2012高考數(shù)學(xué) 考前沖刺第三部分專題四 數(shù)列

2012考前沖刺數(shù)學(xué)第三部分 【高考預(yù)測(cè)】1.數(shù)列的概念 2.等差數(shù)列3.等比數(shù)列 4.差與等比數(shù)列的綜合5.數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合 6.數(shù)列的應(yīng)用7.數(shù)列的概念 8.等差數(shù)列與等比數(shù)列9.數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和 10.遞推數(shù)列與不等式的證明11.有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題 12.數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用13.數(shù)列與圖形 【易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn) 1 數(shù)列的概念1(2012模擬題精選)已知數(shù)列an滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，則an的通項(xiàng)an=_.【錯(cuò)誤答案】 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此類(lèi)推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由疊乘法可得an=【錯(cuò)解分析】 在求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)向前遞推一項(xiàng)時(shí)應(yīng)考慮n的范圍當(dāng)n=1時(shí)，a1=與已知a1=1，矛盾【正確解答】 n2時(shí)，an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1 當(dāng)n3時(shí)，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2 -得 an-an-1=(n-1)an-1當(dāng)n3時(shí)，=n，an=n43a2=a2，a2=a1=1當(dāng)n2時(shí)，an= . 當(dāng)n=1時(shí)，a1=1故an= 2(2012模擬題精選)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,Sn=(對(duì)于所有n1)，且a4=54，則a1的數(shù)值是_.【錯(cuò)誤答案】Sn=,此數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)是a1，公比是3，由a4=a134-1，a1=2【錯(cuò)解分析】 此題不知數(shù)列an的類(lèi)型，并不能套用等比數(shù)列的公式而答案一致是巧合【正確解答】a4=S4-S3=(34-1)-(33-1)=54，解得a1=2 3.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an滿足a1=1，an=3n-1+an-1(n2)(1)求a2，a3；(2)求通項(xiàng)an的表達(dá)式【錯(cuò)誤答案】 (1)a1=1，a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知an=3n-1+an-1，即an-an-1=3n-1 即an成等差數(shù)列，公差d=3n-1故an=1+(n-1)3n-1【錯(cuò)解分析】 (2)問(wèn)中an-an-1=3n-1，3n-1不是常數(shù)，它是一個(gè)變量，故不符合等差數(shù)列的定義【正確解答】 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13(2)由已知an-an-1=3n-1，故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=.4(典型例題)等差數(shù)列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，則此數(shù)列前20項(xiàng)和等于 ( )A.160 B180 C. 200 D220則使前n項(xiàng)和Sn>0成立的最大自然數(shù)n是 ( )A.4005 B4006 C.4007 D.4008【錯(cuò)誤答案】 a2004+a2003>0，即2a1+2002d+2003d>0，(a1+2002d)(a1+2003d)<0，要使Sn>0即使na1+d0這樣很難求出a1，d.從而求出最大的自然數(shù) n.故而判斷a2003>0，a2004<0，所以前2003項(xiàng)為正，從第2004項(xiàng)起為負(fù)，由等差數(shù)列的n項(xiàng)和的對(duì)稱性使Sn0故而取n=4005使Sn>0【錯(cuò)解分析】 此題運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)的性質(zhì)及圖象中應(yīng)注意a2003>0，a2004<0 且忽視了這兩項(xiàng)的大小3(2012模擬題精選)設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn. ()若首項(xiàng)a1=，公差d=1，求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k; ()求所有的無(wú)窮等差數(shù)列an；使得對(duì)于一切正整數(shù)中k都有Sk2=(Sk)2成立【錯(cuò)誤答案】 (1)當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=n2+n，由Sk2=(Sk)2得k4+k2=，即k=0或k=4 k0故k=4()由對(duì)一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立 即k2a1+d=(ka1+)2即(a1-)k2-adk2(k-1)+k2(k2-1)-k2(k-1)2=0對(duì)切正整數(shù)k恒成立 故 求得a1=0或1，d=0 等差數(shù)列an=0,0,0,，或an=1，1，1，【錯(cuò)解分析】 ()中解法定對(duì)一切正整數(shù)k都成立而不是一切實(shí)數(shù)故而考慮取k的特值也均成立【正確解答】 ()當(dāng)a1=,d=1時(shí)，Sn=na1+由Sk2=(Sk)2,得k4+k2=(k2+k)2，即k3=0.又k0，所以k=4 ()設(shè)數(shù)列an的公差為d，則在Sk2=(Sk)2中分別取k=1,2,得由（1）得a1=0或a1=1. 當(dāng)a1=0時(shí)，代入（2）得d=0或d=6.若a1=0,d=0,則an=0,sn=0,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=0,d=6,則an=6(n-1),由S3=18，（S3）2=324,S9=216知S9(S3)2，故所得數(shù)列不符合題意.