北京市石景山區(qū)2016屆高三上期末數(shù)學試卷(理)含答案解析.doc
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2015-2016學年北京市石景山區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(理科) 一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1.設集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},則M∩N=( ?。? A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 2.若變量x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為( ?。? A.0 B.2 C.3 D.4 3.如圖的程序框圖表示算法的運行結果是( ?。? A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1 4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3=8,a4=4,則前n項和Sn中最大的是( ) A.S3 B.S4或S5 C.S5或S6 D.S6 5.“ab=4”是“直線2x+ay﹣1=0與直線bx+2y﹣2=0平行”的( ?。? A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 6.若曲線y2=2px(p>0)上只有一個點到其焦點的距離為1,則p的值為( ?。? A.4 B.3 C.2 D.1 7.如圖,點O為正方體ABCD﹣A′B′C′D′的中心,點E為面B′BCC′的中心,點F為B′C′的中點,則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影不可能是( ?。? A. B. C. D. 8.如圖,在等腰梯形ABCD中,,E,F(xiàn)分別是底邊AB,CD的中點,把四邊形BEFC沿直線EF折起,使得面BEFC⊥面ADFE,若動點P∈平面ADFE,設PB,PC與平面ADFE所成的角分別為θ1,θ2(θ1,θ2均不為0).若θ1=θ2,則動點P的軌跡為( ?。? A.直線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線 二、填空題共6小題,每小題5分,共30分. 9.在復平面內,復數(shù)對應的點到原點的距離為 ?。? 10.的二項展開式中x項的系數(shù)為 .(用數(shù)字作答) 11.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且 a=15,b=10,A=60°,則cosB= ?。? 12.在極坐標系中,設曲線ρ=2和ρcosθ=1相交于點A,B,則|AB|= ?。? 13.2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)是 種.(用數(shù)字作答) 14.股票交易的開盤價是這樣確定的:每天開盤前,由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數(shù),然后由計算機根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當?shù)膬r格,使得在該價位上能夠成交的股數(shù)最多.(注:當賣方意向價不高于開盤價,同時買方意向價不低于開盤價,能夠成交)根據(jù)以下數(shù)據(jù),這種股票的開盤價為 元,能夠成交的股數(shù)為 ?。? 賣家意向價(元) 2.1 2.2 2.3 2.4 意向股數(shù) 200 400 500 100 買家意向價(元) 2.1 2.2 2.3 2.4 意向股數(shù) 600 300 300 100 三、解答題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程. 15.已知函數(shù)f(x)=2x,x∈R. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調增區(qū)間; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值. 16.某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質健康情況.從全體學生中,隨機抽取12名進行體質健康測試,測試成績(百分制)以莖葉圖形式表示如圖所示.根據(jù)學生體質健康標準,成績不低于76的為優(yōu)良. (Ⅰ)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù); (Ⅱ)將頻率視為概率.根據(jù)樣本估計總體的思想,在該校學生中任選3人進行體質健康測試,求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率; (Ⅲ)從抽取的12人中隨機選取3人,記ξ表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù),求ξ的分布列及期望. 