高等數(shù)學(xué)教學(xué)教案§12 數(shù)列的極限

六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)專用資料： http:/y66.80.hk qq：745924769 tel：15327376117§1.2 數(shù)列的極限授課次序02教 學(xué) 基 本 指 標(biāo)教學(xué)課題§1.2 數(shù)列的極限教學(xué)方法當(dāng)堂講授，輔以多媒體教學(xué)教學(xué)重點(diǎn)數(shù)列極限的概念與性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)概念的引入、極限的證明與性質(zhì)的推導(dǎo)參考教材同濟(jì)大學(xué)編高等數(shù)學(xué)（第6版）自編教材高等數(shù)學(xué)習(xí)題課教程作業(yè)布置高等數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)化作業(yè)雙語(yǔ)教學(xué)數(shù)列：sequence；極限：limit；極限值：limit value ；常量：constant quantity；發(fā)散：diverge；收斂：converge 課堂教學(xué)目標(biāo)1 了解數(shù)列極限的概念，知道極限的定義（對(duì)于給出的求N的題不作要求）2 理解數(shù)列極限的基本性質(zhì)教學(xué)過(guò)程1數(shù)列極限的定義（25min），（1）從幾個(gè)古典問(wèn)題（芝洛悖論、截丈問(wèn)題）入手引出從有限到無(wú)限人類思維過(guò)程中遇到的困難，（2）再?gòu)母顖A術(shù)入手引出數(shù)列、數(shù)列極限的樸素定義；（3）通過(guò)對(duì)數(shù)列特征的觀察，逐步引出數(shù)列極限的定義；2應(yīng)用定義證明極限（20min）介紹幾種重要的數(shù)列的極限的證明過(guò)程，讓學(xué)生明白基本過(guò)程。3收斂數(shù)列的性質(zhì)（唯一性、有界性）（45min）本 節(jié) 課 程 設(shè) 計(jì)1、極限概念1. 背景知識(shí)與引入方法極限概念是微積分理論中最核心的概念，極限方法是數(shù)學(xué)中最重要的思想方法，也是基本的推理工具. 可以說(shuō)，沒(méi)有極限概念，就不可能有高等數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)結(jié)構(gòu)。理解極限概念，才能理解導(dǎo)數(shù)、微分、積分、級(jí)數(shù)等微積分中的其它核心內(nèi)容。極限的本質(zhì)是用“變化”的思想和“逼近”的思想研究函數(shù)的變化性態(tài)。極限概念的建立是從常量過(guò)渡到變量、從有限過(guò)渡到無(wú)限、從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的關(guān)鍵。極限思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。我國(guó)古代莊子（公元前355-275年，另一說(shuō)為公元前369-286年）的“截杖說(shuō)”，漢代劉徽（公元三世紀(jì)）的“割圓術(shù)”,都體現(xiàn)出樸素的極限思想。劉徽是我國(guó)第一位用極限思想來(lái)考慮問(wèn)題的科學(xué)家，他從圓內(nèi)接六邊形開(kāi)始，每次把邊數(shù)加倍，利用勾股定理求出正12邊形，24邊形，直到正192邊形的面積，求出了圓周率, 后來(lái)又計(jì)算到圓內(nèi)接3072邊形面積，得到，奠定了中國(guó)科學(xué)家在數(shù)學(xué)史中的地位。在歐洲古希臘時(shí)期就萌芽出了“窮竭法”。柏拉圖（Plato，公元前430-349年）的學(xué)生攸多克薩斯（Eudoxus,公元前408-355年）用“窮竭法”證明了一個(gè)極端重要的命題：“取去一半之量，再取去所余之一半，這樣繼續(xù)下去，可以使所余的量小于另一個(gè)任意給定的量”,這正是近代極限論的雛形。盡管古今中外的學(xué)者們?cè)?jīng)有意無(wú)意地使用了極限方法，但是極限概念的形成卻走過(guò)了一段相當(dāng)漫長(zhǎng)的艱苦歷程. 在十七世紀(jì)微積分誕生的初期，數(shù)學(xué)家們一直覺(jué)得極限概念玄妙而不可捉摸，什么是極限還十分模糊。自十七世紀(jì)中葉微積分建立之后，微積分飛速向前發(fā)展，十八世紀(jì)達(dá)到空前燦爛的程度，其內(nèi)容之豐富，應(yīng)用之廣泛，簡(jiǎn)直令人眼花繚亂。她的進(jìn)步如此快，使人們來(lái)不及梳理一下這門(mén)偉大科學(xué)的理論基礎(chǔ)，由于對(duì)極限概念的理解十分混亂，使微積分遭受到種種非難。十九世紀(jì)初，許多迫切問(wèn)題基本上得到解決，數(shù)學(xué)家開(kāi)始轉(zhuǎn)向重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的工作。