2017年高考數(shù)學(xué)（理）試題分項(xiàng)版解析：專題04 數(shù)列與不等式

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1、來自QQ群高中數(shù)學(xué)解題研究會(huì)339444963群文件1.【2017課標(biāo)1，理4】記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和若，則的公差為A1B2C4D8Z【答案】C【解析】試題分析設(shè)公差為，聯(lián)立解得，故選C.秒殺解析因?yàn)椋?，則，即，解得，故選C.【考點(diǎn)】等差數(shù)列的基本量求解【名師點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列基本量問題時(shí)，要多多使用等差數(shù)列的性質(zhì)，如為等差數(shù)列，若，則.2.【2017課標(biāo)II，理3】我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著算法統(tǒng)宗中有如下問題“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”意思是一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（ ）A1盞 B3盞 C5盞 D

2、9盞【答案】B【解析】【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的應(yīng)用；等比數(shù)列的求和公式【名師點(diǎn)睛】用數(shù)列知識(shí)解相關(guān)的實(shí)際問題，關(guān)鍵是列出相關(guān)信息，合理建立數(shù)學(xué)模型數(shù)列模型，判斷是等差數(shù)列還是等比數(shù)列模型；求解時(shí)，要明確目標(biāo)，即搞清是求和、求通項(xiàng)、還是解遞推關(guān)系問題，所求結(jié)論對(duì)應(yīng)的是解方程問題、解不等式問題、還是最值問題，然后經(jīng)過數(shù)學(xué)推理與計(jì)算得出的結(jié)果，放回到實(shí)際問題中進(jìn)行檢驗(yàn)，最終得出結(jié)論。3.【2017課標(biāo)1，理12】幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案已知數(shù)列1，1，2，1，2，4，1，2

3、，4，8，1，2，4，8，16，其中第一項(xiàng)是20，接下來的兩項(xiàng)是20，21，再接下來的三項(xiàng)是20，21，22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)NN100且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)冪.那么該款軟件的激活碼是A440B330C220D110【答案】A【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和.【名師點(diǎn)睛】本題非常巧妙的將實(shí)際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達(dá)的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進(jìn)而判斷出該數(shù)列的通項(xiàng)和求和.另外，本題的難點(diǎn)在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個(gè)數(shù)列的和又作為下一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，而且最后幾項(xiàng)并不能放在一個(gè)數(shù)列中，需要進(jìn)行判斷.4.【2017浙江，6】已知等差數(shù)列an的公差為d

4、，前n項(xiàng)和為Sn，則“d0”是“S4 + S62S5”的A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】試題分析由，可知當(dāng)，則，即，反之，所以為充要條件，選C【考點(diǎn)】 等差數(shù)列、充分必要性【名師點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，通過公式的套入與簡(jiǎn)單運(yùn)算，可知， 結(jié)合充分必要性的判斷，若，則是的充分條件，若，則是的必要條件，該題“”“”，故為充要條件5.【2017課標(biāo)II，理5】設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】 【考點(diǎn)】 應(yīng)用線性規(guī)劃求最值【名師點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y

5、軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大。6.【2017天津，理2】設(shè)變量滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（A） （B）1（C） （D）3【答案】 【考點(diǎn)】線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問題有三類（1）簡(jiǎn)單線性規(guī)劃，包括畫出可行域和考查截距型目標(biāo)函數(shù)的最值，有時(shí)考查斜率型或距離型目標(biāo)函數(shù)；（2）線性規(guī)劃逆向思維問題，給出最值或最優(yōu)解個(gè)數(shù)求參數(shù)取值范圍；（3）線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用，本題就是第三類實(shí)際應(yīng)用問題. $來&源：7.【2017山東，理4】已知x,y滿足，則z=x+2y的最大值是（A）0 （B） 2

6、 （C） 5 （D）6【答案】C【解析】試題分析由畫出可行域及直線如圖所示，平移發(fā)現(xiàn)，當(dāng)其經(jīng)過直線與的交點(diǎn)時(shí)，最大為，選C.【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最優(yōu)解在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解；(4)求最值將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值8.【2017山東，理7】若，且，則下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【考點(diǎn)】1.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).2.基本不等式.【名師點(diǎn)睛】比較冪或?qū)?shù)值的大小,若