17.在四棱錐P﹣ABCD中,側面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E為PC中點,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求證:BE∥平面PAD; (Ⅱ)求證:BC⊥平面PBD; (Ⅲ)在線段PC上是否存在一點Q,使得二面角Q﹣BD﹣P為45°?若存在,求的值;若不存在,請述明理由. 18.已知函數(shù)f(x)=x﹣1+(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值; (Ⅲ)當a=1的值時,若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值. 19.已知橢圓C:(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形. (Ⅰ)求橢圓C的標準方程; (Ⅱ)設F為橢圓C的左焦點,M為直線x=﹣3上任意一點,過F作MF的垂線交橢圓C于點P,Q.證明:OM經(jīng)過線段PQ的中點N.(其中O為坐標原點) 20.給定一個數(shù)列{an},在這個數(shù)列里,任取m(m≥3,m∈N*)項,并且不改變它們在數(shù)列{an}中的先后次序,得到的數(shù)列{an}的一個m階子數(shù)列. 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(n∈N*,a為常數(shù)),等差數(shù)列a2,a3,a6是數(shù)列{an}的一個3子階數(shù)列. (1)求a的值; (2)等差數(shù)列b1,b2,…,bm是{an}的一個m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,且b1=(k為常數(shù),k∈N*,k≥2),求證:m≤k+1 (3)等比數(shù)列c1,c2,…,cm是{an}的一個m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,求證:c1+c1+…+cm≤2﹣. 2015-2016學年北京市石景山區(qū)高三(上)期末數(shù)學試卷(理科) 參考答案與試題解析 一、選擇題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項. 1.設集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},則M∩N=( ) A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2} 【考點】交集及其運算. 【分析】求出集合N的元素,利用集合的基本運算即可得到結論. 【解答】解:∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2}, ∴M∩N={1,2}, 故選:D. 2.若變量x,y滿足約束條件,則z=2x+y的最大值為( ) A.0 B.2 C.3 D.4 【考點】簡單線性規(guī)劃. 【分析】由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案. 【解答】解:由約束條件作出可行域如圖, 化目標函數(shù)z=2x+y為y=﹣2x+z, 由圖可知,當直線y=﹣2x+z過A(2,0)時,直線在y軸上的截距最大,z有最大值為4. 故選:D. 3.如圖的程序框圖表示算法的運行結果是( ?。? A.﹣2 B.2 C.﹣1 D.1 【考點】程序框圖. 【分析】模擬執(zhí)行程序框圖,依次寫出每次循環(huán)得到的S,i的值,當i=5時滿足條件i>4,退出循環(huán),輸出S的值為﹣2. 【解答】解:模擬執(zhí)行程序框圖,可得 S=0,i=1 不滿足條件i>4,不滿足條件i是偶數(shù),S=1,i=2 不滿足條件i>4,滿足條件i是偶數(shù),S=﹣1,i=3 不滿足條件i>4,不滿足條件i是偶數(shù),S=2,i=4 不滿足條件i>4,滿足條件i是偶數(shù),S=﹣2,i=5 滿足條件i>4,退出循環(huán),輸出S的值為﹣2. 故選:A. 4.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a3=8,a4=4,則前n項和Sn中最大的是( ) A.S3 B.S4或S5 C.S5或S6 D.S6 【考點】等差數(shù)列的前n項和. 【分析】由{an}是等差數(shù)列,a3=8,a4=4,解得a1=16,d=﹣4.故Sn=﹣2n2+18n=﹣2(n﹣)2+.由此能求出結果. 【解答】解:∵{an}是等差數(shù)列,a3=8,a4=4, ∴,解得a1=16,d=﹣4. ∴Sn=16n+ =﹣2n2+18n =﹣2(n﹣)2+. ∴當n=4或n=5時,Sn取最大值. 故選B. 5.“ab=4”是“直線2x+ay﹣1=0與直線bx+2y﹣2=0平行”的( ?。? A.