當(dāng)a1=1時(shí),代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得d=0或d=2.若a1=1,d=0,則an=1,Sn=n,從而Sk2=(Sk)2成立；若a1=1,d=2,則an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,從而Sk2=(Sk)2成立.綜上,共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列:an：an=0,即0，0，0，；an:an=1,即1，1，1，；an:an=2n-1,即1，3，5，.4.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù),且滿足:a0=1,an+1=an(4-an),nN.(1)證明anan+12,nN.(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.【錯(cuò)誤答案】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）1當(dāng)n=1時(shí)，a0=1,a1=a0（4-a0）=,a0a12,命題正確.2假設(shè)n=k時(shí)有ak-1ak2.則n=k+1時(shí)，ak-ak+1=ak-1(4-ak-1)-ak(4-ak)=2(ak-1-ak)-(ak-1-ak)(ak-1+ak)=(ak-1-ak)(4-ak-1-ak).而ak-1-ak0. 4-ak-1-ak0,ak-ak-10.又ak-1=ak(4-ak)=4-(ak-2)22.n=k+1時(shí)命題正確.由1、2知，對(duì)一切nN時(shí)有anan+12.(2)an+1=an(4-an)=-(an-2)2+4.2(an+1-2)=-(an-2)2an+1-2=(an-2)2令bn=an-2,bn=-()1+2+2n-1又b1=a1-2=-.bn=-()2n+2n-1.即an=2-()2n+2n-1.【錯(cuò)解分析】 在（）問(wèn)中求bn的通項(xiàng)時(shí)，運(yùn)用疊代法.最后到b0而不是b1.【特別提醒】1.要善于運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)：“若m+n=p+q,則am+an=ap+aq”；等差數(shù)列前n項(xiàng)和符合二次函數(shù)特征.借助二次函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行數(shù)形結(jié)合法解等差數(shù)列問(wèn)題.2.會(huì)運(yùn)用一般與特殊的邏輯思維,利用滿足條件的特值求相關(guān)參數(shù)的值,學(xué)會(huì)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.【變式探究】1 在等差數(shù)列an中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,則a9-a11的值為 ( )A.14 B.15 C.16 D.17答案： C分析：略。2 等差數(shù)列an中,若其前n項(xiàng)的和Sn=,前m項(xiàng)的和Sm=(mn,m,nN*),則 ( )A.Sm+n4 B.Sm+nC.Sm+n=4 D.-4Sm+n-2答案： B分析：略。 ()將Sn表示成關(guān)于an的函數(shù).答案：由a4在數(shù)列an中a1=,a2=,且log2(3a2-a1)log(3an+1-an),是公差為-1的等差數(shù)列，又2a2-a1,2a3-a2,，2an+1-an,是等比數(shù)列，公比為q，|q|1,這個(gè)等比數(shù)列的所有項(xiàng)之和等于.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;答案：設(shè)bn=log2(3an+1-an),因?yàn)?bn是等差數(shù)列，d=-1.b1=log2(3a2-a1)=log2即log2(3an+1-a)=-n,所以3an+1-an=2-n設(shè)cn=2an+1-an,cn是等比數(shù)列，公比為q,|q|<1,c1=2a2-a1=2由 由,解得(2)計(jì)算(a1+a2+an). (2)過(guò)點(diǎn)Q1(1,a1),Q2(2,a2)作直線l1、l2,設(shè)l1與l2的夾角為，求證：tan答案：直線l2的方程為y-a1=d(x-),直線l2的斜率為d.tan=當(dāng)且僅當(dāng)易錯(cuò)點(diǎn)3 等比數(shù)列1數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,aa+1=(n=1,2,3).證明:()數(shù)列是等比數(shù)列；()Sn+1=4an.【錯(cuò)誤答案】 ()已知a1=1,an+1=,a2=3S1=3,S2=4 a3=S2=24=8.S3=1+3+8=12.即.故是公比為2的等比數(shù)列.()由()知=4于是Sn+1=4(n+1)=4an.又a2=3.S2=a1+a2=4,因此對(duì)于任意正整數(shù)n1,都有Sn+1=4an.【錯(cuò)解分析】 ()中利用有限項(xiàng)判斷數(shù)列類(lèi)型是運(yùn)用不完全歸納法,應(yīng)給予證明. ()中運(yùn)用前推一項(xiàng)必須使 n2.【錯(cuò)誤答案】 ()S1=(a1-1),得a1=-,S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=.()an=Sn-Sn-1=(an-1)-(an-1-1),得,所以an是首項(xiàng)為-，公比為-的等比數(shù)列.【錯(cuò)解分析】 在利用an=Sn-Sn-1公式時(shí),應(yīng)考慮n2時(shí)才能成立.【正確解答】()由S1=(a1-1),得a1=(a1-1),a1=-.又S2=(a2-1),即a1+a2=(a2-1),得a2=. ()當(dāng)n1時(shí),an=SnSn-1=(an-1)-(an-1-1),得=-,所以an是首項(xiàng)為-,公比為-的等比數(shù)列.3.(2012模擬題精選)等比數(shù)列的四個(gè)數(shù)之和為16,中間兩個(gè)數(shù)之和為5,則該數(shù)列的公比q的取值為 ( )A. 或4 B. 或 C. 4或- D. 4或或或【錯(cuò)誤答案】 設(shè)這四個(gè)數(shù)為,aq,aq3.由題意得由得a=,代入得q=或q2=2.q2=或q2=4,故所求的公比為或4.故應(yīng)選A.【錯(cuò)解分析】 上述解答設(shè)等比數(shù)列的公比為q2是不合理的.這相當(dāng)于增加了四個(gè)數(shù)同號(hào)這個(gè)條件,而題設(shè)中的四個(gè)數(shù)不一定同號(hào).因此,產(chǎn)生了漏解現(xiàn)象. ()bn+1=a2n+1-.()求(b1+b2+b3+bn)= =.【錯(cuò)解分析】在求證bn是等比數(shù)列是時(shí)，式子中，an中n為偶數(shù)時(shí)， 是連續(xù)兩項(xiàng)，并不能得出.【正確解答】()a2=a1+=a+,a3=a2=a+;()a4=a3+=a+,所以a5=a4=a+,所以b1=a1-=a-,b2=a3-=(a-),b3=a5-=(a-),猜想:bn是公比為的等比數(shù)列.