高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§12 數(shù)列的極限

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1、六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：153273761171.2 數(shù)列的極限授課次序02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題1.2 數(shù)列的極限教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點數(shù)列極限的概念與性質(zhì)教學(xué)難點概念的引入、極限的證明與性質(zhì)的推導(dǎo)參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語教學(xué)數(shù)列：sequence；極限：limit；極限值：limit value ；常量：constant quantity；發(fā)散：diverge；收斂：converge 課堂教學(xué)目標(biāo)1 了解數(shù)列極限的概念，知道極限的

2、定義（對于給出的求N的題不作要求）2 理解數(shù)列極限的基本性質(zhì)教學(xué)過程1數(shù)列極限的定義（25min），（1）從幾個古典問題（芝洛悖論、截丈問題）入手引出從有限到無限人類思維過程中遇到的困難，（2）再從割圓術(shù)入手引出數(shù)列、數(shù)列極限的樸素定義；（3）通過對數(shù)列特征的觀察，逐步引出數(shù)列極限的定義；2應(yīng)用定義證明極限（20min）介紹幾種重要的數(shù)列的極限的證明過程，讓學(xué)生明白基本過程。3收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性）（45min）本 節(jié) 課 程 設(shè) 計1、極限概念1. 背景知識與引入方法極限概念是微積分理論中最核心的概念，極限方法是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法，也是基本的推理工具. 可以說，沒有極限概念，就

3、不可能有高等數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)。理解極限概念，才能理解導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級數(shù)等微積分中的其它核心內(nèi)容。極限的本質(zhì)是用“變化”的思想和“逼近”的思想研究函數(shù)的變化性態(tài)。極限概念的建立是從常量過渡到變量、從有限過渡到無限、從初等數(shù)學(xué)過渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。極限思想源遠(yuǎn)流長。我國古代莊子（公元前355-275年，另一說為公元前369-286年）的“截杖說”，漢代劉徽（公元三世紀(jì)）的“割圓術(shù)”,都體現(xiàn)出樸素的極限思想。劉徽是我國第一位用極限思想來考慮問題的科學(xué)家，他從圓內(nèi)接六邊形開始，每次把邊數(shù)加倍，利用勾股定理求出正12邊形，24邊形，直到正192邊形的面積，求出了圓周率, 后來又計算到圓內(nèi)接3072邊形

4、面積，得到，奠定了中國科學(xué)家在數(shù)學(xué)史中的地位。在歐洲古希臘時期就萌芽出了“窮竭法”。柏拉圖（Plato，公元前430-349年）的學(xué)生攸多克薩斯（Eudoxus,公元前408-355年）用“窮竭法”證明了一個極端重要的命題：“取去一半之量，再取去所余之一半，這樣繼續(xù)下去，可以使所余的量小于另一個任意給定的量”,這正是近代極限論的雛形。盡管古今中外的學(xué)者們曾經(jīng)有意無意地使用了極限方法，但是極限概念的形成卻走過了一段相當(dāng)漫長的艱苦歷程. 在十七世紀(jì)微積分誕生的初期，數(shù)學(xué)家們一直覺得極限概念玄妙而不可捉摸，什么是極限還十分模糊。自十七世紀(jì)中葉微積分建立之后，微積分飛速向前發(fā)展，十八世紀(jì)達(dá)到空前燦爛的

5、程度，其內(nèi)容之豐富，應(yīng)用之廣泛，簡直令人眼花繚亂。她的進(jìn)步如此快，使人們來不及梳理一下這門偉大科學(xué)的理論基礎(chǔ)，由于對極限概念的理解十分混亂，使微積分遭受到種種非難。十九世紀(jì)初，許多迫切問題基本上得到解決，數(shù)學(xué)家開始轉(zhuǎn)向重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作。十九世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789-1857) 出版了他的三部代表作: 分析教程( 1821年)、無窮小分析教程概論( 1823年) 和微分計算教程( 1829年). 1821年, 他在分析教程中給出了極限的定義：“當(dāng)一個量逐次所取的值無限趨向于一個定值，最終使變量的值和該定值之差想要多小就有多小，這個值就叫所有

6、其它值的極限?！?半個世紀(jì)后，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯( Weierstrass , 1815-1897)給出了的極限的 定義，從而使極限概念擺脫了依賴幾何直觀的俗習(xí)，擺脫了“無限趨近”、“想要多小就有多小”等提法的不明確性,極限概念被嚴(yán)密化，成為微積分學(xué)的堅實的基礎(chǔ)工具。此定義仍普遍沿用，也就是我們今天教材中采用的定義。建議本節(jié)內(nèi)容從樸素直觀的極限例子開始, 揭示極限思想,并不斷嚴(yán)密化、抽象化、數(shù)學(xué)化，提煉極限語言， 最后給出、 語言的極限定義。2. 講解方法方法 首先從具體例子引出函數(shù)極限的形象的、說明性的直觀定義，然后在將其逐漸完善，最終得到函數(shù)極限的定義此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給

7、出 方法 首先從具體的數(shù)列極限的例子出發(fā)，觀察數(shù)列的變化趨勢，從中找出數(shù)列以某個常數(shù)A為極限的特征將形象的、說明性的直觀語言逐漸完善，最終得到數(shù)列的極限定義此后再將數(shù)列極限拓廣到函數(shù)極限的定義下面我們主要采用第2種方法3. 難點及解決方法本知識點的難點：使用, ,定義證明,難點在于理解的存在性在證明中所起的邏輯作用。解決的主要方法：（1）首先要整理好思路，理順邏輯關(guān)系。不管進(jìn)行了多么復(fù)雜的運(yùn)算過程，要牢牢把握住四個關(guān)鍵詞：任給，存在，當(dāng)時，恒有。只有這四個關(guān)鍵詞組成邏輯鎖鏈時，證明才算完成。（2）要特別注意所選擇的只能與有關(guān)，決不能與自變量有關(guān)。這樣，當(dāng)給定時，自然也就存在了（3）要注意的不唯