充分必要條件 B.充分而不必要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 【考點】兩條直線平行的判定. 【分析】本題考查線線平行關系公式的利用,注意2條線是否重合 【解答】解:∵兩直線平行∴斜率相等.即可得ab=4, 又因為不能重合,當a=1,b=4時,滿足ab=4,但是重合, 所以選C 6.若曲線y2=2px(p>0)上只有一個點到其焦點的距離為1,則p的值為( ?。? A.4 B.3 C.2 D.1 【考點】拋物線的簡單性質. 【分析】利用拋物線的性質求出p即可. 【解答】解:因為拋物線關于拋物線的軸對稱,所以拋物線頂點到焦點的距離唯一, 可得,p=2. 故選:C. 7.如圖,點O為正方體ABCD﹣A′B′C′D′的中心,點E為面B′BCC′的中心,點F為B′C′的中點,則空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影不可能是( ) A. B. C. D. 【考點】簡單空間圖形的三視圖. 【分析】根據(jù)平行投影的特點和正方體的性質,得到分別從正方體三個不同的角度來觀察正方體,得到三個不同的投影圖,逐個檢驗,得到結果. 【解答】解:由題意知光線從上向下照射,得到C, 光線從前向后照射,得到A, 光線從左向右照射得到B, 故空間四邊形D′OEF在該正方體的各個面上的投影不可能是D, 故選:D 8.如圖,在等腰梯形ABCD中,,E,F(xiàn)分別是底邊AB,CD的中點,把四邊形BEFC沿直線EF折起,使得面BEFC⊥面ADFE,若動點P∈平面ADFE,設PB,PC與平面ADFE所成的角分別為θ1,θ2(θ1,θ2均不為0).若θ1=θ2,則動點P的軌跡為( ?。? A.直線 B.橢圓 C.圓 D.拋物線 【考點】軌跡方程. 【分析】先確定PE=PF,再以EF所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立坐標系,求出軌跡方程,即可得出結論. 【解答】解:由題意,PE=BEcotθ1,PF=CFcotθ2, ∵BE=CF,θ1=θ2, ∴PE=PF. 以EF所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立坐標系,設E(﹣a,0),F(xiàn)(a,0),P(x,y),則 (x+a)2+y2= [(x﹣a)2+y2], ∴3x2+3y2+10ax+3a2=0,軌跡為圓. 故選:C. 二、填空題共6小題,每小題5分,共30分. 9.在復平面內,復數(shù)對應的點到原點的距離為 ?。? 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算;復數(shù)的基本概念. 【分析】利用兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘除法,虛數(shù)單位i的冪運算性質化簡復數(shù),求出其在復平面內的對應點的坐標,利用兩點間的距離公式求得復數(shù)對應的點到原點的距離. 【解答】解:復數(shù)===﹣1+i,其對應點的坐標為(﹣1,1), 該點到原點的距離等于=, 故答案為. 10.的二項展開式中x項的系數(shù)為 ﹣5 .(用數(shù)字作答) 【考點】二項式定理的應用. 【分析】在二項展開式的通項公式中,令x的冪指數(shù)等于1,求出r的值,即可求得展開式中x項的系數(shù). 【解答】解:的二項展開式的通項公式為 Tr+1=?(﹣1)r?,令=1,求得r=1, 可得展開式中x項的系數(shù)為﹣=﹣5, 故答案為:﹣5. 11.在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且 a=15,b=10,A=60°,則cosB= ?。? 【考點】正弦定理. 【分析】由正弦定理可得,可求sinB,然后結合大邊對大角及同角平方關系即可求解 【解答】解:∵a=15,b=10,A=60° 由正弦定理可得, ∴sinB=== ∵a>b ∴A>B ∴B為銳角 ∴cosB== 故答案為: 12.在極坐標系中,設曲線ρ=2和ρcosθ=1相交于點A,B,則|AB|= 2?。? 【考點】簡單曲線的極坐標方程. 【分析】由ρ=2,得x2+y2=4,由ρcosθ=1,得x=1,由此聯(lián)立方程組能求出交點A、B,由此能求出|AB|. 【解答】解:∵ρ=2,∴x2+y2=4, ∴ρcosθ=1,∴x=1, 聯(lián)立,得或, ∴A(1,﹣),B(1,), ∴|AB|=2. 故答案為:2. 13.2位男生和3位女生共5位同學站成一排,若3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同排法的種數(shù)是 72 種.(用數(shù)字作答) 【考點】排列、組合的實際應用. 【分析】把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素,和剩下的一位女生,插入到2位男生全排列后形成的3個空中的2個空中,問題得以解決. 