證明如下:因?yàn)閎n+1=a2n+1-=a2n-=(a2n-1-)=bn,(nN*)所以bn是首項(xiàng)為a-,公比為的等比數(shù)列.()求(b1+b2+b3+bn)= 【特別提醒】1.證明等比數(shù)列時(shí)應(yīng)運(yùn)用定義證為非0常數(shù),而不能(此時(shí)n2).2.等比數(shù)列中q可以取負(fù)值.不能設(shè)公比為q2.3.會(huì)運(yùn)用等比數(shù)列性質(zhì),“若m+n=p+k,則aman=apak”.【變式探究】1 試在無(wú)窮等比數(shù)列, ,中找出一個(gè)無(wú)窮等比的子數(shù)列(由原數(shù)列中部分項(xiàng)按原來(lái)次序排列的數(shù)列),使它所有項(xiàng)的和為,則此子數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi).答案： an=分析：略。2 已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為8,Sn是其前n項(xiàng)的和,某同學(xué)經(jīng)計(jì)算得S2=20,S3=36,S4=65,后來(lái)該同學(xué)發(fā)現(xiàn)了其中一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了，則該數(shù)為（ ）AS1 B. S2 C.S3 D.S4答案： C分析：略。3 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1,公比為q(q-1),用表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)到第m項(xiàng)共m-n+1項(xiàng)的和.()計(jì)算,并證明它們?nèi)猿傻缺葦?shù)列;答案： S13=a1(1+q+q2),S46=a1q3(1+q+q2)，S79=a1q6(1+q+q2),因?yàn)?)受上面()的啟發(fā),你能發(fā)現(xiàn)更一般的規(guī)律嗎?寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律,并證明.答案：一般地4 已知數(shù)列an中,a1=,an+1=an+()n+1(nN*),數(shù)列bn對(duì)任何 nN*都有bn=an+1- an.(1)求證bn為等比數(shù)列;答案： bn+1=an+2若bn=0,則an+1=b1=a2-(2)求bn的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,求.答案： an+1又an+1=SN=3=Sn=2x5 已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,且對(duì)任意的正整數(shù)n,an都是3Sn-4與2-Sn-1的等差中項(xiàng)(n2).(1)求證:數(shù)列an是等比數(shù)列,并求通項(xiàng)an;使得TnRn,若存在，請(qǐng)求出所有n的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.答案：當(dāng)n=1、2、3時(shí)，Tn<Rn.當(dāng)n=4、5時(shí)TN>Rn.即易錯(cuò)點(diǎn) 4 等差與等比數(shù)列的綜合1.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=a2-()n-1-b2-(n+1)()n-1(n=1,2,),其中a,b是非零常數(shù),則存在數(shù)列xn、yn使得（ ）A.an=xn+yn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Ban=xn+yn,其中xn和yn都為等差數(shù)列Can=xnyn,其中xn為等差數(shù)列，yn為等比數(shù)列Dan=xnyn,其中xn和yn都為等比數(shù)列【錯(cuò)誤答案】a2-()n-1=xn，b2-(n-1)()n-1=yn,又xn,yn成等比數(shù)列，故選D.【錯(cuò)解分析】應(yīng)從數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的表達(dá)式入手，而不能從形式上主觀判斷.【正確解答】C. a1=S1=3a an=Sn-Sn-1=a2+()n-1-b2-(n+1)()n+1-a2+()n-2+b2-n()n-2=(bn-b-a)()n-1 ()n-1為等比數(shù)列,bn-a-b為等差數(shù)列.2.(2012模擬題精選)已知數(shù)列an是首項(xiàng)為a且公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.() 證明12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列; ()求和Tn=a1+2a4+3a7+na3n-2.【錯(cuò)誤答案】 ()由a1,2a7,3a4 成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,4aq6=a+3aq3.從而可求q3=-,或q3=1.當(dāng)q3=-時(shí)，=，=q6=.故12S3，S6，S12-S6成等比數(shù)列.當(dāng)q3=1時(shí),=，=q6=1.故12S3,S6,S12-S6不成等比數(shù)列.【錯(cuò)解分析】本題條件中已規(guī)定q1.故應(yīng)將q=1時(shí)舍去.【正確解答】()證明:由a1,2a7,3a4成等差數(shù)列.得4a7=a1+3a4,即4aq6=a+3aq3.變形得(4q3+1)(q3-1)=0,所以q3=-或q3=1(舍去)由=1+q6-1=q6=,得=.所以12S3,S6,S12-S6成等比數(shù)列. ()解法:Tn=a1+2a4+3a7+na3a-2=a+2aq3+3aq6+naq3(n-2),即Tn=a+2(-)a+3(-)2a+n(-)n-1a. (-)3a得:-Tn=-a+2(-)2a+3(-)3a+n(-)na -有：Tn=a+(-)a+(-)2a+(-)3a+(-)n-1a-n(-)na=-n(-)na=a-(+n)(-)na.所以Tn=(-)na.3.(2012模擬題精選)如圖，OBC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，0）、（1，0）、（0，2），設(shè)P1為線段BC的中點(diǎn)，P2為線段CO的中點(diǎn)，P3為線段OP1的中點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,Pn+3為線段PnPn+1的中點(diǎn)，令Pn的坐標(biāo)為（xn,yn）,an=yn+yn+1+yn+2.()求a1,a2,a3及an;()證明yn+4=1-,nN*,()若記bn=y4n+4-y4n,nN*,證明bn是等比數(shù)列.【錯(cuò)誤答案】（1）y1=y2=y4=1,y3=,y5=,可求得a1=a2=a3=2,由此類(lèi)推可求得an=2()將yn+yn+1+yn+2=2同除以2，得yn+4=yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-(y4n+4-y4n)=- bn.