北京市石景山區(qū)2016屆高三上期末數(shù)學試卷(理)含答案解析.doc

2015-2016學年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設(shè)集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，則MN=（）A1B2C0，1D1，22若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（）A0B2C3D43如圖的程序框圖表示算法的運行結(jié)果是（）A2B2C1D14已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a3=8，a4=4，則前n項和Sn中最大的是（）AS3BS4或S5CS5或S6DS65“ab=4”是“直線2x+ay1=0與直線bx+2y2=0平行”的（）A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件6若曲線y2=2px（p0）上只有一個點到其焦點的距離為1，則p的值為（）A4B3C2D17如圖，點O為正方體ABCDABCD的中心，點E為面BBCC的中心，點F為BC的中點，則空間四邊形DOEF在該正方體的各個面上的投影不可能是（）ABCD8如圖，在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，把四邊形BEFC沿直線EF折起，使得面BEFC面ADFE，若動點P平面ADFE，設(shè)PB，PC與平面ADFE所成的角分別為1，2（1，2均不為0）若1=2，則動點P的軌跡為（）A直線B橢圓C圓D拋物線二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點到原點的距離為10的二項展開式中x項的系數(shù)為（用數(shù)字作答）11在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，則cosB=12在極坐標系中，設(shè)曲線=2和cos=1相交于點A，B，則|AB|=132位男生和3位女生共5位同學站成一排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是種（用數(shù)字作答）14股票交易的開盤價是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數(shù)，然后由計算機根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當?shù)膬r格，使得在該價位上能夠成交的股數(shù)最多（注：當賣方意向價不高于開盤價，同時買方意向價不低于開盤價，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價為元，能夠成交的股數(shù)為賣家意向價（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)200400500100買家意向價（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)600300300100三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15已知函數(shù)f（x）=2x，xR（）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（）求函數(shù)f（x）在上的最大值與最小值16某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質(zhì)健康情況從全體學生中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示根據(jù)學生體質(zhì)健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良（）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；（）從抽取的12人中隨機選取3人，記表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求的分布列及期望17在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2（）求證：BE平面PAD；（）求證：BC平面PBD；（）在線段PC上是否存在一點Q，使得二面角QBDP為45°？若存在，求的值；若不存在，請述明理由18已知函數(shù)f（x）=x1+（aR，e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線平行于x軸，求a的值；（）求函數(shù)f（x）的極值；（）當a=1的值時，若直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值19已知橢圓C：（ab0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形（）求橢圓C的標準方程；（）設(shè)F為橢圓C的左焦點，M為直線x=3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點P，Q證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點N（其中O為坐標原點）20給定一個數(shù)列an，在這個數(shù)列里，任取m（m3，mN*）項，并且不改變它們在數(shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列an的一個m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項公式為an=（nN*，a為常數(shù)），等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個3子階數(shù)列（1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個m（m3，mN*）階子數(shù)列，且b1=（k為常數(shù)，kN*，k2），求證：mk+1（3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個m（m3，mN*）階子數(shù)列，求證：c1+c1+cm22015-2016學年北京市石景山區(qū)高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1設(shè)集合M=0，1，2，N=x|x23x+20，則MN=（）A1B2C0，1D1，2【考點】交集及其運算【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本運算即可得到結(jié)論【解答】解：N=x|x23x+20=x|（x1）（x2）0=x