【解答】解:把3位女生的兩位捆綁在一起看做一個復合元素,和剩下的一位女生,插入到2位男生全排列后形成的3個空中的2個空中, 故有A32A22A32=72種, 故答案為:72 14.股票交易的開盤價是這樣確定的:每天開盤前,由投資者填報某種股票的意向買價或意向賣價以及相應的意向股數(shù),然后由計算機根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定適當?shù)膬r格,使得在該價位上能夠成交的股數(shù)最多.(注:當賣方意向價不高于開盤價,同時買方意向價不低于開盤價,能夠成交)根據(jù)以下數(shù)據(jù),這種股票的開盤價為 2.2 元,能夠成交的股數(shù)為 600?。? 賣家意向價(元) 2.1 2.2 2.3 2.4 意向股數(shù) 200 400 500 100 買家意向價(元) 2.1 2.2 2.3 2.4 意向股數(shù) 600 300 300 100 【考點】函數(shù)模型的選擇與應用. 【分析】分別計算出開盤價為2.1、2.2、2.3、2.4元買家意向股數(shù)及賣家意向股數(shù),進而比較即得結論. 【解答】解:依題意,當開盤價為2.1元時,買家意向股數(shù)為600+300+300+100=1300, 賣家意向股數(shù)為200,此時能夠成交的股數(shù)為200; 當開盤價為2.2元時,買家意向股數(shù)為300+300+100=700, 賣家意向股數(shù)為200+400=600,此時能夠成交的股數(shù)為600; 當開盤價為2.3元時,買家意向股數(shù)為300+100=400, 賣家意向股數(shù)為200+400+500=1100,此時能夠成交的股數(shù)為400; 當開盤價為2.4元時,買家意向股數(shù)為100, 賣家意向股數(shù)為200+400+500+100=1200,此時能夠成交的股數(shù)為100; 故答案為:2.2,600. 三、解答題共6小題,共80分.解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程. 15.已知函數(shù)f(x)=2x,x∈R. (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調增區(qū)間; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值. 【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應用;三角函數(shù)的周期性及其求法. 【分析】(Ⅰ)先化簡函數(shù)可得f(x)=,即可求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調增區(qū)間; (Ⅱ)由定義域根據(jù)正弦函數(shù)的單調性即可求出函數(shù)f(x)在上的最大值與最小值. 【解答】解: ==. (Ⅰ)f(x)的最小正周期為. 令,解得, 所以函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間為. (Ⅱ)因為,所以,所以, 于是,所以0≤f(x)≤1. 當且僅當x=0時,f(x)取最小值f(x)min=f(0)=0. 當且僅當,即時最大值. 16.某教育主管部門到一所中學檢查學生的體質健康情況.從全體學生中,隨機抽取12名進行體質健康測試,測試成績(百分制)以莖葉圖形式表示如圖所示.根據(jù)學生體質健康標準,成績不低于76的為優(yōu)良. (Ⅰ)寫出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù); (Ⅱ)將頻率視為概率.根據(jù)樣本估計總體的思想,在該校學生中任選3人進行體質健康測試,求至少有1人成績是“優(yōu)良”的概率; (Ⅲ)從抽取的12人中隨機選取3人,記ξ表示成績“優(yōu)良”的學生人數(shù),求ξ的分布列及期望. 【考點】離散型隨機變量的期望與方差;眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù);古典概型及其概率計算公式. 【分析】(Ⅰ)利用莖葉圖能求出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù),中位數(shù). (Ⅱ)抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為,由此得到從該校學生中任選1人,成績是“優(yōu)良”的概率為,從而能求出“在該校學生中任選3人,至少有1人成績是‘優(yōu)良’”的概率. (Ⅲ)由題意可得,ξ的可能取值為0,1,2,3,分別求出相對應的概率,由此能求出ξ的分布列和Eξ. 【解答】解:(Ⅰ)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為86,中位數(shù)為86.… (Ⅱ)抽取的12人中成績是“優(yōu)良”的頻率為, 故從該校學生中任選1人,成績是“優(yōu)良”的概率為,… 設“在該校學生中任選3人,至少有1人成績是‘優(yōu)良’的事件”為A, 則P(A)=1﹣=1﹣=.