=-.故bn是等比數(shù)列.【錯(cuò)解分析】第()問(wèn)題運(yùn)用不完全歸納法求出an的通項(xiàng).理由不充分,第()問(wèn)中=-.要考慮b1是否為0.即有意義才更完整.【正確解答】()因?yàn)閥1=y2=y4=1,y3= ,y5=,所以a1=a2=a3=2.又由題意可知yn+3=.an+1=yn+1+yn+2+yn+3=yn+1+yn+2+=yn+yn+1+yn+2=an,an為常數(shù)列.an=a1=2,nN*.()將等式y(tǒng)n+yn+1+yn+2=2兩邊除以2,得yn+=1,又yn+4=,yn+4=1-.()bn+1=y4n+8-y4n+4=-=-(y4n+4-y4n)=- bn,又b1=y8-y4=-0,bn是公比為- 的等比數(shù)列.4.(2012模擬題精選)在等差數(shù)列an中,公差d0,a2是a1與a4的等比中項(xiàng).已知數(shù)列a1,a3,akn,成等比數(shù)列,求數(shù)列kn的通項(xiàng)kn.【錯(cuò)誤答案】an=a1+(n-1)d,=a1a4(a1+d)2=a1(a1+3d).d=a1,an=nd.a1=d.a3=3d.=3=q.=q=3.kn是公比為3的等比數(shù)列.kn=13n-1=3n-1.【錯(cuò)解分析】錯(cuò)因在把k1當(dāng)作數(shù)列an的首項(xiàng).k1=1.而實(shí)際上k1=9.【正確解答】依題設(shè)得an=a1+(n-1)d,=a1a4,(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d, d0,d=a1,得an=nd,所以,由已知得d,3d,k1d,k2d,kndn是等比數(shù)列.由d0,所A5 B.6 C.7 D.8答案： C設(shè)2 已知等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a,公差為b;等比數(shù)列bn的首項(xiàng)為b,公比為a,其中a,bN+,且a1b1a2b2a3.()求a的值;答案：()若對(duì)于任意nN+,總存在mN+，使am+3=bn,求b的值；答案：即b(2n-1-m+1)=5,b=5.()在()中，記cn是所有an中滿足am+3=b,mN+的項(xiàng)從小到大依次組成的數(shù)列，又記Sn為cn的前n項(xiàng)和，SnTn(nN+).答案：由(2)知an=5n-3,bn=5.2n-1,3 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像是以（2，0）為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)（1，1）的拋物線；數(shù)列an 數(shù).(1)令bn=aa+1-an(nN+),證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；答案：證明:由(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；答案：解;由(1)知,bn=kn-1b1=kn-1(a2-a1)(nN)當(dāng)k1時(shí),b1+b2+bn-1=(a2-a1)當(dāng)k=1時(shí),b1+b2+bn+1=(n-1)(a2-a1)(n2).而b1+b2+bn-1=(a2-a1)+(a3-a2)+(a3-a2)+ +(an-an-1)=an-a1 (n2)所以,當(dāng)k1時(shí)an-a1=(a2-a1).上式對(duì)n=1也成立.所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為上式對(duì)n=1也成立,所以,數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=a+(n+1)(f(a)-a) (nN)(3)當(dāng)|k|1時(shí)，求答案：解:當(dāng)|k|<1時(shí) liman=lim nn5設(shè)實(shí)數(shù)a0，數(shù)列an是首項(xiàng)為a，公比為-a的等比數(shù)列，記(1+a)S=易錯(cuò)點(diǎn)5 數(shù)列與解析幾何、函數(shù)、不等式的綜合1（典型例題）已知定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列an滿足下列條件：a1=a,an=f(aa-1)(n=2,3,4,),a2a1,f(an)-f(an-1)=k(an-an-1)(n=2,3,4,),其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).()令bn=aa+1-an(nN*),證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()當(dāng)|k|1時(shí)，求【錯(cuò)誤答案】()證明:由b1=a2-a10,可得：b2=a3-a2=f(a2)-f(a1)=k(a2-a1)0.由數(shù)學(xué)歸納法可證bn=an+1-an0(nN*).由題設(shè)條件，當(dāng)n2時(shí)=k故數(shù)列bn是公比為k的等比數(shù)列.()由()知bn=kn-1(a2-a1)(nN*)b1+b2+bn-1=(a2-a1). (n2) 而b1+b2+bn-1=a2-a1+a3-a2+an-an-1=an-a1(n2)an-a1=(a2-a1)(n2)故an=af(a)-a (nN*)an=a+(n-1)f(a)-a(nN*)()當(dāng)|k|1時(shí)=a+2.如圖，直線l1:y=kx+1-k(k0，k)與l2相交于點(diǎn)P.直線l1與x軸交于點(diǎn)P1,過(guò)點(diǎn)P1作x軸的垂線交于直線l2于點(diǎn)Q1,過(guò)點(diǎn)Q1作y軸的垂線交直線l1于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作x軸的垂線交直線l2于點(diǎn)Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)P1，Q1，P2，Q2，點(diǎn)Pn(n=1,2,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列xn. ()證明xn+1-1=(xn-1)，(nN*);（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）比較2|PPn|2與4k2|PP1|2+5的大小.【錯(cuò)誤答案】證明：設(shè)點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（xn,yn）,由已知條件得點(diǎn)Qn、Pn+1的坐標(biāo)分別是：.由Pn+1在直線l1上，得=kxn+1+1-k.所以（xn-1）=k(xn+1-1).即xn+1-1=（xn-1）,nN*.()由（）知，故xn-1是等比數(shù)列，且首項(xiàng)x1-1=-，公比為.從而求得xn=1-2()n,nN*.