2012高考數(shù)學(xué) 沖刺必考專(zhuān)題解析 代數(shù)推理問(wèn)題怎么解

代數(shù)推理題怎么解數(shù)學(xué)是“教會(huì)年輕人思考”的科學(xué), 針對(duì)代數(shù)推理型問(wèn)題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒(méi)有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過(guò)典型的問(wèn)題, 解析代數(shù)推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過(guò)程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時(shí)將函數(shù)與方程, 數(shù)形結(jié)合, 分類(lèi)與討論, 等價(jià)與化歸等數(shù)學(xué)思想方法貫穿于整個(gè)的解題訓(xùn)練過(guò)程當(dāng)中.例1設(shè)函數(shù)，已知，時(shí)恒有，求a的取值范圍. 講解: 由 ,從而只要求直線L不在半圓C下方時(shí), 直線L 的y截距的最小值.當(dāng)直線與半圓相切時(shí)，易求得舍去）.故.本例的求解在于 關(guān)鍵在于構(gòu)造新的函數(shù), 進(jìn)而通過(guò)解幾模型進(jìn)行推理解題, 當(dāng)中, 滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法, 顯示了解題思維轉(zhuǎn)換的靈活性和流暢性.還須指出的是: 數(shù)形結(jié)合未必一定要畫(huà)出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請(qǐng)三思而后行.例2 已知不等式對(duì)于大于1的正整數(shù)n恒成立，試確定a的取值范圍.講解: 構(gòu)造函數(shù)，易證(請(qǐng)思考:用什么方法證明呢?)為增函數(shù). n是大于1的 正整數(shù)，對(duì)一切大于1的正整數(shù)恒成立，必須,即這里的構(gòu)造函數(shù)和例1屬于同類(lèi)型, 學(xué)習(xí)解題就應(yīng)當(dāng)在解題活動(dòng)的過(guò)程中不斷的逐類(lèi)旁通, 舉一反三, 總結(jié)一些解題的小結(jié)論. 針對(duì)恒成立的問(wèn)題, 函數(shù)最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請(qǐng)?zhí)釤捘愕男〗Y(jié)論.例3 已知函數(shù)在區(qū)間b，1b上的最大值為25，求b的值.講解: 由已知二次函數(shù)配方, 得 時(shí)，的最大值為4b2+3=25. 上遞增， 上遞增， . 關(guān)于二次函數(shù)問(wèn)題是歷年高考的熱門(mén)話題, 值得讀者在復(fù)課時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)化訓(xùn)練. 針對(duì)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)在不在區(qū)間b，1b, 自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想在解題當(dāng)中的充分運(yùn)用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題而定, 需要在解題時(shí)靈活把握.例4已知 的單調(diào)區(qū)間；（2）若講解: （1） 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形 , 得 ,（2）首先證明任意事實(shí)上,而 .函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值. 針對(duì)本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!例5 已知函數(shù)f(x)=（，）(1) 證明函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P()對(duì)稱(chēng)(2) 令an，對(duì)一切自然數(shù)n，先猜想使an成立的最小自然數(shù)a,并證明之(3) 求證：).講解: (1)關(guān)于函數(shù)的圖象關(guān)于定點(diǎn)P對(duì)稱(chēng), 可采用解幾中的坐標(biāo)證法.設(shè)M(x,y)是f(x)圖象上任一點(diǎn)，則M關(guān)于P()的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M（，）， (1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，故函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)P()對(duì)稱(chēng).(2)將f(n)、f(1-n)的表達(dá)式代入an的表達(dá)式，化簡(jiǎn)可得an猜a=3,即3下面用數(shù)學(xué)歸納法證明設(shè)n=k(k)時(shí)，3那么n=k+1，3·又3k（）（）（，）.(3)令k=1,2,，n，得n個(gè)同向不等式，并相加得：函數(shù)與數(shù)列綜合型問(wèn)題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風(fēng)景線.針對(duì)本例,你能夠猜想出最小自然數(shù)a=3嗎? 試試你的數(shù)學(xué)猜想能力.例6 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)根為x1和x2. （1）如果，若函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=x0，求證：x01； （2）如果，求b的取值范圍.