|1x2，MN=1，2，故選：D2若變量x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（）A0B2C3D4【考點】簡單線性規(guī)劃【分析】由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案【解答】解：由約束條件作出可行域如圖，化目標函數(shù)z=2x+y為y=2x+z，由圖可知，當直線y=2x+z過A（2，0）時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為4故選：D3如圖的程序框圖表示算法的運行結(jié)果是（）A2B2C1D1【考點】程序框圖【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，i的值，當i=5時滿足條件i4，退出循環(huán)，輸出S的值為2【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S=0，i=1不滿足條件i4，不滿足條件i是偶數(shù)，S=1，i=2不滿足條件i4，滿足條件i是偶數(shù)，S=1，i=3不滿足條件i4，不滿足條件i是偶數(shù)，S=2，i=4不滿足條件i4，滿足條件i是偶數(shù)，S=2，i=5滿足條件i4，退出循環(huán)，輸出S的值為2故選：A4已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a3=8，a4=4，則前n項和Sn中最大的是（）AS3BS4或S5CS5或S6DS6【考點】等差數(shù)列的前n項和【分析】由an是等差數(shù)列，a3=8，a4=4，解得a1=16，d=4故Sn=2n2+18n=2（n）2+由此能求出結(jié)果【解答】解：an是等差數(shù)列，a3=8，a4=4，解得a1=16，d=4Sn=16n+=2n2+18n=2（n）2+當n=4或n=5時，Sn取最大值故選B5“ab=4”是“直線2x+ay1=0與直線bx+2y2=0平行”的（）A充分必要條件B充分而不必要條件C必要而不充分條件D既不充分也不必要條件【考點】兩條直線平行的判定【分析】本題考查線線平行關(guān)系公式的利用，注意2條線是否重合【解答】解：兩直線平行斜率相等即可得ab=4，又因為不能重合，當a=1，b=4時，滿足ab=4，但是重合，所以選C6若曲線y2=2px（p0）上只有一個點到其焦點的距離為1，則p的值為（）A4B3C2D1【考點】拋物線的簡單性質(zhì)【分析】利用拋物線的性質(zhì)求出p即可【解答】解：因為拋物線關(guān)于拋物線的軸對稱，所以拋物線頂點到焦點的距離唯一，可得，p=2故選：C7如圖，點O為正方體ABCDABCD的中心，點E為面BBCC的中心，點F為BC的中點，則空間四邊形DOEF在該正方體的各個面上的投影不可能是（）ABCD【考點】簡單空間圖形的三視圖【分析】根據(jù)平行投影的特點和正方體的性質(zhì)，得到分別從正方體三個不同的角度來觀察正方體，得到三個不同的投影圖，逐個檢驗，得到結(jié)果【解答】解：由題意知光線從上向下照射，得到C，光線從前向后照射，得到A，光線從左向右照射得到B，故空間四邊形DOEF在該正方體的各個面上的投影不可能是D，故選：D8如圖，在等腰梯形ABCD中，E，F(xiàn)分別是底邊AB，CD的中點，把四邊形BEFC沿直線EF折起，使得面BEFC面ADFE，若動點P平面ADFE，設(shè)PB，PC與平面ADFE所成的角分別為1，2（1，2均不為0）若1=2，則動點P的軌跡為（）A直線B橢圓C圓D拋物線【考點】軌跡方程【分析】先確定PE=PF，再以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標系，求出軌跡方程，即可得出結(jié)論【解答】解：由題意，PE=BEcot1，PF=CFcot2，BE=CF，1=2，PE=PF以EF所在直線為x軸，EF的垂直平分線為y軸建立坐標系，設(shè)E（a，0），F(xiàn)（a，0），P（x，y），則（x+a）2+y2= （xa）2+y2，3x2+3y2+10ax+3a2=0，軌跡為圓故選：C二、填空題共6小題，每小題5分，共30分9在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點到原點的距離為【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復數(shù)的基本概念【分析】利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運算性質(zhì)化簡復數(shù)，求出其在復平面內(nèi)的對應點的坐標，利用兩點間的距離公式求得復數(shù)對應的點到原點的距離【解答】解：復數(shù)=1+i，其對應點的坐標為（1，1），該點到原點的距離等于=，故答案為10的二項展開式中x項的系數(shù)為5（用數(shù)字作答）【考點】二項式定理的應用【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于1，求出r的值，即可求得展開式中x項的系數(shù)【解答】解：的二項展開式的通項公式為 Tr+1=（1）r，令=1，求得r=1，可得展開式中x項的系數(shù)為=5，故答案為：511在ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且 a=15，b=10，A=60°，則cosB=【考點】正弦定理【分析】由正弦定理可得，可求sinB，然后結(jié)合大邊對大角及同角平方關(guān)系即可求解【解答】解：a=15，b=10，A=60°由正弦定理可得，sinB=abABB為銳角cosB=故答案為：12在極坐標系中，設(shè)曲線=2和cos=1相交于點A，B，則|AB|=2【考點】簡單曲線的極坐標方程【分析】由=2，得x2+y2=4，由cos=1，得x=1，由此聯(lián)立方程組能求出交點A、B，由此能求出|AB|【解答】解：=2，x2+y2=4，cos=1，x=1，聯(lián)立，得或，A（1，），B（1，），|AB|=2故答案為：2132位男生和3位女生共5位同學站成一排，若3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是72種（用數(shù)字作答）【考點】排列、組合的實際應用【分析】把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個空中的2個空中，問題得以解決【解答】解：把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素，和剩下的一位女生，插入到2位男生全排列后形成的3個空中的2個空中，故有A32A22A32=72種，故答案為：7214股票交易的開盤價是這樣確定的：每天開盤前，由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數(shù)，然后由計算機根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