【錯(cuò)解分析】 （）問(wèn)中對(duì)于xn+1-1=(xn-1)先應(yīng)考慮xn-1能否為0，繼而可求.【正確解答】（）同錯(cuò)解中（）.（）解法：由題設(shè)知x1=1-,x1-1=-0,又由（）知xn+1-1=(xn-1),所以數(shù)列xn-1是首項(xiàng)為x1-1,公比為的等比數(shù)列.從而xn-1=-()n-1,即xn=1-2()n,nN*.（）解法：由得點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）.所以2|PPn|2=2(xn-1)2+2(kxn+1-k-1)2=8()2n+2(2)2n-2,4k2|PP1|254k2(1-1)2(0-1)2+5=4k2+9.（i）當(dāng)|k|，即k-或k時(shí)，4k2|PP1|2+51+9=10.D而此時(shí)0|1，所以2|PPn|281+2=10,故2|PPn|24k2|PP1|2+5.(ii)當(dāng)0|k|，即k（-，0）（0，）時(shí)，4k2|PP1|2+51+9=10.而此時(shí)|1，所以2|PPN|281+2=10.故2|PPn|24k2|PP1|2+5.3.已知函數(shù)f(x)=設(shè)數(shù)列an滿足a1=1,an+1=f(an),數(shù)列bn滿足bn=|an-|，Sn=b1+b2+bn(nN*).（）用數(shù)學(xué)歸納法證明bn；（）證明Sn.【錯(cuò)誤答案】()bn=|an-|,又an=1+，an+1=(n2),a2=2,a3=,a4=2.an1.bn=由疊代法.bn.（）Sn=b1+b2+bn(-1)+.【錯(cuò)解分析】運(yùn)用疊代法時(shí)并不能化簡(jiǎn)成.Sn=b1+b2+bn(-1)+（-1）.故對(duì)任意nN*,Sn【特別提醒】函數(shù)、數(shù)列、解析幾何三者的綜合，展示了知識(shí)的交匯性，方法的靈活性.因此解此類(lèi)題目應(yīng)充分運(yùn)用函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系，即數(shù)列是一種特殊函數(shù)，以及解析幾何中方程與函數(shù)、數(shù)列的關(guān)系來(lái)解題.而數(shù)列與不等式的綜合更顯出問(wèn)題的綜合性.【變式探究】1 設(shè)函數(shù)y=f(x)圖像上兩點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),若，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為.（1）求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)值；答案：（2）若Sn=f()+f()+f()+f(1),nN*，求Sn;答案：由(1)知而Sn兩式相加，得所以Sn(3)記Tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若Tna(Sn+2+)對(duì)一切nN*都成立，試求a的取值范圍.答案：由(2)有,2已知一次函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱的圖像為C，且f(-1)=0,若點(diǎn)（n+1,（nN*）在曲線C上，并有a1=a2=1.（1）求曲線C的方程；答案：3過(guò)P（1，0）做曲線C:y=yk(x)(0,)，kN+k1）的切線，切點(diǎn)為Q1，設(shè)Q1在x軸上的投影為P1，又過(guò)P1做曲線C的切線，切點(diǎn)為Q2，設(shè)Q2在x軸上的投影為P2，依次下去得到一系列點(diǎn)Q1，Q2，Q3，Qn的橫坐標(biāo)為an.求證：（）數(shù)列an是等比數(shù)列；答案： y=kxk-1,若切點(diǎn)是Qn(an,a當(dāng)n=1時(shí)，切線過(guò)點(diǎn)P(1,0)（）an1+答案：（）（）答案：記4 在xOy平面上有一系列點(diǎn)P1（x1,y1）,P2(x2,y2),Pn(xn,yn),對(duì)每個(gè)正整數(shù)n,點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=x2(x0)的圖象上。以點(diǎn)Pn為圓心的圓Pn與x軸都相切，且圓Pn與圓Pn+1又彼此相外切。若x1=1,且xn+1<xn(n=1,2,3).求證：數(shù)列|是等差數(shù)列；設(shè)圓Pn的面積為Sn,Tn=+，求證Tn<.答案：記圓Pn的半徑為rn,由條件知，yn=所以5.f(x)=ln(2-x)+ax在開(kāi)區(qū)間（0，1）內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍答案： f(x)=-由于f(x)在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)若數(shù)列|an|滿足a1(0,1),an+1=ln(2-an)+an(nN+),證明0<an<an+1<16在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列P1（x1,y1）,P2(x2,y2)Pn(xn,yn)對(duì)一切正整數(shù)n，點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2x+的圖象上，且Pn的橫坐標(biāo)構(gòu)成以-為首項(xiàng)，-1為公差的等數(shù)列|xn|，求點(diǎn)Pn的坐標(biāo)；答案：（2）設(shè)拋物線列c1 ,c2 ,c3,，cn，中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于x軸，第n條拋物線cn的頂點(diǎn)為Pn,且過(guò)點(diǎn)Dn(0,n2+1),記與拋物線cn相切于Dn的直線的斜率為kn求：易錯(cuò)點(diǎn)6 數(shù)列的應(yīng)用1.某企業(yè)20典型例題)若an=n2+An,且數(shù)列an為遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【錯(cuò)誤答案】 （n,an）(nN+)是函數(shù)f(x)=x2+x圖象上的點(diǎn)，且數(shù)列an為遞增數(shù)列，只需-1，即-2，的取值范圍是-2，+【錯(cuò)解分析】 忽視了數(shù)列的離散型特征數(shù)列an為遞增數(shù)列，只要求滿足a1<a2<<an<【正確解答】 數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an=n2+n，其對(duì)稱軸x=-既可以不超過(guò)直線x=1，也可以在 1<x<之間，故-<，即>-3 的取值范圍是(-3，+)(答案不唯一，>-3的所有實(shí)數(shù)均可) 4(2012模擬題精選)自然狀態(tài)下的魚(yú)類(lèi)是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強(qiáng)度對(duì)魚(yú)群總量的影響用xn表示某魚(yú)群在第n年年初的總量，nN+,且x1>0不考慮其他因素，設(shè)在第n年內(nèi)魚(yú)群的繁殖量及捕撈量都與Xn成正比，死亡量與x2n成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a，b，C，()求xn+1與xn的關(guān)系式；()猜測(cè)：當(dāng)且僅當(dāng)x1,a，b，c滿足什么條件時(shí)，每年年初魚(yú)群的總量保持不變?