2022年高三數(shù)學 黃金考點匯編11 定積分的概念與微積分基本定理 理（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學 黃金考點匯編11 定積分的概念與微積分基本定理 理（含解析） 【考點分類】 熱點1 定積分的基本計算 1．【xx江西高考理第8題】若則 （ ） A． B． C． D．1 2．【xx陜西高考理第3題】定積分的值為 （ ） 3．【xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(江西卷)理】若 ，則s1，s2，s3的大小關系為

2、 （ ） A． s1＜s2＜s3 B． s2＜s1＜s3 C． s2＜s3＜s1 D． s3＜s2＜s1 4．【xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖南卷）】若 ． 【答案】3． 【解析】∵x2dx＝x3＝＝9，∴T＝3． 5．【xx福建理15】當時，有如下表達式： 兩邊同時積分得： 從而得到如下等式： 請根據(jù)以下材料所蘊含的數(shù)學思想方法，計算： 【方法規(guī)律】 計算簡單定積分的步驟： （1）把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或

3、差； （2）利用定積分的性質把所求的定積分化為若干個定積分的和或差； （3）分別用求導公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)； （4）利用牛頓－萊布尼茲公式求出各個定積分的值； （5）計算所求定積分的值． 【解題技巧】 求定積分的常用技巧： （1）求被積函數(shù)，要先化簡，再求積分； （2）求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和； （3）對于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值號才能積分； （4）若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)dx＝2f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)dx＝0 熱點2 定積分幾何意義的應用 1．【xx山

4、東高考理第6題】直線在第一象限內圍成的封閉圖形的面積為 （ ） A. B． C． D．4 【答案】 【解析】由已知得，，故選． 考點：定積分的應用． 2．【xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試北京卷理】直線l過拋物線C： x2=4y的焦點且與y軸垂直，則l與C所圍成的圖形的面積等于 （ ） A． B．2 C． D． 【方法規(guī)律】 1．定積分的幾何意義：定積分表示在區(qū)間上的曲線與直線、以及軸所圍成

5、的平面圖形（曲邊梯形）的面積的代數(shù)和，即．（在軸上方的面積取正號，在軸下方的面積取負號）． 2．求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟： （1）畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標．定出積分的下、下限； （2）確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的下、下位置； （3）寫出平面圖形面積的定積分的表達式； （4）運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積． 利用定積分求曲邊圖形面積時，一定要找準積分上限、下限及被積函數(shù)．當圖形的邊界不同時，要分不同情況討論． 【易錯點睛】 概念理解錯誤 例．【xx北京西城】求曲線f(x)＝sin x，x∈[0，π]與x軸圍

6、成的圖形的面積． 熱點3 定積分物理意義的應用 1．【xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷理7】一輛汽車在高速公路下行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（t的單位：s，v的單位：m/s）行駛至停止． 在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離（單位：m）是（ ） B． C． D． 【答案】C． 【解析】令，則，汽車剎車的距離是，故選C． 【方法規(guī)律】 利用定積分解決變速直線運動問題和變力做功問題時，關鍵是求出物體做變速直線運動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達式，再利用微積分基本定理計算即得所求． ①變速直線運動的路程

7、：作變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時間區(qū)間上的定積分，即． ②變力作功：物體在變力的作用下做直線運動，并且物體沿著與相同的方向從移動到，那么變力所作的功． 【易錯點睛】 如xx湖北卷理7試題可能出現(xiàn)以下錯誤： （1）未形成應用定積分解題的意識，造成思維受阻． （2）不知如何確定剎車后汽車繼續(xù)行駛的時間，從而不能正確確定積分區(qū)間． （3）求錯被積函數(shù)的原函數(shù)致誤． 防范措施： （1）學習數(shù)學，要知道知識方法形成的背景以及應用的方面，不能孤立地看待一個知識方法，要用聯(lián)系的觀點去認識； （2）分析剎車的過程，可以發(fā)現(xiàn)，由速度為零可以得到汽車繼續(xù)行駛的時間．由此可見

8、，分析過程可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律． 【考點剖析】 1．最新考試說明： （1）考查定積分的概念，定積分的幾何意義，微積分基本定理． （2）利用定積分求曲邊形面積、變力做功、變速運動的質點的運動路程． 考點 考綱要求 考查角度 定積分 了解定積分的基本思想；了解定積分的概念 求由曲線圍成的平面圖形的面積 微積分基本定理 了解微積分基本定理的含義；會用牛頓－萊布尼茨公式求被積函數(shù)是簡單的冪函數(shù)，正、余弦函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的定積分 定積分的計算 2．命題方向預測： 從近兩年的高考試題看，本節(jié)內容要求較低，定積分的簡單計算與利用定積分求平面圖形的面積是考查的重點，與幾何概型概率的計