8、一性，只要存在即可，不要追求最嚴(yán)格和最精確. 對不等式進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，可以大大簡化求解過程。養(yǎng)成放縮不等式的意識十分重要。（3）可以按例題的層次分成個幾個臺階，內(nèi)容的組織注意逐步加深加難，有一個循序漸進(jìn)和螺旋式上升的過程。 4常見錯誤分析最致命的錯誤是對定義的邏輯關(guān)系理解不清，或者對語言不會表述，使證明不知所云。另一種錯誤是在證明中不能把握不等式放大縮小的方向, 常常把不等號搞反；有時也會出現(xiàn)放大過度的現(xiàn)象。證明技巧的核心和水平的體現(xiàn)是在不等式的放縮上。常見錯誤之一還有如例5中只取了, 而忘了限定。這雖然不是一種實質(zhì)性錯誤，但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。要知道，在微積分學(xué)習(xí)之初培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣和意識是極其重

9、要的。5與其他知識點的關(guān)聯(lián)微積分的一系列重要概念如連續(xù), 導(dǎo)數(shù), 定積分, 無窮級數(shù)等都是建立在極限的定義基礎(chǔ)之上的.6擴(kuò)展知識數(shù)列的上(下)極限極限性質(zhì)1. 背景知識與引入方法在已經(jīng)給出數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究極限的各種性質(zhì)。表面上看好像對極限特性的學(xué)習(xí)是本小節(jié)的目的，其實逐步熟悉極限語言的論證方法也是學(xué)習(xí)本小節(jié)內(nèi)容的重要目的，這一點是不容忽略的。應(yīng)該明確地向?qū)W生提出這種要求。 2. 講解方法總的來說是從幾何直觀出發(fā)，總結(jié)出樸素的思想，然后用，語言來給出證明。方法 首先研究函數(shù)極限的性質(zhì)，此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出 方法 首先從研究數(shù)列極限的性質(zhì)出發(fā)，然后將其拓

10、廣到函數(shù)極限的情形我們采用第2種方法定理1（極限的唯一性） 收斂數(shù)列的極限是唯一的首先將數(shù)列的各項在數(shù)軸上標(biāo)示出來，于是數(shù)列的第n項就與數(shù)軸上的點建立了一一對應(yīng)的關(guān)系從幾何直觀看數(shù)列收斂于A，就是除有限項以外其它的各項都進(jìn)入到A點的鄰域中去了可以考慮用反證法對定理進(jìn)行證明若假設(shè)數(shù)列同時收斂于兩個不同的常數(shù)A和B（不妨設(shè)）, 則在足夠大的N以后數(shù)列的所有項既都進(jìn)入到A點的鄰域中，又都進(jìn)入到B點的鄰域中而這兩個集合的交為空集,于是得到矛盾需要特別注意的是教會學(xué)生如何把腦子里所想到的事實用語言寫出來證明了定理1之后我們會發(fā)現(xiàn)，對于收斂數(shù)列，它的N以后的所有項都進(jìn)入到某一點的鄰域中去了，故在數(shù)軸的其余

11、地方只能有限多項綜合以上兩條我們就可以得到收斂數(shù)列的有界性：定理（收斂數(shù)列的有界性） 若數(shù)列收斂， 則數(shù)列有界在數(shù)列中任意抽取無限多項并保持這些項在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）定理（收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系） 若數(shù)列收斂于a， 則它的任一子數(shù)列也收斂，且收斂于相同的極限a以上三個定理都是數(shù)列收斂的必要條件我們通常用其逆命題證明極限不存在此外，我們可以很容易的將以上定理拓廣到函數(shù)極限的情況定理1 （極限的唯一性）定理（局部有界性） 定理（局部保號性）若，且A0（或AN 時的一切xn, 不等式 |xn-a |0, $NN+, 當(dāng)nN時, 有|xn-a|0, 要

12、使|xn-1|0, $N+, 當(dāng)nN時, 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對于e 0, 要使|xn-0|0, $N+, 當(dāng)nN時, 有|xn-0|=, 所以. 例3. 設(shè)|q |0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。證明: 因為對于任意給定的e 0, 存在N= log|q|e +1, 當(dāng)nN時, 有 | qn-1-0|=|q| n-1e ,所以. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限的唯一性) 數(shù)列xn不能收斂于兩個不同的極限. 證明: 假設(shè)同時有及, 且a0, 存在充分大的

13、正整數(shù)N, 使當(dāng)nN時, 同時有|xn-a| 及|xn-b|N 時的一切xn , 不等式|xn-a|N時, |xn|=|(xn -a)+a| | xn-a|+|a|0(或aN時, 有xn0(或xn0的情形證明. 由數(shù)列極限的定義, 對, $NN+, 當(dāng)nN時, 有, 從而 .推論 如果數(shù)列xn從某項起有xn0(或xn0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a0(或a0).證明 就xn0情形證明. 設(shè)數(shù)列xn從N1項起, 即當(dāng)nN 1時有xn0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a N 2時, 有xnN時, 按假定有x n 0, 按定理3有x n0, $NN+, 當(dāng)nN時, 有|xn-a|K時, nkkK=N. 于是|-a|N 時, 有|xn-a|e 0. 是否有xn a (n ). 2. 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4如何判斷數(shù)列 1, -1, 1, -1, , (-1)N+1, 是發(fā)散的？備注欄教學(xué)后記1.2 數(shù)列的極限 第 8 頁 共 8 頁