人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)第五章 相交線與平行線——專題練習(xí)

小專題（一）平行線中的“拐點(diǎn)”問(wèn)題模型 1 M 型【例 1】 如圖，已知 ABCD，則B，BED，D 之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明 理由【思路點(diǎn)撥】 由已知條件知，ABCD，但圖形中沒(méi)有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線的性質(zhì)解決為此可構(gòu)造第三條直線，即過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了變式當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到平行線的外側(cè)1已知 ABCD，點(diǎn) E 為 AB，CD 之外任意一點(diǎn)(1)如圖 1，探究BED 與B，D 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2)如圖 2，探究CDE 與B，BED 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由拓展平行線間有多個(gè)拐點(diǎn)2(1)如圖 1 中，ABCD，則EG 與BFD 有何關(guān)系？ (2)在圖 2 中，若 ABCD，又能得到什么結(jié)論？如果出現(xiàn)多個(gè)拐點(diǎn)時(shí)，可以作多條平行線，從而將多拐點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn) 題來(lái)處理M 型最終的結(jié)論為：朝左的角之和等于朝右的角之和模型 2鉛筆型【例 2】 如圖，直線 ABCD，B，BED，D 之間有什么關(guān)系呢？為什么？拓展平行線間有多個(gè)拐點(diǎn)3(1)如圖 1，MA NA ，則A A 1 2 1 2如圖 2，MA NA ，則A A A 1 3 1 2 3度；度；如圖 3，MA NA ，則A A A A 1 4 1 2 3 4圖 4，MA NA ，則A A A A A 1 5 1 2 3 4 5從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(2)如圖 5，MA NA ，則A A A A 1 n 1 2 3 n度；度；度小專題(二)利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)類型 1直接利用平行線的性質(zhì)與判定求角度1如圖，OC 是AOB 的平分線，lOB.若152°，則2 的度數(shù)為( ) A52° B54° C64° D69°2如圖，CDAB，點(diǎn) O 在 AB 上，OE 平分BOD，OFOE，D110°，則AOF 的度數(shù)是( )A20° B25° C30° D35°3如圖，ABCD，CBDE，B50°，則D 4如圖，已知 EFAD，12，BAC80°，求AGD 的度數(shù)類型 2借助學(xué)具的特征求角度5如圖，將直尺與 30°角的三角尺疊放在一起若140°，則2 的大小是 ( )A40° B60° C70° D80°6如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點(diǎn)剛好落在平行線 l ，l 上，已知C1 2是直角，則12 的度數(shù)等于( )A75° B90° C105° D120°類型 3折疊問(wèn)題中求角度7將一個(gè)長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的圖形若ABC26°，則ACD 8如圖，一個(gè)四邊形紙片 ABCD，BD90°，C130°.把紙片按如圖 所示折疊，使點(diǎn) B 落在 AD 邊上的 B點(diǎn)，AE 是折痕，則AEB 的度數(shù)是 類型 4抽象出平行線模型求角度 (建模思想)9如圖，AOB 的一邊 OA 為平面鏡，AOB38°，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點(diǎn) C 射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點(diǎn) E 處，已知ADCODE.則DEB 的度數(shù)是度10 如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個(gè)梯形挖去一個(gè)小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成如圖 2 所示的1 與2，則1 與2 的度數(shù)和是 小專題(三)平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用教材 P37T13 的變式與應(yīng)用教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明(1)如圖 1，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點(diǎn)，DEBA，DF CA.