9、算相結合是近幾年高考的亮點，題型為選擇題或填空題，難度中等偏下．預測xx年利用定積分求曲邊圖形的面積和解決一些簡單的物理問題等是定積分命題的主要方向，一般以客觀題形式出現(xiàn)． 3．課本結論總結： （1）用定義求定積分的一般方法是： ①分割：n等分區(qū)間[a，b]；②近似代替：取點ξi∈[xi－1，xi]；③求和：f(ξi)·；④取極值： f(x)dx＝f(ξi)·． （2）定積分的性質 性質1：； 性質2：（為常數(shù)）（定積分的線性性質）； 性質3：（定積分的線性性質）； 推廣： 性質4：（其中）（定積分對積分區(qū)間的可加性） 推廣： 說明：定積分的定義中，限定下限小于上限，即

10、a＜b，為了方便計算，人們把定積分的概念擴大，使下限不一定小于上限，并規(guī)定：． （3）微積分基本定理 一般地，如果f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a)．這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓－萊布尼茲公式． （4）常用定積分公式： ①（為常數(shù)）；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩． 4．名師二級結論： 一種思想 定積分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步驟解決“無限”過程的問題，其方法是“分割求近似，求和取極限”，利用這種方法可推導球的表面積和體積公式等．恩格斯曾經(jīng)把對數(shù)的發(fā)明、解析幾何的創(chuàng)始以及微

11、積分的建立并稱為17世紀數(shù)學的三大成就． 一種關系 由微積分基本定理可知求定積分的關鍵是求導函數(shù)的原函數(shù)，由此可知，求導與積分是互為逆運算． 三條性質 （1）常數(shù)可提到積分號外；（2）和差的積分等于積分的和差；（3）積分可分段進行． 四種求定積分的方法 ①利用定義求定積分；②利用微積分基本定理求定積分；③利用定積分的幾何意義求定積分．如：定積分dx的幾何意義是求單位圓面積的，所以dx＝；④利用積分的性質． 兩類典型的計算曲邊梯形面積的方法 （1）型區(qū)域： ①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（1））； ②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖

12、（2））； ③由一條曲線，當時，；當時，與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積： （如圖（3））； ④由兩條曲線（與直線所圍成的曲邊梯形的面積：（如圖（4）） （2）型區(qū)域： ①由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由得，然后利用求出（如圖（5））； ②由一條曲線與直線以及軸所圍成的曲邊梯形的面積，可由先求出，然后利用求出（如圖（6））； ③由兩條曲線與直線所圍成的曲邊梯形的面積，可由先分別求出，，然后利用求出（如圖（7））； 5．課本經(jīng)典習題： （1）【人教新課標A版2-2第47頁例1】利用定積分的定義，計算的值． 【經(jīng)典理由】典型的應用定義計算定積分

13、（2）【人教新課標A版2-2第56頁，例1】計算由曲線所圍成圖形的面積． 【變式】由曲線所圍成圖形的面積為____________． 分，∴． 6．考點交匯展示： （1） 定積分計算與幾何概型交匯 例1【廣東省梅州市xx屆高三3月質檢】．如圖，設D是圖中邊長為2的正方形區(qū)域．，E是函數(shù)的圖像與x軸及圍成的陰影區(qū)域，項D中隨機投一點，則該點落入E中的概率為 ( ) A． B． C． D． （2） 定積分的計算與函數(shù)的性質交匯 例2【xx年高考原創(chuàng)預測卷（浙江理科）】．若，則等于

14、 ． 【答案】 【解析】，． （3） 定積分的計算與二項式定理的應用交匯 例3【xx屆安徽六校教育研究會高三2月聯(lián)考數(shù)學理】．已知則二項式的展開式中的系數(shù)為 ． 【考點特訓】 xO y O 1．【河南省安陽一中xx屆高三第一次月考8】如圖是函數(shù)在一個周期內的圖象，則陰影部分的面積是（ ） A． B． C． D． 【答案】Ｂ 2．【河北省“五個一名校聯(lián)盟” xx屆高三教學質量監(jiān)測（一）13】直線與拋物線所圍圖形的面積等于_____________ 【答案】 【解

15、析】 3．【xx屆高三原創(chuàng)預測卷理科數(shù)學試卷4（安徽版）】設，則下列關系式成立的是 （ ） A． B． C． D． 4．【高考沖刺關門卷新課標全國卷（理）】由直線，曲線以及軸圍成的封閉圖形的面積為________． 5．【廣州市珠海區(qū)xx年高三8月摸底考試12】圖中陰影部分的面積等于 ． 【答案】1． 【解析】由定積分的幾何意義得：． 考點：定積分的幾何意義． 6．【xx年哈爾濱師大附中 東北師大附中 遼寧省實驗中學高三第一次聯(lián)合模擬考試】( ) A． 0

