2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar
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北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
數(shù)學(xué)(文科) 2011.5
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.已知集合,,且,則等于
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.已知,則下列不等式正確的是
(A)
(B)
(C)
(D)
4.在中,“”是“為直角三角形”的
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)既不充分又不必要條件
5.1
正(主)視圖
俯視圖
2
2
2
側(cè)(左)視圖
2
1
一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則其體積等于
(A)
(B)
(C)
(D)
6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是圖象的最高點(diǎn),是圖象與軸的交點(diǎn),則
x
B
P
y
O
(A)
(B)
(C)
(D)
7.若,則函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為
(A)0個(gè)
(B)1個(gè)
(C)2個(gè)
(D)3個(gè)
8.已知點(diǎn)及拋物線,若拋物線上點(diǎn)滿足,則
的最大值為
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 已知為等差數(shù)列,,則其前項(xiàng)之和為_____.
10.已知向量,,設(shè)與的夾角為,則_____.
11.在中,若,,則_____.
12.平面上滿足約束條件的點(diǎn)形成的區(qū)域?yàn)?,則區(qū)域的面積為
________;設(shè)區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱的區(qū)域?yàn)椋瑒t區(qū)域和區(qū)域中距離
開始
輸入
否
結(jié)束
輸出
是
最近的兩點(diǎn)的距離為________.
13.定義某種運(yùn)算,的運(yùn)算原理如右圖所示.
則______;
設(shè).則______.
14.數(shù)列滿足,,其中,.給出下列命題:
①,對(duì)于任意,;
②,對(duì)于任意,;
③,,當(dāng)()時(shí)總有.
其中正確的命題是______.(寫出所有正確命題的序號(hào))
三、解答題:本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若,求的值.
16.(本小題滿分13分)
如圖,菱形的邊長(zhǎng)為,,.將菱形沿對(duì)角線折起,得到三棱錐,點(diǎn)是棱的中點(diǎn),.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
A
B
A
B
C
C
D
M
O
D
O
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
17.(本小題滿分13分)
由世界自然基金會(huì)發(fā)起的“地球1小時(shí)”活動(dòng),已發(fā)展成為最有影響力的環(huán)?;顒?dòng)之一,今年的參與人數(shù)再創(chuàng)新高.然而也有部分公眾對(duì)該活動(dòng)的實(shí)際效果與負(fù)面影響提出了疑問.對(duì)此,某新聞媒體進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:
支持
保留
不支持
20歲以下
800
450
200
20歲以上(含20歲)
100
150
300
(Ⅰ)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個(gè)人,已知從“支持”態(tài)度的人中抽取了45人,求的值;
(Ⅱ)在持“不支持”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取5人看成一個(gè)總體,從這5人中任意選取2人,求至少有人20歲以下的概率;
(Ⅲ)在接受調(diào)查的人中,有8人給這項(xiàng)活動(dòng)打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8個(gè)人打出的分?jǐn)?shù)看作一個(gè)總體,從中任取個(gè)數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的概率.
18.(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線在點(diǎn)(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
19.(本小題滿分14分)
已知橢圓()的焦距為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過橢圓頂點(diǎn),斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn),交軸于點(diǎn),且成等比數(shù)列,求的值.
20.(本小題滿分13分)
若函數(shù)對(duì)任意的,均有,則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(Ⅰ)判斷下面兩個(gè)函數(shù)是否具有性質(zhì),并說明理由.
①; ②.
(Ⅱ)若函數(shù)具有性質(zhì),且(),
求證:對(duì)任意有;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否對(duì)任意均有.若成立給出證明,若不成立給出反例.
北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)(文科) 2011.5
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
A
D
B
B
C
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 11.
12. ; 13. ; 14. ①③
注:12、13題第一問2分,第二問3分.
14題只選出一個(gè)正確的命題給2分,選出錯(cuò)誤的命題即得0分.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.
