距離h|a|，+，且.點P1,P2，Pn存在當且僅當|OPn|2,即d0解法二：若拋物線C：y2=2px，點P1(0，0，)則對于給定的n.點P1，P2，Pn存在的棄要條件是d0理由同上解法三：若圓C：(x-a)2+y2=a2 (a0)，點P1 (0，0)則對于

47、給定的n，點P1，P2，Pn存在的充要條件是00且|OPn|2= (n-1)d4a2即0d. 2已知點集L=(x，y)|y=mn，其中m=(2x-b，1)，n=(1，b+1)，點列P(an，bn)在L中，P1為L與y軸的交點，等差數(shù)列an的公差為1，nN*(1)求數(shù)列an，bn的通項公式； (2)若cn=(n2)，求(c1+c2+cn)；(3)若f(n)=(kN*)，是否存在kN*使得f(k+11)=2f(k)，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由 【解析】 (1)利用向量的坐標表示求出an,bn (2)利用裂項法求出cn的n項和(3)假設(shè)存在推出與條件是否相符 【答案】 (1)由，得y=2x+1L：y=2x+1，P1(0，1)，則a1=0，b1=1，an=n-1 (nN*)，bn=2n-1(nN*)(2)當n2時，Pn(n-1，2n-1)，|P1Pn|=(n-1)，(3)假設(shè)存在符合條件的k使命題成立當k是偶數(shù)時，k+11是奇數(shù)，則f(k+11)=k+10，f(k)=2k-1，由 f(k+11)=2f(k)，得k=4當k是奇數(shù)時，k