講解:（1）設(shè)，由得, 即 ，故；（2）由同號(hào).若.又，負(fù)根舍去）代入上式得，解得；若 即4a2b+30.同理可求得. 故當(dāng)對(duì)你而言, 本例解題思維的障礙點(diǎn)在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類(lèi)問(wèn)題, 你會(huì)很順利的克服嗎? 我們力求做到學(xué)一題會(huì)一類(lèi), 不斷提高邏輯推理能力.例7 對(duì)于函數(shù)，若存在成立，則稱(chēng)的不動(dòng)點(diǎn)。如果函數(shù)有且只有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)0，2，且（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列，求數(shù)列通項(xiàng)；（3）如果數(shù)列滿足，求證：當(dāng)時(shí)，恒有成立.講解: 依題意有,化簡(jiǎn)為 由違達(dá)定理, 得 解得 代入表達(dá)式，由得 不止有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，（2）由題設(shè)得 （*）且 （*）由（*）與（*）兩式相減得： 解得（舍去）或，由，若這與矛盾，即是以-1為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，； （3）采用反證法，假設(shè)則由（1）知,有，而當(dāng)這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，.關(guān)于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實(shí)上:由得<0或結(jié)論成立； 若，此時(shí)從而即數(shù)列在時(shí)單調(diào)遞減，由，可知上成立.比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數(shù)學(xué)解題后需要進(jìn)行必要的反思, 學(xué)會(huì)反思才能長(zhǎng)進(jìn).例8 設(shè)a，b為常數(shù)，：把平面上任意一點(diǎn) （a，b）映射為函數(shù) （1）證明：不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)于同一個(gè)函數(shù)； （2）證明：當(dāng)，這里t為常數(shù)； （3）對(duì)于屬于M的一個(gè)固定值，得，在映射F的作用下，M1作為象，求其原象，并說(shuō)明它是什么圖象.講解: （1）假設(shè)有兩個(gè)不同的點(diǎn)（a，b），（c，d）對(duì)應(yīng)同一函數(shù)，即與相同，即 對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立.特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個(gè)不同點(diǎn)矛盾，假設(shè)不成立.故不存在兩個(gè)不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)同函數(shù).（2）當(dāng)時(shí)，可得常數(shù)a0，b0，使=由于為常數(shù)，設(shè)是常數(shù).從而.（3）設(shè)，由此得在映射F之下，的原象是（m，n），則M1的原象是.消去t得，即在映射F之下，M1的原象是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.本題將集合, 映射, 函數(shù)綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識(shí)”的好題目, 具有很強(qiáng)的訓(xùn)練價(jià)值.例9 已知函數(shù)f(t)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(2)=2. （1）求f(1)的值; （2）證明：對(duì)一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t； （3）試求滿足f(t)=t的整數(shù)t的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.講解 （1）為求f(1)的值，需令令.令. （2）令().由,于是對(duì)于一切大于1的正整數(shù)t，恒有f(t)>t. （3）由及（1）可知.下面證明當(dāng)整數(shù).()得即，將諸不等式相加得 .綜上，滿足條件的整數(shù)只有t=1，.本題的求解顯示了對(duì)函數(shù)方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國(guó)高考第（21）題中得到了很好的考查.例10 已知函數(shù)f（x）在（1，1）上有定義，且滿足x、y（1，1） 有（1）證明：f（x）在（1，1）上為奇函數(shù)；（2）對(duì)數(shù)列求；（3）求證 講解 （1）令則 令則 為奇函數(shù). （2）， 是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 （3） 而 本例將函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式等代數(shù)知識(shí)集于一題，是考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的范例. 在求解當(dāng)中，化歸出等比（等差）數(shù)列是數(shù)列問(wèn)題常用的解題方法.9用心 愛(ài)心 專(zhuān)心