十九世紀(jì)，法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西 ( Cauchy Augustin Louis,1789-1857) 出版了他的三部代表作: 分析教程( 1821年)、無(wú)窮小分析教程概論( 1823年) 和微分計(jì)算教程( 1829年). 1821年, 他在分析教程中給出了極限的定義：“當(dāng)一個(gè)量逐次所取的值無(wú)限趨向于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差想要多小就有多小，這個(gè)值就叫所有其它值的極限?！?半個(gè)世紀(jì)后，德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯( Weierstrass , 1815-1897)給出了的極限的 定義，從而使極限概念擺脫了依賴幾何直觀的俗習(xí)，擺脫了“無(wú)限趨近”、“想要多小就有多小”等提法的不明確性,極限概念被嚴(yán)密化，成為微積分學(xué)的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)工具。此定義仍普遍沿用，也就是我們今天教材中采用的定義。建議本節(jié)內(nèi)容從樸素直觀的極限例子開(kāi)始, 揭示極限思想,并不斷嚴(yán)密化、抽象化、數(shù)學(xué)化，提煉極限語(yǔ)言， 最后給出、 語(yǔ)言的極限定義。2. 講解方法方法 首先從具體例子引出函數(shù)極限的形象的、說(shuō)明性的直觀定義，然后在將其逐漸完善，最終得到函數(shù)極限的定義此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出 方法 首先從具體的數(shù)列極限的例子出發(fā)，觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)，從中找出數(shù)列以某個(gè)常數(shù)A為極限的特征將形象的、說(shuō)明性的直觀語(yǔ)言逐漸完善，最終得到數(shù)列的極限定義此后再將數(shù)列極限拓廣到函數(shù)極限的定義下面我們主要采用第2種方法3. 難點(diǎn)及解決方法本知識(shí)點(diǎn)的難點(diǎn)：使用, ,定義證明,難點(diǎn)在于理解的存在性在證明中所起的邏輯作用。解決的主要方法：（1）首先要整理好思路，理順邏輯關(guān)系。不管進(jìn)行了多么復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程，要牢牢把握住四個(gè)關(guān)鍵詞：任給，存在，當(dāng)時(shí)，恒有。只有這四個(gè)關(guān)鍵詞組成邏輯鎖鏈時(shí)，證明才算完成。（2）要特別注意所選擇的只能與有關(guān)，決不能與自變量有關(guān)。這樣，當(dāng)給定時(shí)，自然也就存在了（3）要注意的不唯一性，只要存在即可，不要追求最嚴(yán)格和最精確. 對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)放大或縮小，可以大大簡(jiǎn)化求解過(guò)程。養(yǎng)成放縮不等式的意識(shí)十分重要。（3）可以按例題的層次分成個(gè)幾個(gè)臺(tái)階，內(nèi)容的組織注意逐步加深加難，有一個(gè)循序漸進(jìn)和螺旋式上升的過(guò)程。 4常見(jiàn)錯(cuò)誤分析最致命的錯(cuò)誤是對(duì)定義的邏輯關(guān)系理解不清，或者對(duì)語(yǔ)言不會(huì)表述，使證明不知所云。另一種錯(cuò)誤是在證明中不能把握不等式放大縮小的方向, 常常把不等號(hào)搞反；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)放大過(guò)度的現(xiàn)象。證明技巧的核心和水平的體現(xiàn)是在不等式的放縮上。常見(jiàn)錯(cuò)誤之一還有如例5中只取了, 而忘了限定。這雖然不是一種實(shí)質(zhì)性錯(cuò)誤，但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。要知道，在微積分學(xué)習(xí)之初培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牧?xí)慣和意識(shí)是極其重要的。5與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)微積分的一系列重要概念如連續(xù), 導(dǎo)數(shù), 定積分, 無(wú)窮級(jí)數(shù)等都是建立在極限的定義基礎(chǔ)之上的.6擴(kuò)展知識(shí)數(shù)列的上(下)極限極限性質(zhì)1. 背景知識(shí)與引入方法在已經(jīng)給出數(shù)列極限、函數(shù)極限的定義的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究極限的各種性質(zhì)。表面上看好像對(duì)極限特性的學(xué)習(xí)是本小節(jié)的目的，其實(shí)逐步熟悉極限語(yǔ)言的論證方法也是學(xué)習(xí)本小節(jié)內(nèi)容的重要目的，這一點(diǎn)是不容忽略的。應(yīng)該明確地向?qū)W生提出這種要求。 2. 