… (Ⅲ)由題意可得,ξ的可能取值為0,1,2,3.… P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)===,P(ξ=3)===, 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P … Eξ==.… 17.在四棱錐P﹣ABCD中,側面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E為PC中點,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2. (Ⅰ)求證:BE∥平面PAD; (Ⅱ)求證:BC⊥平面PBD; (Ⅲ)在線段PC上是否存在一點Q,使得二面角Q﹣BD﹣P為45°?若存在,求的值;若不存在,請述明理由. 【考點】二面角的平面角及求法;直線與平面平行的判定;直線與平面垂直的判定. 【分析】(Ⅰ)取CD中點F,連結EF,BF,則EF∥PD,ABDF,從而BF∥AD,進而平面PAD∥平面BEF,由此能證明BE∥平面PAD. (Ⅱ)推導出BC⊥PD,BC⊥BD,由此能證明BC⊥平面PBD. (Ⅲ)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出在線段PC上存在Q(0,2,2﹣),使得二面角Q﹣BD﹣P為45°,=. 【解答】證明:(Ⅰ)取CD中點F,連結EF,BF, ∵E為PC中點,AB=AD=PD=1,CD=2, ∴EF∥PD,ABDF, ∴四邊形ABFD是平行四邊形,∴BF∥AD, ∵EF∩BF=F,AD∩PD=D,BF、EF?平面BEF,AD、PD?平面ADP, ∴平面PAD∥平面BEF, ∵BE?平面BEF,∴BE∥平面PAD. (Ⅱ)∵在四棱錐P﹣ABCD中,側面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD, ∴PD⊥底面ABCD,∴BC⊥PD, ∵底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2, ∴BD=BC==, ∴BD2+BC2=CD2,∴BC⊥BD, ∵PD∩BD=D,∴BC⊥平面PBD. 解:(Ⅲ)以D為原點,DA為x軸,DC為y軸,DP為z軸,建立空間直角坐標系, D(0,0,0),P(0,0,1),B(1,1,0),C(0,2,0),設Q(0,b,c), =(1,1,0),=(0,0,1),=(0,b,c), 設平面BDP的法向量=(x,y,z), 則,取x=1,得=(1,﹣1,0), 設平面BDQ的法向量=(x1,y1,z1), 則,取x1=1,得=(1,﹣1,), ∵二面角Q﹣BD﹣P為45°, ∴cos45°===,解得=, ∴Q(0,,c),∴,解得c=2﹣,∴Q(0,2,2﹣), ∴==. ∴在線段PC上存在Q(0,2,2﹣),使得二面角Q﹣BD﹣P為45°,=. 18.已知函數(shù)f(x)=x﹣1+(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)). (Ⅰ)若曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸,求a的值; (Ⅱ)求函數(shù)f(x)的極值; (Ⅲ)當a=1的值時,若直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點,求k的最大值. 【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值;利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程. 【分析】(Ⅰ)依題意,f′(1)=0,從而可求得a的值; (Ⅱ)f′(x)=1﹣,分①a≤0時②a>0討論,可知f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調遞減,在(lna,+∞)上單調遞增,從而可求其極值; (Ⅲ)令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+,則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點?方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解,分k>1與k≤1討論即可得答案. 【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=x﹣1+,得f′(x)=1﹣, 又曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線平行于x軸, ∴f′(1)=0,即1﹣=0,解得a=e. (Ⅱ)f′(x)=1﹣, ①當a≤0時,f′(x)>0,f(x)為(﹣∞,+∞)上的增函數(shù),所以f(x)無極值; ②當a>0時,令f′(x)=0,得ex=a,x=lna, x∈(﹣∞,lna),f′(x)<0;x∈(lna,+∞),f′(x)>0; ∴f(x)在∈(﹣∞,lna)上單調遞減,在(lna,+∞)上單調遞增, 故f(x)在x=lna處取到極小值,且極小值為f(lna)=lna,無極大值. 