當?shù)膬r格，使得在該價位上能夠成交的股數(shù)最多（注：當賣方意向價不高于開盤價，同時買方意向價不低于開盤價，能夠成交）根據(jù)以下數(shù)據(jù)，這種股票的開盤價為2.2元，能夠成交的股數(shù)為600賣家意向價（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)200400500100買家意向價（元）2.12.22.32.4意向股數(shù)600300300100【考點】函數(shù)模型的選擇與應用【分析】分別計算出開盤價為2.1、2.2、2.3、2.4元買家意向股數(shù)及賣家意向股數(shù)，進而比較即得結(jié)論【解答】解：依題意，當開盤價為2.1元時，買家意向股數(shù)為600+300+300+100=1300，賣家意向股數(shù)為200，此時能夠成交的股數(shù)為200；當開盤價為2.2元時，買家意向股數(shù)為300+300+100=700，賣家意向股數(shù)為200+400=600，此時能夠成交的股數(shù)為600；當開盤價為2.3元時，買家意向股數(shù)為300+100=400，賣家意向股數(shù)為200+400+500=1100，此時能夠成交的股數(shù)為400；當開盤價為2.4元時，買家意向股數(shù)為100，賣家意向股數(shù)為200+400+500+100=1200，此時能夠成交的股數(shù)為100；故答案為：2.2，600三、解答題共6小題，共80分解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程15已知函數(shù)f（x）=2x，xR（）求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（）求函數(shù)f（x）在上的最大值與最小值【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；三角函數(shù)的周期性及其求法【分析】（）先化簡函數(shù)可得f（x）=，即可求函數(shù)f（x）的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間；（）由定義域根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）在上的最大值與最小值【解答】解： =（）f（x）的最小正周期為令，解得，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（）因為，所以，所以，于是，所以0f（x）1當且僅當x=0時，f（x）取最小值f（x）min=f（0）=0當且僅當，即時最大值16某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質(zhì)健康情況從全體學生中，隨機抽取12名進行體質(zhì)健康測試，測試成績（百分制）以莖葉圖形式表示如圖所示根據(jù)學生體質(zhì)健康標準，成績不低于76的為優(yōu)良（）寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（）將頻率視為概率根據(jù)樣本估計總體的思想，在該校學生中任選3人進行體質(zhì)健康測試，求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率；（）從抽取的12人中隨機選取3人，記表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù)，求的分布列及期望【考點】離散型隨機變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)；古典概型及其概率計算公式【分析】（）利用莖葉圖能求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)（）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為，由此得到從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為，從而能求出“在該校學生中任選3人，至少有1人成績是優(yōu)良”的概率（）由題意可得，的可能取值為0，1，2，3，分別求出相對應的概率，由此能求出的分布列和E【解答】解：（）這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86，中位數(shù)為86（）抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為，故從該校學生中任選1人，成績是“優(yōu)良”的概率為，設(shè)“在該校學生中任選3人，至少有1人成績是優(yōu)良的事件”為A，則P（A）=1=1=（）由題意可得，的可能取值為0，1，2，3P（=0）=，P（=1）=，P（=2）=，P（=3）=，所以的分布列為0123PE=17在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，E為PC中點，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2（）求證：BE平面PAD；（）求證：BC平面PBD；（）在線段PC上是否存在一點Q，使得二面角QBDP為45°？若存在，求的值；若不存在，請述明理由【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定【分析】（）取CD中點F，連結(jié)EF，BF，則EFPD，ABDF，從而BFAD，進而平面PAD平面BEF，由此能證明BE平面PAD（）推導出BCPD，BCBD，由此能證明BC平面PBD（）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出在線段PC上存在Q（0，2，2），使得二面角QBDP為45°，=【解答】證明：（）取CD中點F，連結(jié)EF，BF，E為PC中點，AB=AD=PD=1，CD=2，EFPD，ABDF，四邊形ABFD是平行四邊形，BFAD，EFBF=F，ADPD=D，BF、EF平面BEF，AD、PD平面ADP，平面PAD平面BEF，BE平面BEF，BE平面PAD（）在四棱錐PABCD中，側(cè)面PCD底面ABCD，PDCD，PD底面ABCD，BCPD，底面ABCD是直角梯形，ABCD，ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2，BD=BC=，BD2+BC2=CD2，BCBD，PDBD=D，BC平面PBD解：（）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，D（0，0，0），P（0，0，1），B（1，1，0），C（0，2，0），設(shè)Q（0，b，c），=（1，1，0），=（0，0，1），=（0，b，c），設(shè)平面BDP的法向量=（x，y，z），則，取x=1，