講解方法總的來(lái)說(shuō)是從幾何直觀出發(fā)，總結(jié)出樸素的思想，然后用，語(yǔ)言來(lái)給出證明。方法 首先研究函數(shù)極限的性質(zhì)，此后將數(shù)列極限作為函數(shù)極限的特例給出 方法 首先從研究數(shù)列極限的性質(zhì)出發(fā)，然后將其拓廣到函數(shù)極限的情形我們采用第2種方法定理1（極限的唯一性） 收斂數(shù)列的極限是唯一的首先將數(shù)列的各項(xiàng)在數(shù)軸上標(biāo)示出來(lái)，于是數(shù)列的第n項(xiàng)就與數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系從幾何直觀看數(shù)列收斂于A，就是除有限項(xiàng)以外其它的各項(xiàng)都進(jìn)入到A點(diǎn)的鄰域中去了可以考慮用反證法對(duì)定理進(jìn)行證明若假設(shè)數(shù)列同時(shí)收斂于兩個(gè)不同的常數(shù)A和B（不妨設(shè)）, 則在足夠大的N以后數(shù)列的所有項(xiàng)既都進(jìn)入到A點(diǎn)的鄰域中，又都進(jìn)入到B點(diǎn)的鄰域中而這兩個(gè)集合的交為空集,于是得到矛盾需要特別注意的是教會(huì)學(xué)生如何把腦子里所想到的事實(shí)用語(yǔ)言寫(xiě)出來(lái)證明了定理1之后我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，對(duì)于收斂數(shù)列，它的N以后的所有項(xiàng)都進(jìn)入到某一點(diǎn)的鄰域中去了，故在數(shù)軸的其余地方只能有限多項(xiàng)綜合以上兩條我們就可以得到收斂數(shù)列的有界性：定理（收斂數(shù)列的有界性） 若數(shù)列收斂， 則數(shù)列有界在數(shù)列中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序，這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列的子數(shù)列（或子列）定理（收斂數(shù)列與其子列間的關(guān)系） 若數(shù)列收斂于a， 則它的任一子數(shù)列也收斂，且收斂于相同的極限a以上三個(gè)定理都是數(shù)列收斂的必要條件我們通常用其逆命題證明極限不存在此外，我們可以很容易的將以上定理拓廣到函數(shù)極限的情況定理1 （極限的唯一性）定理（局部有界性） 定理（局部保號(hào)性）若，且A0（或A< 0），則存在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，有（或）.定理若，則存在點(diǎn)的某個(gè)去心鄰域，當(dāng)x在該鄰域內(nèi)時(shí)，可以保證。定理（保號(hào)性）若在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)，而且，那么在情況下有類似的相應(yīng)結(jié)果注意1 定理, 定理2, 定理4, 定理4, 定理5考慮的都是函數(shù)的局部性質(zhì)例如對(duì)函數(shù)，有，當(dāng)我們?nèi)r(shí)，函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)有界而取時(shí)，函數(shù)在相應(yīng)的區(qū)間內(nèi)無(wú)界注意2 在定理5中若將換成，定理中的A依然是，而不能推出事實(shí)上，在原點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)，且極限 存在，但是此時(shí)極限A = 0. 雖然函數(shù)極限與數(shù)列極限是分別定義的，但是本質(zhì)上兩者卻可以互相轉(zhuǎn)化海涅（Heine）定理就是溝通函數(shù)極限和數(shù)列極限的橋梁定理( Heine ) 3. 難點(diǎn)及解決方法極限證明歷來(lái)是微積分課程中難點(diǎn)。學(xué)生最怕做證明題，常常一看到證明就頭疼極限的證明可以先從模仿開(kāi)始，認(rèn)真研讀教科書(shū)中的證明思路和證明手法，理解證明過(guò)程的邏輯關(guān)系，了解證明的直觀幾何意義，是突破這一難點(diǎn)的突破口。我們應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從反復(fù)的認(rèn)真讀題開(kāi)始，弄清題目的真正含義以及幾何意義先從幾何直觀上想明白題目怎么做；接下來(lái)再將想清楚的問(wèn)題翻譯成，,語(yǔ)言比如在例1中我們先考慮數(shù)列的兩個(gè)子列、都以a為極限，而，,從而以a為極限接下來(lái)的工作就是把這種想法翻譯成語(yǔ)言我們還可以進(jìn)一步推廣，若數(shù)列，都以a為極限，則數(shù)列也以a為極限4. 常見(jiàn)錯(cuò)誤分析對(duì)于無(wú)界數(shù)列（或函數(shù)），有些學(xué)生會(huì)把它的極限不存在與極限是無(wú)窮大等同起來(lái)事實(shí)上二者是不同的通過(guò)例2就可以清楚地看到，無(wú)界數(shù)列極限不存在時(shí)，不一定趨于無(wú)窮大；而以無(wú)窮大為極限的數(shù)列必定無(wú)界，無(wú)窮大只是數(shù)列極限不存在的一種情況5. 