7、冪的底數(shù)相同或?qū)?shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行比較,若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進(jìn)行比較.本題雖小，但考查的知識(shí)點(diǎn)較多，需靈活利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式作出判斷. 9.【2017課標(biāo)3，理9】等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項(xiàng)的和為A B C3D8【答案】A【解析】【考點(diǎn)】 等差數(shù)列求和$來&源：公式；等差數(shù)列基本量的計(jì)算【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a

8、1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.10.【2017北京，理4】若x，y滿足 則x + 2y的最大值為（A）1 （B）3（C）5 （D）9【答案】D【解析】試題分析如圖，畫出可行域， 表示斜率為的一組平行線，當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，故選D.【考點(diǎn)】線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標(biāo)函數(shù)賦予幾何意義；求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為一畫二移三求其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義常見的目標(biāo)函數(shù)有（1）截距型形如.求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式，通過求直線的截距的最值間接求出的最值；

9、（2）距離型形如 ；（3）斜率型形如，而本題屬于截距形式.11.【2017浙江，4】若，滿足約束條件，則的取值范圍是A0，6 B0，4C6， D4，【答案】D【解析】試題分析如圖，可行域?yàn)橐婚_放區(qū)域，所以直線過點(diǎn)時(shí)取最小值4，無最大值，選D【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃問題，首先由不等式組作出相應(yīng)的可行域，作圖時(shí)，可將不等式轉(zhuǎn)化為（或），“”取下方，“”取上方，并明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍12.【

10、2017天津，理8】已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）【答案】 （當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，綜上故選A【考點(diǎn)】不等式、恒成立問題【名師點(diǎn)睛】首先滿足轉(zhuǎn)化為去解決，由于涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理原則，分別對(duì)的兩種不同情況進(jìn)行討論，針對(duì)每種情況根據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對(duì)應(yīng)的的范圍. 13.【2017課標(biāo)3，理13】若，滿足約束條件，則的最小值為_.【答案】 【解析】【考點(diǎn)】應(yīng)用線性規(guī)劃求最值【名師點(diǎn)睛】求線性目標(biāo)函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b0時(shí)，直線過可行域

11、且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.14【2017課標(biāo)3，理14】設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4 = _.【答案】【解析】試題分析設(shè)等比數(shù)列的公比為 ，很明顯 ，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組，由 可得 ，代入可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得 .【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【名師點(diǎn)睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)該要分類討論，有時(shí)還應(yīng)善于運(yùn)用整體代換思想簡(jiǎn)化運(yùn)算過程.15.【2017課標(biāo)II，理

12、15】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥俊究键c(diǎn)】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式；裂項(xiàng)求和?！久麕燑c(diǎn)睛】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的。16.【2017天津，理12】若， ，則的最小值為_.【答案】 【解析】 ，（前一個(gè)等號(hào)成立條件

13、是，后一個(gè)等號(hào)成立的條件是，兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)取得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.【考點(diǎn)】均值不等式【名師點(diǎn)睛】利用均指不等式求最值要靈活運(yùn)用兩個(gè)公式，（1） ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；（2） ， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；首先要注意公式的使用范圍，其次還要注意等號(hào)成立的條件；另外有時(shí)也考查利用“等轉(zhuǎn)不等”“作乘法”“1的妙用”求最值.17.【2017北京，理10】若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則=_.【答案】1【解析】 【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列【名師點(diǎn)睛】我們知道,等差、等比數(shù)列各有五個(gè)基本量,兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問題轉(zhuǎn)化解關(guān)

14、于基本量的方程（組）,因此可以說數(shù)列中的絕大部分運(yùn)算題可看作方程應(yīng)用題,所以用方程思想解決數(shù)列問題是一種行之有效的方法. 18.【2017課標(biāo)1，理13】設(shè)x，y滿足約束條件，則的最小值為 .【答案】【解析】試題分析不等式組表示的可行域如圖所示，易求得，由得在軸上的截距越大，就越小所以，當(dāng)直線直線過點(diǎn)時(shí)，取得最小值所以取得最小值為【考點(diǎn)】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有直線型，轉(zhuǎn)化成斜截式比較截距，要注意前系數(shù)為負(fù)$來&源：時(shí)，截距越大，值越?。环质叫?，其幾何意義是已知點(diǎn)與未知點(diǎn)的斜率；平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；