(不要求證明)()設(shè)a=2，c=1，為保證對(duì)任意x1(0，2)，都有xn>0，nN+，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是多少?證明你的結(jié)論【錯(cuò)誤答案】 (1)xn+1 -xn=axn-bxn-cx2n (axn，bxn，cx2n分別為繁殖量、捕撈量，死亡量) ()xn=x1(nN+)由()式得xn(a-b-cxn)=0x1=()x1 (0，2)a=2c=10<2-b<2 0<b<2 故b最大值為2【錯(cuò)解分析】 ()問(wèn)中使用了第()問(wèn)的結(jié)論，而第()中并不一定每年年初魚(yú)群的總量不變意的nN*，都有xn(0，2)綜上所述，為保證對(duì)任意x1(0，2)，都有xn>0，nN*，則捕撈強(qiáng)度b的最大允許值是1 5(2012模擬題精選)假設(shè)某市：2004年新建住房400萬(wàn)平方米，其中有250萬(wàn)平方米是中低價(jià)房預(yù)計(jì)在今后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積均比上一年增加50萬(wàn)平方米那么，到哪一年底，(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2004年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)平方米?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85?【錯(cuò)誤答案】 (1)an是等差數(shù)列 an是中低價(jià)房面積a1=250，d=50Sn=25n2+225n由25n2+ 225n4750 即n10(2)設(shè)幾年后新建住房面積S為：400(1+8)n 85<25n2+225n【錯(cuò)解分析】 (2)問(wèn)中應(yīng)是第幾年的中低價(jià)房的面積而不是累計(jì)面積【正確解答】 (1)設(shè)中低價(jià)房面積形成數(shù)列an，由題意可知an是等差數(shù)列，其中【變式探究】 1. 將正整數(shù)排成下表：12 3 45 6 7 8 910 1l 12 13 14 15 16其中排在第i行第j列的數(shù)若記為aji，則數(shù)表中的2005應(yīng)記為_(kāi).答案： 解析：略.2.用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊，第二層用去了剩下的一半多一塊，依次類(lèi)推，每一層都用去了上層剩下的磚塊的一半多一塊，如果到第九層恰好磚塊用完，那么一共用了_塊磚答案：1022 解析：由題意知第九層為3. 已知一列非零向量an滿足：a1=(x1，y1)，an=(xn，yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n2) (1)證明：|an|是等比數(shù)列； 答案：(2)求向量an-1與an的夾角；(n2)答案： (3)設(shè)a1=(1，2)，把a(bǔ)1，a2，an，中所有與a1共線的向量按原來(lái)的順序排成一列，月工資為1500元，以后每年月工資比上一年月工資增加230元：B公司允諾第一年月工資為2000元，以后每年月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增5。設(shè)某人年初被A，B兩家公司同時(shí)錄取，試問(wèn)：若該人分別在A公司或B公司連續(xù)工作n年，則他在第n年的月工資收入分別是多少? 答案：此人在A、B公司第n年的工資分別為： an=1 500+230(n-1)(nN+)； bn=2000(1+5)n-1(nN+)(2)該人打算連續(xù)在一家公司工作10年，僅從工資收入總量較多作為應(yīng)聘的標(biāo)準(zhǔn)(不計(jì)其他因素)，該人應(yīng)該選擇哪家公司，為什么?答案：若該在A公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(a1+a2+an)304 200元若該人在B公司連續(xù)工作10年，則他的工資收入總量為12(b1+b2+bn)301 869元因?yàn)樵贏公司收入的總量高些，因此該人應(yīng)該選擇A公司(3)在A公司工作比在B公司工作的月工資收入最多可以多多少元?(精確到1元)并說(shuō)明理由(已知數(shù)據(jù)10510=1629，log1.05 23171，10518=2407) 答案：?jiǎn)栴}等價(jià)于求cn=an-bn=1 270+230n-2000105n-1(nN+)的最大值，當(dāng)2時(shí)，cn-cn-1=230-100105n-2當(dāng)cn-cn-1>0，即230-100105n-1> 0時(shí)，105n-2<23得n<191因此，當(dāng)2n19時(shí)，cn-1<Cn；于是當(dāng)n20時(shí)，Cn<Cn-1.C19-b19857元即在A公司工作比在A公司工作的月工資收入最多可以多827元，5.某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到2001年底全縣的綠化率已達(dá)30。從2002年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面，即原有沙漠面積的16將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4又被沙化【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】難點(diǎn)1 數(shù)列的概念1定義“等和數(shù)列”：在一個(gè)數(shù)列中，如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等和數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公和已知數(shù)列an是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，那么a18的值為_(kāi)，這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為_(kāi).【解析】 由等和數(shù)列的定義可求得a2、a3、a4由此類(lèi)推可求出a18，以及Sn.【答案】 由已知得：a1=2，a2=3，a3=2，a4=3，易得a18=3,sn=2已知數(shù)列an滿足a1=0，an+1=an+2n，那么a2006的值是 ( ) A20052003 B20062005 C20062 D20062007 【解析】 由遞推公式an+1，=an+2n，可變形為an+1-an=2n.