與其他知識(shí)點(diǎn)的關(guān)聯(lián)數(shù)列或函數(shù)極限的某些基本性質(zhì)可以拓展到二維或高維空間。使用極限性質(zhì)求極限或證明極限不存在是極限運(yùn)算中的基本方法之一6. 擴(kuò)展知識(shí)二元函數(shù)的極限問(wèn)題教 學(xué) 基 本 內(nèi) 容§1.2 數(shù)列的極限 一個(gè)實(shí)際問(wèn)題: 如可用漸近的方程法求圓的面積？ 設(shè)有一圓, 首先作內(nèi)接正四邊形, 它的面積記為A1；再作內(nèi)接正八邊形, 它的面積記為A2；再作內(nèi)接正十六邊形, 它的面積記為A3；如此下去, 每次邊數(shù)加倍, 一般把內(nèi)接正8×2n-1邊形的面積記為An . 這樣就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積: A1, A2, A3, × × × × × × , An, × × ×設(shè)想n 無(wú)限增大（記為n®¥, 讀作n 趨于窮大）, 即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限增加, 在這個(gè)過(guò)程中, 內(nèi)接正多邊形無(wú)限接近于圓, 同時(shí)An 也無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值, 這個(gè)確定的數(shù)值就理解為圓的面積. 這個(gè)確定的數(shù)值在數(shù)學(xué)上稱為上面有次序的數(shù)（數(shù)列） A1, A2, A3, × × × , An, × × ×當(dāng)n ®¥時(shí)的極限. 數(shù)列的概念:如果按照某一法則, 使得對(duì)任何一個(gè)正整數(shù)n 有一個(gè)確定的數(shù)xn , 則得到一列有次序的數(shù) x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×這一列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列, 記為xn, 其中第n 項(xiàng)xn 叫做數(shù)列的一般項(xiàng). 數(shù)列的例子: : , , , × × × , × × × 2n: 2, 4, 8, × × × , 2n , × × × : , , , × × × , , × × × ; (-1)n+1: 1, -1, 1, × × × , (-1)n+1, × × × ; : 2, , , × × × , , × × × . 它們的一般項(xiàng)依次為 , 2n, , (-1)n+1, . 數(shù)列的幾何意義:數(shù)列xn可以看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1, x2, x3, × × × , xn , × × ×. 數(shù)列與函數(shù):數(shù)列xn可以看作自變量為正整數(shù)n 的函數(shù): xn=f (n), 它的定義域是全體正整數(shù). 數(shù)列的極限: 數(shù)列的極限的通俗定義:對(duì)于數(shù)列xn, 如果當(dāng)n 無(wú)限增大時(shí), 數(shù)列的一般項(xiàng)xn無(wú)限地接近于某一確定的數(shù)值a, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列xn的極限, 或稱數(shù)列xn收斂a . 記為. 如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. 例如 , ; 而2n, (-1)n+1, 是發(fā)散的. 對(duì)無(wú)限接近的刻劃: xn無(wú)限接近于a 等價(jià)于|xn-a |無(wú)限接近于0, 極限的精確定義: 定義 如果數(shù)列xn與常a 有下列關(guān)系:對(duì)于任意給定的正數(shù)e (不論它多么小), 總存在正整數(shù)N , 使得對(duì)于n >N 時(shí)的一切xn, 不等式 |xn-a |<e 都成立, 則稱常數(shù)a 是數(shù)列xn的極限, 或者稱數(shù)列xn收斂于a , 記為 或xn®a (n®¥).如果數(shù)列沒(méi)有極限, 就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的. Û"e >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|<e .數(shù)列極限的幾何解釋: 例題: 例1. 證明. 分析: |xn-1|=.對(duì)于"e >0, 要使|xn-1|<e , 只要, 即. 證明: 因?yàn)?quot;e >0, $ÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有 |xn-1|=, 所以. 例2. 證明. 分析: |xn-0|. 對(duì)于"e >0, 要使|xn-0|<e , 只要, 即. 證明: 因?yàn)?quot;e >0, $ÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-0|=, 所以. 例3. 