求證：FDEA.證明：DEBA，F(xiàn)DEDFCA，AFDEA.(2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點(diǎn) O，CCOA，DBOD.求證 ACBD. 證明：CCOA，DBOD，又COABOD( )，C ACBD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(1)判定兩直線平行的方法有五種：平行線的定義；平行公理的推論；同 位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線 平行(2)判定兩直線平行時(shí)，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運(yùn)用，推理時(shí)要 注意書寫格式(3)由兩條直線平行得到同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，解題時(shí)應(yīng)結(jié) 合圖形先確認(rèn)所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內(nèi)錯(cuò)角 或同旁內(nèi)角，同時(shí)要學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的幾何說(shuō)理，做到每一步有理有據(jù)1如圖，已知 ADBC，EFBC，垂足分別為 D，F(xiàn)，23180°.試說(shuō)明： GDCB.下面是不完整的說(shuō)理過(guò)程，請(qǐng)你將橫線上的過(guò)程和括號(hào)里的理由補(bǔ) 充完整解：因?yàn)?ADBC，EFBC(已知)，所以ADBEFB (垂直的定義)所以 (同位角相等，兩直線平行)所以12 (兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))又因?yàn)?3180°( )，所以13( )所以 ABDG( )所以GDCB( )2如圖，點(diǎn) G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB，AG 分別交于點(diǎn) H，M.若 DFAB， B75°，D105°，求證：AMEAGC.3如圖，ABCD，AE 平分BAD，CD 與 AE 相交于點(diǎn) F，CFEE.求證：AD BC.4如圖，E1，3ABC180°，BE 是ABC 的平分線你能判斷 DF 與 AB 的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由5如圖，ABBD 于點(diǎn) B，點(diǎn) E 是 BD 上的點(diǎn)，AE 平分BAC，CE 平分ACD，且 1290°.求證：CDBD.6如圖，把一張長(zhǎng)方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與 BC 的交點(diǎn)為 G，點(diǎn) D， C 分別落在 D，C的位置上若EFG55°，求1，2 的度數(shù)7如圖，已知 BCGE，AFG150°.(1)求證：AFDE；(2)若 AQ 平分FAC，交 BC 于點(diǎn) Q，且Q15°，求ACQ 的度數(shù)參考答案：小專題（一）平行線中的“拐點(diǎn)”問(wèn)題模型 1 M 型【例 1】 如圖，已知 ABCD，則B，BED，D 之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明 理由【思路點(diǎn)撥】 由已知條件知，ABCD，但圖形中沒(méi)有截這兩條平行線的第三條 直線，因而不能直接用平行線的性質(zhì)解決為此可構(gòu)造第三條直線，即過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB，于是 BE，DE 就可以作為第三條直線了【解答】 BEDBD. 理由：過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB，則 EFCD. BBEF，DDEF. BEDBEFDEFBD.變式當(dāng)點(diǎn) E 運(yùn)動(dòng)到平行線的外側(cè)1已知 ABCD，點(diǎn) E 為 AB，CD 之外任意一點(diǎn)(1)如圖 1，探究BED 與B，D 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由； (2)如圖 2，探究CDE 與B，BED 的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由解：(1)BBEDD.理由如下： 過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB，則 ABCDEF. BEFB，DDEF.BEFBEDDEF，BBEDD.(2)CDEBBED.理由如下： 過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB，則 ABCDEF.BBEF180°，CDEDEF180°. 