得=（1，1，0），設(shè)平面BDQ的法向量=（x1，y1，z1），則，取x1=1，得=（1，1，），二面角QBDP為45°，cos45°=，解得=，Q（0，c），解得c=2，Q（0，2，2），=在線段PC上存在Q（0，2，2），使得二面角QBDP為45°，=18已知函數(shù)f（x）=x1+（aR，e為自然對數(shù)的底數(shù)）（）若曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線平行于x軸，求a的值；（）求函數(shù)f（x）的極值；（）當a=1的值時，若直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程【分析】（）依題意，f（1）=0，從而可求得a的值；（）f（x）=1，分a0時a0討論，可知f（x）在（，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增，從而可求其極值；（）令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，則直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒有公共點方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，分k1與k1討論即可得答案【解答】解：（）由f（x）=x1+，得f（x）=1，又曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線平行于x軸，f（1）=0，即1=0，解得a=e（）f（x）=1，當a0時，f（x）0，f（x）為（，+）上的增函數(shù)，所以f（x）無極值；當a0時，令f（x）=0，得ex=a，x=lna，x（，lna），f（x）0；x（lna，+），f（x）0；f（x）在（，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+）上單調(diào)遞增，故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值綜上，當a0時，f（x）無極值；當a0時，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值（）當a=1時，f（x）=x1+，令g（x）=f（x）（kx1）=（1k）x+，則直線l：y=kx1與曲線y=f（x）沒有公共點，等價于方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解假設(shè)k1，此時g（0）=10，g（）=1+0，又函數(shù)g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，與“方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解”矛盾，故k1又k=1時，g（x）=0，知方程g（x）=0在R上沒有實數(shù)解，所以k的最大值為119已知橢圓C：（ab0）的焦距為4，其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形（）求橢圓C的標準方程；（）設(shè)F為橢圓C的左焦點，M為直線x=3上任意一點，過F作MF的垂線交橢圓C于點P，Q證明：OM經(jīng)過線段PQ的中點N（其中O為坐標原點）【考點】直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標準方程【分析】（I）由橢圓C的焦距為4，及等邊三角形的性質(zhì)和a2=b2+c2，求得a，b，即可求橢圓C的標準方程；（）設(shè)M（3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為N（x0，y0），kMF=m，設(shè)直線PQ的方程為x=my2，代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結(jié)合三點共線的方法：斜率相等，即可得證【解答】解：（）由題意可得c=2，短軸的兩個端點與長軸的一個端點構(gòu)成正三角形，可得a=2b，即有a=b，a2b2=4，解得a=，b=，則橢圓方程為+=1；（）證明：設(shè)M（3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為N（x0，y0），kMF=m，由F（2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=my2，代入橢圓方程可得（m2+3）y24my2=0，即有y1+y2=，y1y2=，于是N（，），則直線ON的斜率kON=，又kOM=，可得kOM=kON，則O，N，M三點共線，即有OM經(jīng)過線段PQ的中點20給定一個數(shù)列an，在這個數(shù)列里，任取m（m3，mN*）項，并且不改變它們在數(shù)列an中的先后次序，得到的數(shù)列an的一個m階子數(shù)列已知數(shù)列an的通項公式為an=（nN*，a為常數(shù)），等差數(shù)列a2，a3，a6是數(shù)列an的一個3子階數(shù)列（1）求a的值；（2）等差數(shù)列b1，b2，bm是an的一個m（m3，mN*）階子數(shù)列，且b1=（k為常數(shù)，kN*，k2），求證：mk+1（3）等比數(shù)列c1，c2，cm是an的一個m（m3，mN*）階子數(shù)列，求證：c1+c1+cm2【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義及其性質(zhì)即可得出；（2）設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為d由b1=，可得b2，再利用等差數(shù)列的通項公式及其不等式的性質(zhì)即可證明；（3）設(shè)c1= （tN*），等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為q由c2，可得q=從而cn=c1qn1（1nm，nN*）再利用等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性即可得出【解答】（1）解：a2，a3，a6成等差數(shù)列，a2a3=a3a6又a2=，a3=，a6=，代入得=，解得a=0（2）證明：設(shè)等差數(shù)列b1，b2，bm的公差為db1=，b2，從而d=b2b1=bm=b1+（m1）d又bm0，0即m1k+1mk+2又m，kN*，mk+1（3）證明：設(shè)c1= （tN*），等比數(shù)列c1，c2，cm的公比為qc2，q=從而cn=c1qn1（1nm，nN*）c1+c2+cm+=，設(shè)函數(shù)f（x）=x，（m3，mN*）當x（0，+）時，函數(shù)f（x）=x為單調(diào)增函數(shù)當tN*，12f（）2即 c1+c2+cm22016年8月21日第20頁（共20頁）