且a1=0采用疊加法即可求出an的通項(xiàng)公式 【答案】 an+1=an+2n，an+1-an=2nan-an-1=2(n1)，a3-a2=4，a2-a1=2，由疊加法可得an=n(n-1)，故a2006=20062005故選B3已知數(shù)列an中a1=1，且a2k=a2k-1+(一1)ka2k+1=a2k+3k,其中k=1，2，3，()求a3，a5；()求an的通項(xiàng)公式 難點(diǎn)2 等差數(shù)列與等比數(shù)列 1已知數(shù)列an是遞減等差數(shù)列，前三項(xiàng)之和為6，前三項(xiàng)之積為24，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式是 ( )A-4n+4 B-4n+10C. -4n2 D-4n-4【解析】 根據(jù)已知條件建立方程(組)求解【答案】 由a1+a2+a3=3a2=6 a2=2 即a1+ a3=4，由a1a2a3=2a1a3=-24 a1a3=-12 a1， a3，是一元二次方程 x2-4x-12=0的兩個(gè)根，a1=6或-2，an是遞減的等差數(shù)列a1=6，則an=-4n +10 故選B 2數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=2an-3n(nN*)(1)若數(shù)列an+c引成等比數(shù)列，求常數(shù)c的值； (2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an； (3)數(shù)列an中是否存在三項(xiàng)，它們可以構(gòu)成等差數(shù)列?若存在，請(qǐng)求出一組適合條件的項(xiàng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)利用an=Sn-Sn-1推出；(2)問(wèn)運(yùn)用疊代法求出通項(xiàng)；(3)問(wèn)假設(shè)存在，再證明之【答案】 (1)由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3(n+1)得an+1=2an+3，=2，c=3 (2)a1=S1=2a1-3，a1=3 由(1)知：an+3=(a1+3)2n-1，an=32n-3，nN*(3)設(shè)存在s、p、rN*，且s<p <r使as，ap、ar，成等差數(shù)列， 2ap=as+ar，即2(32p -3) =(32s-3) +(32r-3)，2p+1=2s+2r，2P-s+1=1+2r-ss、p、rN*且s<p<r，2p-s+1、2r-s為偶數(shù)，1+2r-s為奇數(shù)，故矛盾不存在滿足條件的三項(xiàng) 3已知數(shù)列an中，Sn是其前n項(xiàng)和，并且Sn+1=4an+2 (n=1，2，)，a1=1， (1)設(shè)數(shù)列bn=an+1-2an(n=1，2，)，求證：數(shù)列bn是等比數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列cn=(n=1，2，)，求證；數(shù)列cn是等差數(shù)列； (3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和 (3)因?yàn)閏n=,又cn=n-,所以，an=(3n1)2n-2當(dāng)n2時(shí)，Sn=4an-1+2=2n-1 (3n-4)+2；當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為Sn=2n-1(3n-4)+2難點(diǎn)3 數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和 1已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=1，前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于任意的n2，3Sn-4、an、2-總成等差數(shù)列 (1)求an的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列Sn的前n項(xiàng)和為T(mén)n求Tn【解析】 (1)利用等差數(shù)列的等差中項(xiàng)性質(zhì)求出 Sn與an的關(guān)系式，再利用an=Sn-Sn-1求解(2)運(yùn)用分組求和與等比數(shù)列求出公式【答案】 (1)當(dāng)n2時(shí)，3Sn-4、an、2-成等差數(shù)列，2an=3sn-4+2-，又n2時(shí)，sn=sn-1+ an,an=3Sn-4(n2)， an+1=3Sn+1-4， -得aa+1-an=3an+1即(常數(shù))，a2，a3，a4，an，成等比數(shù)列，公比q=-由a2 =3(a1+a2)-4，a1=1得a2=,n2時(shí)，an=a2 qn-2=(-)n-2=-(-)n-1，an=(2)由(1)知：當(dāng)n=1時(shí)，Tl=S1=a1=1;n2時(shí)，Sn=Tn=S1+S2+S3+Sn=1+(n-1)-(-)+(-)2+(-)n-12設(shè)不等式組，所表示的平面區(qū)域?yàn)镈n,記Dn內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為an(nN*)，(整點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn))(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； (2)記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Tn=，若對(duì)于一切的正整數(shù)n，總有Tnm，求實(shí)數(shù)m的取值范圍3對(duì)數(shù)列an規(guī)定an為數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列，其中an=an+1-an(nN*)，對(duì)正整數(shù)k，規(guī)定kan為an的k階差分?jǐn)?shù)列，其中kan=k-1an+1-k-1an=(k-1an) (1)已知數(shù)列an通項(xiàng)公式an=n2+n(nN*)，試判斷an是否為等差或等比數(shù)列，為什么?(2)若數(shù)列an首項(xiàng)a1=1，且滿足2an-an+1+an=-2n(nN*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)對(duì)(2)中數(shù)列an,是否存在等差數(shù)列bn,使得b1c1n+b2c2n+bncnn=an對(duì)一切正整數(shù)nN*都成立?若存在，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；若不存在，則請(qǐng)說(shuō)明理由【解析】 (1)利用an的定義代入an與an+1即可判斷(2)用歸納、猜想、證明方法求an.【答案】 (1)an=aa+1-an=(n+1)2+(n+1)- (n2+n)=2n+2，an是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列(2)2an-an+1+an=-2n，即an+1-an-an+1+ an=-2n，即an-an=2n,an+1=2an+2n.a1=1， a2=4=221，a3=12=322，a4=32=423 猜想：an=n2n-1. 