15.(本小題滿分13分)
解:解:(Ⅰ)由題意,, ……………2分
所以,. ……………3分
函數(shù)的定義域?yàn)? ……………4分
(Ⅱ)因?yàn)?,所以? ……………5分
, ……………7分
, ……………9分
將上式平方,得, ……………12分
所以. ……………13分
16.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)證明:因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn),
所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn),
所以是的中位線,. ……………2分
因?yàn)槠矫?平面,
所以平面. ……………4分
(Ⅱ)證明:由題意,,
因?yàn)?所以,. ……………6分
A
B
C
M
O
D
又因?yàn)榱庑危? …………7分
因?yàn)?
所以平面, ……………8分
因?yàn)槠矫妫?
所以平面平面. ……………9分
(Ⅲ)解:三棱錐的體積等于三棱錐的體積. ……………10分
由(Ⅱ)知,平面,
所以為三棱錐的高. ……………11分
的面積為, ……………12分
所求體積等于. ……………13分
17.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)由題意得, ……………2分
所以. ……………3分
(Ⅱ)設(shè)所選取的人中,有人20歲以下,則,解得.………5分
也就是20歲以下抽取了2人,另一部分抽取了3人,分別記作A1,A2;B1,B2,B3,
則從中任取2人的所有基本事件為 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10個(gè). ………7分
其中至少有1人20歲以下的基本事件有7個(gè):(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), …………8分
所以從中任意抽取2人,至少有1人20歲以下的概率為. ……………9分
(Ⅲ)總體的平均數(shù)為,………10分
那么與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的數(shù)只有8.2, ……………12分
所以該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對(duì)值超過0.6的概率為. ……………13分
18.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由已知,
所以, ……………2分
由,得, ……………3分
所以,在區(qū)間上,,
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; ……………4分
在區(qū)間上,,
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增; ……………5分
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因?yàn)椋?
所以曲線在點(diǎn)處切線為:. ……………7分
切線與軸的交點(diǎn)為,與軸的交點(diǎn)為, ……………9分
因?yàn)?,所以? ……………10分
, ……………12分
在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.
……………13分
所以,當(dāng)時(shí),有最大值,此時(shí),
所以,的最大值為. ……………14分
19、(本小題滿分14分)
x
y
O
D
B
E
解:(Ⅰ)由已知,. ……………2分
解得, ……………4分
所以,
橢圓的方程為. ……………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得過點(diǎn)的直線為,
由 得, ……………6分
所以,所以, ……………8分
依題意,.
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列,所以, ……………9分
所以,即, ……………10分
當(dāng)時(shí),,無解, ……………11分
當(dāng)時(shí),,解得, ……………12分
所以,解得,
所以,當(dāng)成等比數(shù)列時(shí),. ……………14分
20.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)證明:①函數(shù)具有性質(zhì). ……………1分
,
因?yàn)?,? ……………3分
即,
此函數(shù)為具有性質(zhì).
②函數(shù)不具有性質(zhì). ……………4分
例如,當(dāng)時(shí),,
, ……………5分
所以,,
此函數(shù)不具有性質(zhì).
(Ⅱ)假設(shè)為中第一個(gè)大于的值, ……………6分
則,
因?yàn)楹瘮?shù)具有性質(zhì),
所以,對(duì)于任意,均有,
所以,
所以,
與矛盾,
所以,對(duì)任意的有. ……………9分
(Ⅲ)不成立.
例如 ……………10分
證明:當(dāng)為有理數(shù)時(shí),均為有理數(shù),
,
當(dāng)為無理數(shù)時(shí),均為無理數(shù),
所以,函數(shù)對(duì)任意的,均有,
即函數(shù)具有性質(zhì). ……………12分
而當(dāng)()且當(dāng)為無理數(shù)時(shí),.
所以,在(Ⅱ)的條件下,“對(duì)任意均有”不成立.……………13分
(其他反例仿此給分.