綜上,當a≤0時,f(x)無極值;當a>0時,f(x)在x=lna處取到極小值lna,無極大值. (Ⅲ)當a=1時,f(x)=x﹣1+,令g(x)=f(x)﹣(kx﹣1)=(1﹣k)x+, 則直線l:y=kx﹣1與曲線y=f(x)沒有公共點, 等價于方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解. 假設k>1,此時g(0)=1>0,g()=﹣1+<0, 又函數(shù)g(x)的圖象連續(xù)不斷,由零點存在定理可知g(x)=0在R上至少有一解, 與“方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解”矛盾,故k≤1. 又k=1時,g(x)=>0,知方程g(x)=0在R上沒有實數(shù)解, 所以k的最大值為1. 19.已知橢圓C:(a>b>0)的焦距為4,其短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形. (Ⅰ)求橢圓C的標準方程; (Ⅱ)設F為橢圓C的左焦點,M為直線x=﹣3上任意一點,過F作MF的垂線交橢圓C于點P,Q.證明:OM經(jīng)過線段PQ的中點N.(其中O為坐標原點) 【考點】直線與圓錐曲線的關系;橢圓的標準方程. 【分析】(I)由橢圓C的焦距為4,及等邊三角形的性質和a2=b2+c2,求得a,b,即可求橢圓C的標準方程; (Ⅱ)設M(﹣3,m),P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ的中點為N(x0,y0),kMF=﹣m,設直線PQ的方程為x=my﹣2,代入橢圓方程,運用韋達定理和中點坐標公式,結合三點共線的方法:斜率相等,即可得證. 【解答】解:(Ⅰ)由題意可得c=2, 短軸的兩個端點與長軸的一個端點構成正三角形,可得 a=?2b,即有a=b,a2﹣b2=4, 解得a=,b=, 則橢圓方程為+=1; (Ⅱ)證明:設M(﹣3,m),P(x1,y1),Q(x2,y2), PQ的中點為N(x0,y0),kMF=﹣m, 由F(﹣2,0),可設直線PQ的方程為x=my﹣2, 代入橢圓方程可得(m2+3)y2﹣4my﹣2=0, 即有y1+y2=,y1y2=﹣, 于是N(﹣,), 則直線ON的斜率kON=﹣, 又kOM=﹣, 可得kOM=kON, 則O,N,M三點共線,即有OM經(jīng)過線段PQ的中點. 20.給定一個數(shù)列{an},在這個數(shù)列里,任取m(m≥3,m∈N*)項,并且不改變它們在數(shù)列{an}中的先后次序,得到的數(shù)列{an}的一個m階子數(shù)列. 已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(n∈N*,a為常數(shù)),等差數(shù)列a2,a3,a6是數(shù)列{an}的一個3子階數(shù)列. (1)求a的值; (2)等差數(shù)列b1,b2,…,bm是{an}的一個m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,且b1=(k為常數(shù),k∈N*,k≥2),求證:m≤k+1 (3)等比數(shù)列c1,c2,…,cm是{an}的一個m(m≥3,m∈N*)階子數(shù)列,求證:c1+c1+…+cm≤2﹣. 【考點】數(shù)列的求和;等差數(shù)列的性質. 【分析】(1)利用等差數(shù)列的定義及其性質即可得出; (2)設等差數(shù)列b1,b2,…,bm的公差為d.由b1=,可得b2≤,再利用等差數(shù)列的通項公式及其不等式的性質即可證明; (3)設c1= (t∈N*),等比數(shù)列c1,c2,…,cm的公比為q.由c2≤,可得q=≤.從而cn=c1qn﹣1≤(1≤n≤m,n∈N*).再利用等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性即可得出. 【解答】(1)解:∵a2,a3,a6成等差數(shù)列, ∴a2﹣a3=a3﹣a6. 又∵a2=,a3=,a6=, 代入得﹣=﹣,解得a=0. (2)證明:設等差數(shù)列b1,b2,…,bm的公差為d. ∵b1=,∴b2≤, 從而d=b2﹣b1≤﹣=﹣. ∴bm=b1+(m﹣1)d≤﹣. 又∵bm>0,∴﹣>0. 即m﹣1<k+1. ∴m<k+2. 又∵m,k∈N*,∴m≤k+1. (3)證明:設c1= (t∈N*),等比數(shù)列c1,c2,…,cm的公比為q. ∵c2≤,∴q=≤. 從而cn=c1qn﹣1≤(1≤n≤m,n∈N*). ∴c1+c2+…+cm≤+++…+ =, 設函數(shù)f(x)=x﹣,(m≥3,m∈N*). 當x∈(0,+∞)時,函數(shù)f(x)=x﹣為單調增函數(shù). ∵當t∈N*,∴1<≤2.∴f()≤2﹣. 即 c1+c2+…+cm≤2﹣. 2016年8月21日 第20頁(共20頁)- 配套講稿:
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