設(shè)|q |<1, 證明等比數(shù)列 1, q , q2, × × × , qn-1, × × ×的極限是0. 分析: 對(duì)于任意給定的e >0, 要使 |x n-0|=| qn-1-0|=|q| n-1<e ,只要n>log|q|e +1就可以了, 故可取N=log|q|e +1。證明: 因?yàn)閷?duì)于任意給定的e >0, 存在N= log|q|e +1, 當(dāng)n>N時(shí), 有 | qn-1-0|=|q| n-1<e ,所以. 收斂數(shù)列的性質(zhì): 定理1(極限的唯一性) 數(shù)列xn不能收斂于兩個(gè)不同的極限. 證明: 假設(shè)同時(shí)有及, 且a<b. 按極限的定義, 對(duì)于>0, 存在充分大的正整數(shù)N, 使當(dāng)n>N時(shí), 同時(shí)有|xn-a|< 及|xn-b|<, 因此同時(shí)有 及,這是不可能的. 所以只能有a=b. 數(shù)列的有界性: 對(duì)于數(shù)列xn，如果存在著正數(shù)M，使得對(duì)一切xn都滿足不等式 |xn|£M, 則稱數(shù)列xn是有界的; 如果這樣的正數(shù)M不存在，就說(shuō)數(shù)列xn是無(wú)界的 定理2(收斂數(shù)列的有界性) 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 證明: 設(shè)數(shù)列xn收斂, 且收斂于a, 根據(jù)數(shù)列極限的定義, 對(duì)于e =1, 存在正整數(shù)N, 使對(duì)于n>N 時(shí)的一切xn , 不等式|xn-a|<e =1都成立. 于是當(dāng)n>N時(shí), |xn|=|(xn -a)+a| £| xn-a|+|a|<1+|a|.取M=max|x 1|, |x 2|, × × ×, |x N |, 1+| a |, 那么數(shù)列xn中的一切xn都滿足不等式|xn|£ M.這就證明了數(shù)列xn是有界的. 定理3收斂數(shù)列的保號(hào)性) 如果數(shù)列xn收斂于a, 且a>0(或a<0), 那么存在正整數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有xn>0(或xn<0). 證 就a>0的情形證明. 由數(shù)列極限的定義, 對(duì), $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有, 從而 .推論 如果數(shù)列xn從某項(xiàng)起有xn³0(或xn£0), 且數(shù)列xn收斂于a, 那么a³0(或a£0).證明 就xn³0情形證明. 設(shè)數(shù)列xn從N1項(xiàng)起, 即當(dāng)n>N 1時(shí)有xn³0. 現(xiàn)在用反證法證明, 或a<0, 則由定理3知, $N 2ÎN+, 當(dāng)n> N 2時(shí), 有xn<0. 取N=max N 1, N 2 , 當(dāng)n>N時(shí), 按假定有x n ³0, 按定理3有x n<0, 這引起矛盾. 所以必有a ³0. 子數(shù)列: 在數(shù)列xn中任意抽取無(wú)限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的先后次序, 這樣得到的一個(gè)數(shù)列稱為原數(shù)列xn的子數(shù)列. 例如, 數(shù)列xn: 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)n+1× × ×的一子數(shù)列為x2n: -1, -1, -1, × × ×, (-1)2n+1× × ×. 定理3(收斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系) 如果數(shù)列xn收斂于a, 那么它的任一子數(shù)列也收斂, 且極限也是a . 證明: 設(shè)數(shù)列是數(shù)列xn的任一子數(shù)列. 因?yàn)閿?shù)列xn收斂于a, 所以"e >0, $NÎN+, 當(dāng)n>N時(shí), 有|xn-a|<e . 取K=N, 則當(dāng)k>K時(shí), nk³k>K=N. 于是|-a|<e . 這就證明了.討論: 1. 對(duì)于某一正數(shù)e 0, 如果存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)n>N 時(shí), 有|xn-a|<e 0. 是否有xn ®a (n ®¥). 2. 如果數(shù)列xn收斂, 那么數(shù)列xn一定有界. 發(fā)散的數(shù)列是否一定無(wú)界? 有界的數(shù)列是否收斂? 3. 數(shù)列的子數(shù)列如果發(fā)散, 原數(shù)列是否發(fā)散? 數(shù)列的兩個(gè)子數(shù)列收斂, 但其極限不同, 原數(shù)列的收斂性如何?發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列都發(fā)散嗎？4如何判斷數(shù)列 1, -1, 1, -1, × × ×, (-1)N+1, × × ×是發(fā)散的？備注欄教學(xué)后記§1.2 數(shù)列的極限 第 8 頁(yè) 共 8 頁(yè)