又DEFBEFBED，CDEBEFBEDBBEF， 即CDEBBED.拓展平行線間有多個(gè)拐點(diǎn)2(1)如圖 1 中，ABCD，則EG 與BFD 有何關(guān)系？ (2)在圖 2 中，若 ABCD，又能得到什么結(jié)論？解：(1)BEFFGDBEFGD.理由：過(guò)點(diǎn) E，F(xiàn)，G 分別作 EMAB，F(xiàn)NAB，GHAB，由 ABCD，得 ABEMFNGHCD.BEMB，MEFEFN，NFGFGH，HGDD.BEFFGDBEMMEFFGHHGDBEFNNFGD BEFGD.(2)在圖 2 中，有E E E E BF F F1 2 3 n 1 2n1D.如果出現(xiàn)多個(gè)拐點(diǎn)時(shí)，可以作多條平行線，從而將多拐點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)拐點(diǎn)問(wèn) 題來(lái)處理M 型最終的結(jié)論為：朝左的角之和等于朝右的角之和模型 2鉛筆型【例 2】 如圖，直線 ABCD，B，BED，D 之間有什么關(guān)系呢？為什么？【解答】 BBEDD360°.理由：過(guò)點(diǎn) E 作 EFAB.ABCD，ABCDEF.BBEF180°，DDEF180°. BBEFDDEF360°， 即BBEDD360°.拓展平行線間有多個(gè)拐點(diǎn)3(1)如圖 1，MA NA ，則A A 180 度；1 2 1 2如圖 2，MA NA ，則A A A 360 度；1 3 1 2 3如圖 3，MA NA ，則A A A A 540 度；1 4 1 2 3 4圖 4，MA NA ，則A A A A A 720 度； 1 5 1 2 3 4 5從上述結(jié)論中你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？(2)如圖 5，MA NA ，則A A A A 180(n1)度1 n 1 2 3 n解：每增加一個(gè)角，度數(shù)增加 180°.小專題(二)利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)類型 1直接利用平行線的性質(zhì)與判定求角度1如圖，OC 是AOB 的平分線，lOB.若152°，則2 的度數(shù)為( C ) A52° B54° C64° D69°2如圖，CDAB，點(diǎn) O 在 AB 上，OE 平分BOD，OFOE，D110°，則AOF 的度數(shù)是( D )A20°D35°B25° C30°3如圖，ABCD，CBDE，B50°，則D130°4如圖，已知 EFAD，12，BAC80°，求AGD 的度數(shù)解：EFAD，23(兩直線平行，同位角相等)12，13(等量代換)ABDG(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)BACAGD180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) BAC80°，AGD100°.類型 2借助學(xué)具的特征求角度5如圖，將直尺與 30°角的三角尺疊放在一起若140°，則2 的大小是 ( D )A40° B60° C70° D80°6如圖，一塊直角三角板的兩銳角的頂點(diǎn)剛好落在平行線 l ，l 上，已知C1 2是直角，則12 的度數(shù)等于( B )A75° B90° C105° D120°類型 3折疊問(wèn)題中求角度7將一個(gè)長(zhǎng)方形紙片折疊成如圖所示的圖形若ABC26°，則ACD128°8如圖，一個(gè)四邊形紙片 ABCD，BD90°，C130°.把紙片按如圖 所示折疊，使點(diǎn) B 落在 AD 邊上的 B點(diǎn)，AE 是折痕，則AEB 的度數(shù)是 65°類型 4抽象出平行線模型求角度 (建模思想)9如圖，AOB 的一邊 OA 為平面鏡，AOB38°，一束光線(與水平線 OB 平 行)從點(diǎn) C 射入經(jīng)平面鏡反射后，反射光線落在 OB 上的點(diǎn) E 處，已知ADC ODE.則DEB 的度數(shù)是 76 度10 如圖 1 是我們常用的折疊式小刀，圖 2 中刀柄外形是一個(gè)梯形挖去一個(gè)小半 圓，其中刀片的兩條邊緣線可看成兩條平行的線段，轉(zhuǎn)動(dòng)刀片時(shí)會(huì)形成如圖 2 所示的1 與2，則1 與2 的度數(shù)和是 90°小專題(三)平行線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用教材 P37T13 的變式與應(yīng)用教材母題 (教材 P37T13) ：完成下面的證明(1)如圖 1，點(diǎn) D，E，F(xiàn) 分別是三角形 ABC 的邊 BC，CA，AB 上的點(diǎn)，DEBA，DF CA.求證：FDEA.證明：DEBA，F(xiàn)DEBFD(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)DFCA，ABFD(兩直線平行，同位角相等)FDEA.(2)如圖 2，AB 和 CD 相交于點(diǎn) O，CCOA，DBOD.求證 ACBD. 