16、 B． C． D． 7．【唐山一中xx下學期調研考試試卷】直線的方向向量為且過拋物線的焦點，則直線與拋物線圍成的封閉圖形面積為( ) A． B． C． D． 8．【穩(wěn)派xx年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試模擬信息卷(五)】設，若曲線與直線，，所圍成封閉圖形的面積為2，則（ ） A．2 B．e C．2e D． 9．【xx黑龍江哈爾濱】下列值等于的定積分是（ ）

17、 10．【xx遼寧】如圖，陰影部分的面積是 (　 　) A．2 B．2－ C． D． 【答案】C ． 【解析】直線y=2x與拋物線y=3﹣x2，解得交點為（﹣3，﹣6）和（1，2），拋物線y=3﹣x2與x軸負半軸交點（﹣，0）．設陰影部分面積為s，則 ==，所以陰影部分的面積為 ，故答案選：C． 【思路點撥】求陰影部分的面積，先要對陰影部分進行分割到三個象限內，分別對三部分進行積分求和即可． 11．【xx山西

18、山大附中高三5月月考理科】 (　 　) A． B． C． D． 12．【xx湖南雅禮中學模擬】曲線和曲線圍成一個葉形圖（如圖所示陰影部分），其面積是 （ ） A．1 B． C． D． 13．【xx江西師大附中高三三模理科】已知等差數(shù)列的前n項和為，又知，且，，則為

19、 （ ） A．33 B．46 C．48 D．50 14．【xx南京調研】給出如下命題： ①dx＝dt＝b－a(a，b為常數(shù)且a＜b)；②； ③曲線y＝sin x，x∈[0，2π]與直線y＝0圍成的兩個封閉區(qū)域的面積之和為2． 其中正確命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】由定積分的性質知①錯；對于②，兩個積分都表示個單位圓的面積， 15．【xx浙江五校聯(lián)考】已知函數(shù)y＝x2與y＝kx(k＞0)的圖象所圍成的陰影部分

20、的面積為，則(　　) A．2 B．1 C．3 D．4 16．【xx廣州綜合測試】函數(shù)F(x)＝t(t－4)dt在[－1，5]上 (　　 ) A．有最大值0，無最小值 B．有最大值0，最小值－ C．有最大值－，無最大值 D．既無最大值也無最小值 【答案】B． 17．【xx福建莆田高三質檢】如圖，由函數(shù)f(x)＝ex－e的圖象，直線x＝2及x軸所圍成的陰影部分面積等于

21、 (　 　) A．e2－2e－1 B．e2－2e C． D．e2－2e＋1 【答案】B 【解析】面積S＝f(x)dx＝(ex－e)dx＝(ex－ex)＝(e2－2e)－(e1－e)＝e2－2e． 18．【xx山東淄博模擬】已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝(1＋2x)dx，S20＝17，則S30為(　　) A．15 B．20 C．25 D．30 19．【xx湖北孝感高

22、中高三5月摸底理科】若在R上可導，，則____________． 20．【xx中山一模】設f(x)＝若f[f（1）]＝1，則a＝________． 【答案】1． 【解析】∵f（1）＝lg 1＝0，∴f[f（1）]＝f(0)＝0＋3t2dt＝t3＝a3，∴a3＝1得a＝1． 21．【xx上海模擬】已知函數(shù)y＝f(x)的圖像是折線段ABC，其中A(0，0)、B(，5)、C(1，0)．函數(shù)y＝xf(x)(0≤x≤1)的圖像與x軸圍成的圖形的面積為________． 22．【xx湖北孝感高中高三5月摸底理科】如圖， 甲、乙、丙中的四邊形ABCD都是邊長為2的正方形， 其中甲、乙兩圖中陰影

23、部分分別以AB的中點、B點為頂點且開口向上的拋物線(皆過D點)下方的部分， 丙圖中陰影部分是以C為圓心、半徑為2的圓弧下方的部分． 三只麻雀分別落在這三塊正方形木板上休息， 且它們落在所在木板的任何地方是等可能的， 若麻雀落在甲、乙、丙三塊木板上陰影部分的概率分別是， 則的大小關系是 ． 23．【海淀區(qū)高三年紀第二學期其中練習理】函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉圖形的面積等于_______． 24．【河北省邯鄲市xx屆高三上學期第二次模擬考試】= _______． 25．【xx年遼寧省大連市高三雙基考試】_______． 26．【xx江西鷹潭】

24、設，若曲線與直線，所圍成封閉圖形的面積為2，則 ． 【知識點】定積分在求面積中的應用． 【答案解析】 解析 ：解：如圖， 27．【xx吉林一中】設，則二項式展開式中的項的系數(shù)為 【考點預測】 1．【熱點1預測】若則等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D． 【解析】． 2．【熱點2預測】曲線與直線y=圍成的封閉圖形的面積為（ ）A． B． C． D． 3．【熱點3預測】一輛汽車在筆直的公路上變速行駛，設汽車在時刻t的速度為v(t)=-t2+4，（t）（t的單位：h， v的單位：km/h）則這輛車行駛的最大位移是______km