證明：i)當(dāng)n=1時(shí)，a1=1=l20，結(jié)論成立;)假設(shè)n=k時(shí)，ak=k2k-1當(dāng)n=k+1時(shí)，ak+1=2ak +2k=k2k+2k=(k+1)2(k+1)-1，結(jié)論也成立由)、)可知，an=n2n-1(3)b1c1n+b2c2n+bncnn=an,即b1c1n+b2c2n+存在等差數(shù)列bn, bn=n，使得對(duì)一切正整數(shù)nN*都成立難點(diǎn)4 遞推數(shù)列與不等式的證明 1設(shè)數(shù)列an滿足a1=2，an+1=an+(n=1，2，) (1)證明an>對(duì)一切正整數(shù)n成立； ()令bn=(n=1，2，)，判定bn與bn+1的大小，并說(shuō)明理由而這等價(jià)于顯然成立所以當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論成立因此，an>對(duì)一切正整數(shù)n均成立證法三：由遞推公式得.上述各式相加并化簡(jiǎn)得2n+2>2n+1 (n2)又n=1時(shí)，an>了明顯成立，故an> (n=1，2，) ()解法一：解法二：解法三：故 2已知數(shù)列an滿足遞推關(guān)系：an+1=（nN*)，又a1=1 (1)在=1時(shí)，求數(shù)列an的通項(xiàng)an; (2)問(wèn)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，能使數(shù)列an滿足不等式an+1an恒成立? (3)在-3<1時(shí)，證明：【解析】 (1)求出an+1與an的關(guān)系式再求出通項(xiàng)an.(2)由an可知an是一個(gè)遞增數(shù)列(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明【答案】 (1)在=1時(shí)，an+1=可化為要使an+1=2an+1,則an+1+1=2(an+1),疊代可得an+1=2n-1(a1+1)=2n,即an=2n-1.(2)an+1-an0恒成立，至少需使a2-a10成立，即需a2-a1=0成立，則-3下面使用數(shù)學(xué)歸納法證明：在-3時(shí)，an+1an 3已知數(shù)列xn滿足：xn+1=,x1=1 (1)問(wèn)是否存在mN*，使xm=2，并證明你的結(jié)論; (2)試比較xn與2的大小關(guān)系； (3)設(shè)an=|xn-2|，求證：當(dāng)n2時(shí)，2-21-n【解析】 (1)由“是否存在”常用反證法假設(shè)存在(2)作差法比較(3)放縮法【答案】 （1）假設(shè)存在=2，同理xm-2=2，由此類(lèi)推有x1=2這與 x1=1矛盾，故不存在mN*，使xm=2 (2)當(dāng)n2時(shí)，xn+1-2=xn+1-2與 xn-2符號(hào)相反，而x1=1<2，則x2>2，以此類(lèi)推有： x2n-1<2，x2n>2 (3)xn+1=，則xn>1，難點(diǎn)5 有關(guān)數(shù)列的綜合性問(wèn)題 1設(shè)P1(x1,y1)，P2(x2，y2)，Pn(xn，yn) (n3，nN)是二次曲線C上的點(diǎn)，且a1=|OP1|2，a2=|OP2|2，an=|OPn|2構(gòu)成了一個(gè)公差為d(d(0)的等差數(shù)列，其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，記Sn=a1+a2+an (1)若C的方程為點(diǎn)P1(10，0)且S3=255，求點(diǎn)P3的坐標(biāo)；(只需寫(xiě)出一個(gè)) (2)若C的方程為(a>b>0)，點(diǎn)P1(a，0)，對(duì)于給定的自然數(shù)n，當(dāng)公差d變化時(shí)，求Sn的最小值； (3)請(qǐng)選定一條除橢圓外的二次曲線C及C上一點(diǎn)P1,對(duì)于給定的自然數(shù)n，寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)P1，P2，Pn存在的充要條件，并說(shuō)明理由【解析】 (1)由已知設(shè)P3坐標(biāo)再結(jié)合已知列出P3坐標(biāo)方程，用方程思想求解(2)先將Sn列出表達(dá)式，其中Sn必定是以d為自變量的一次函數(shù)，再由點(diǎn)Pn在拋物線上，求出d的取值范圍，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定函數(shù)在某區(qū)間上的最小值問(wèn)題 (3)屬開(kāi)放性命題我們可選雙曲線、拋物線、圓而P1點(diǎn)也是任取的但如果取值不當(dāng)會(huì)使問(wèn)題很難處理，所以P1通常取最值點(diǎn)解法二：對(duì)每個(gè)自然數(shù)k(2kn)由0<以下與解法一相同.(3)解法一：若雙曲線，點(diǎn)P1(a，0)則對(duì)于給定的n，點(diǎn)P1，P2，Pn存在的充要條件是d>0.原點(diǎn)O到雙曲線C上各點(diǎn)的距離h|a|，+，且.點(diǎn)P1,P2，Pn存在當(dāng)且僅當(dāng)|OPn|2,即d>0解法二：若拋物線C：y2=2px，點(diǎn)P1(0，0，)則對(duì)于給定的n.點(diǎn)P1，P2，Pn存在的棄要條件是d>0理由同上解法三：若圓C：(x-a)2+y2=a2 (a0)，點(diǎn)P1 (0，0)則對(duì)于給定的n，點(diǎn)P1，P2，Pn存在的充要條件是0<d.原點(diǎn)O到圓C上各點(diǎn)的最小距離為 0，最大距離為2|a|且|OP1|2=0，d>0且|OPn|2= (n-1)d4a2即0<d. 2已知點(diǎn)集L=(x，y)|y=mn，其中m=(2x-b，1)，n=(1，b+1)，點(diǎn)列P(an，bn)在L中，P1為L(zhǎng)與y軸的交點(diǎn)，等差數(shù)列an的公差為1，nN*(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式； (2)若cn=(n2)，求(c1+c2+cn)；(3)若f(n)=(kN*)，是否存在kN*使得f(k+11)=2f(k)，若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【解析】 (1)利用向量的坐標(biāo)表示求出an,bn (2)利用裂項(xiàng)法求出cn的n項(xiàng)和(3)假設(shè)存在推出與條件是否相符 【答案】 (1)由，得y=2x+1L：y=2x+1，P1(0，1)，則a1=0，b1=1，an=n-1 (nN*)，bn=2n-1(nN*)(2)當(dāng)n2時(shí)，Pn(n-1，2n-1)，|P1Pn|=(n-1)，(3)假設(shè)存在符合條件的k使命題成立當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，k+11是奇數(shù)，則f(k+11)=k+10，f(k)=2k-1，由 f(k+11)=2f(k)，得k=4當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，k