證明：CCOA，DBOD，又COABOD(對(duì)頂角相等)，CDACBD(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)(1)判定兩直線平行的方法有五種：平行線的定義；平行公理的推論；同 位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線 平行(2)判定兩直線平行時(shí)，定義一般不常用，其他四種方法要靈活運(yùn)用，推理時(shí)要 注意書寫格式(3)由兩條直線平行得到同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)，解題時(shí)應(yīng)結(jié) 合圖形先確認(rèn)所成的角是不是兩平行線被第三條直線所截得的同位角或內(nèi)錯(cuò)角 或同旁內(nèi)角，同時(shí)要學(xué)會(huì)簡(jiǎn)單的幾何說(shuō)理，做到每一步有理有據(jù)1如圖，已知 ADBC，EFBC，垂足分別為 D，F(xiàn)，23180°.試說(shuō)明： GDCB.下面是不完整的說(shuō)理過(guò)程，請(qǐng)你將橫線上的過(guò)程和括號(hào)里的理由補(bǔ) 充完整解：因?yàn)?ADBC，EFBC(已知)，所以ADBEFB90°(垂直的定義)所以 ADEF(同位角相等，兩直線平行)所以12180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) 又因?yàn)?3180°(已知)，所以13(同角的補(bǔ)角相等)所以 ABDG(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)所以GDCB(兩直線平行，同位角相等)2如圖，點(diǎn) G 在射線 BC 上，射線 DE 與 AB，AG 分別交于點(diǎn) H，M.若 DFAB， B75°，D105°，求證：AMEAGC.證明：DFAB(已知)，DBHM(兩直線平行，同位角相等) 又B75°，D105°(已知)， BBHM75°105°180°. DEBC(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行) AMEAGC(兩直線平行，同位角相等)3如圖，ABCD，AE 平分BAD，CD 與 AE 相交于點(diǎn) F，CFEE.求證：AD BC.證明：AE 平分BAD(已知)，12(角平分線的定義)ABCD(已知)，1CFE(兩直線平行，同位角相等)又12(已證)，CFEE(已知)，2E(等量代換)ADBC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)4如圖，E1，3ABC180°，BE 是ABC 的平分線你能判斷 DF 與 AB 的位置關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由解：DFAB.理由：BE 是ABC 的平分線，12(角平分線的定義)E1(已知)，E2(等量代換)AEBC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)AABC180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)) 3ABC180°(已知)，A3(等量代換)DFAB(同位角相等，兩直線平行)5如圖，ABBD 于點(diǎn) B，點(diǎn) E 是 BD 上的點(diǎn)，AE 平分BAC，CE 平分ACD，且 1290°.求證：CDBD.證明：AE 平分BAC，CE 平分ACD(已知)，BAC21，ACD22(角平分線的性質(zhì))BACACD21222(12)1290°(已知)，BACACD180°.ABCD(同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行)BD180°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))D180°B(等式的性質(zhì))ABBD(已知)，B90°(垂直的定義)D90°，即 CDBD.6如圖，把一張長(zhǎng)方形 ABCD 的紙片沿 EF 折疊后， ED 與 BC 的交點(diǎn)為 G，點(diǎn) D， C 分別落在 D，C的位置上若EFG55°，求1，2 的度數(shù)解：ADBC，EFG55°，2GED，DEFEFG55°(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等) 由折疊，知GEFDEF55°.GED110°.2110°.1180°270°(兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ))7如圖，已知 BCGE，AFG150°.(1)求證：AFDE；(2)若 AQ 平分FAC，交 BC 于點(diǎn) Q，且Q15°，求ACQ 的度數(shù)解：(1)證明：BCGE，E150°.AFG150°，EAFG50°.AFDE.(2)過(guò)點(diǎn) A 作 APGE，BCGE，APGEBC.FAPAFG50°，PAQQ15°. FAQFAPPAQ65°.AQ 平分FAC，CAQFAQ65°. CAP80°.ACQ180°CAP100°.