15、絕對(duì)值型，轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點(diǎn)到直線的距離.19.【2017山東，理19】已知xn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且x1+x2=3，x3-x2=2（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；（）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，依次連接點(diǎn)P1(x1, 1)，P2(x2, 2)Pn+1(xn+1, n+1)得到折線P1 P2Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.$來&源：【答案】(I)（II）（II）過向軸作垂線，垂足分別為,由(I)得記梯形的面積為.由題意，所以+=+ 又+ -得= 所以【考點(diǎn)】1.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等比數(shù)列的求和；3.“錯(cuò)位相減法”.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求

16、和公式、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”.此類題目是數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對(duì)考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題將數(shù)列與解析幾何結(jié)合起來，適當(dāng)增大了難度，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等. 20.【2017北京，理20】設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列，記，其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù)（）若，求的值，并證明是等差數(shù)列；（）證明或者對(duì)任意正數(shù)，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；或者存在正整數(shù)，使得是等差數(shù)列【答案】中華.資*源%庫(kù) （）詳見解析；（）詳見解析.【解析】所以.所以對(duì)任意，于是，所

17、以是等差數(shù)列.【考點(diǎn)】1.新定義；2.數(shù)列的綜合應(yīng)用;3.推理與證明.【名師點(diǎn)睛】近年北京卷理科壓軸題一直為新信息題，本題考查學(xué)生對(duì)新定義的理解能力和使用能力，本題屬于偏難問題，反映出學(xué)生對(duì)于新的信息的的理解和接受能力，本題考查數(shù)列的有關(guān)知識(shí)及歸納法證明方法，即考查了數(shù)列（分段形函數(shù)）求值，又考查了歸納法證明和對(duì)數(shù)據(jù)的分析研究，考查了學(xué)生的分析問題能力和邏輯推理能力，本題屬于拔高難題，特別是第二兩步難度較大，適合選拔優(yōu)秀學(xué)生.21.【2017天津，理18】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，,，.（）求和的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】 （1）.（2）.【

18、解析】（II）解設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，由，有，故，上述兩式相減，得 得.所以，數(shù)列的前項(xiàng)和為.【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和【名師點(diǎn)睛】利用等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式列方程組求數(shù)列的首項(xiàng)和公差或公比，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，這是等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本要求，數(shù)列求和方法有倒序相加法，錯(cuò)位相減法，裂項(xiàng)相消法和分組求和法等，本題考查錯(cuò)位相減法求和. 22.【2017浙江，22】（本題滿分15分）已知數(shù)列xn滿足x1=1，xn=xn+1+ln(1+xn+1)（）證明當(dāng)時(shí)，（）0xn+1xn；（）2xn+1 xn；（）xn【答案】（）見解析；（）見解析；（）見解析【解析】（）由得【

19、考點(diǎn)】不等式證明【名師點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的概念、遞推關(guān)系與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，不等式及其應(yīng)用，同時(shí)考查推理論證能力、分析問題和解決問題的能力，屬于難題本題主要應(yīng)用（1）數(shù)學(xué)歸納法證明不等式；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）由遞推關(guān)系證明23.【2017江蘇，10】某公司一年購(gòu)買某種貨物600噸，每次購(gòu)買噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元,要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小,則的值是 .【答案】30【解析】總費(fèi)用，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.【考點(diǎn)】基本不等式求最值【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求

20、中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤. 24. 【2017江蘇，9】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前項(xiàng)的和為,已知,則= .【答案】32【解析】當(dāng)時(shí)，顯然不符合題意；當(dāng)時(shí)，解得，則.【考點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)【名師點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，有兩個(gè)處理思路,一是利用基本量,將多元問題簡(jiǎn)化為一元問題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔,目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形. 在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法. 25.【2017江蘇，19】 對(duì)于給定的正整數(shù),若數(shù)列滿足對(duì)任意正整數(shù)總成立，則稱數(shù)列是“數(shù)列”. （1）證明等差數(shù)列是“數(shù)列”; （2）若數(shù)列既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，證明是等差數(shù)列. 【答案】（1）見解析（2）見解析中，取，則，所以，所以數(shù)列是等差數(shù)列.【考點(diǎn)】等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式【名師點(diǎn)睛】證明為等差數(shù)列的方法(1)用定義證明為常數(shù)）；(2)用等差中項(xiàng)證明；(3)通項(xiàng)法 為的一次函數(shù)；(4)前項(xiàng)和法 Z 更多經(jīng)典內(nèi)容歡迎關(guān)注：高中數(shù)學(xué)解題研究會(huì)339444963 微信公眾號(hào)第 26 頁(yè) 共 26 頁(yè)