如,,,等.)
北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
數(shù)學(xué)(理科) 2011.5
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).
1.已知集合,,且,則等于
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.在中,“”是“為鈍角三角形”的
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)既不充分又不必要條件
4.已知六棱錐的底面是正六邊形,
平面.則下列結(jié)論不正確的是
(A)平面
(B)平面
(C)平面
(D)平面
5.雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線離心率為
(A)
(B)
(C)
(D)
x
A
B
P
y
O
6.函數(shù)的部分圖象如右圖所示,設(shè)是圖象的最高點(diǎn),是圖象與軸的交點(diǎn),則
(A)
(B)
(C)
(D)
7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,那么滿足的整數(shù)
(A)有3個(gè)
(B)有2個(gè)
(C)有1個(gè)
(D)不存在
8.設(shè)點(diǎn),,如果直線與線段有一個(gè)公共點(diǎn),那么
(A)最小值為
(B)最小值為
(C)最大值為
(D)最大值為
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
O
A
B
P
D
C
?
9.在中,若,,則_____.
10.在的展開式中,的系數(shù)是_____.
11.如圖,是圓的直徑,在的延長(zhǎng)線上,
切圓于點(diǎn).已知圓半徑為,,則
______;的大小為______.
開始
輸入
否
結(jié)束
輸出
是
12.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為_____.
13.定義某種運(yùn)算,的運(yùn)算原理如右圖所示.
設(shè).
則______;
在區(qū)間上的最小值為______.
14.數(shù)列滿足,,其中,
.
①當(dāng)時(shí),_____;
②若存在正整數(shù),當(dāng)時(shí)總有,則的取值范圍是_____.
三、解答題:本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若,求的值.
16.(本小題滿分13分)
如圖,已知菱形的邊長(zhǎng)為,,.將菱形沿對(duì)角線折起,使,得到三棱錐.
(Ⅰ)若點(diǎn)是棱的中點(diǎn),求證:平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè)點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試確定點(diǎn)的位置,使得,并證明你的結(jié)論.
M
17.(本小題滿分13分)
甲班有2名男乒乓球選手和3名女乒乓球選手,乙班有3名男乒乓球選手和1名女乒乓球選手,學(xué)校計(jì)劃從甲乙兩班各選2名選手參加體育交流活動(dòng).
(Ⅰ)求選出的4名選手均為男選手的概率.
(Ⅱ)記為選出的4名選手中女選手的人數(shù),求的分布列和期望.
18.(本小題滿分14分)
已知函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積;
(Ⅱ)若函數(shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),且極大值與極小值的積為,求的值.
19.(本小題滿分14分)
已知橢圓的離心率為,且橢圓上一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),
求面積的最大值.
20.(本小題滿分13分)
若為集合且的子集,且滿足兩個(gè)條件:
①;
②對(duì)任意的,至少存在一個(gè),使或.
…
…
…
…
…
…
…
則稱集合組具有性質(zhì).
如圖,作行列數(shù)表,定義數(shù)表中的第行第列的數(shù)為.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),判斷下列兩個(gè)集合組是否具有性質(zhì),如果是請(qǐng)畫出所對(duì)應(yīng)的表格,如果不是請(qǐng)說明理由;
集合組1:;
集合組2:.
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若集合組具有性質(zhì),請(qǐng)先畫出所對(duì)應(yīng)的行3列的一個(gè)數(shù)表,再依此表格分別寫出集合;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),集合組是具有性質(zhì)且所含集合個(gè)數(shù)最小的集合組,求的值及的最小值.(其中表示集合所含元素的個(gè)數(shù))
北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)(理科) 2011.5
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
C
A
D
C
B
B
A
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 11.;
12.(或其它等價(jià)寫法) 13.; 14.;.
注:11、13、14題第一問2分,第二問3分.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分.
15.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)由題意,, ………………2分
所以, ………………3分
所以, ………………4分
函數(shù)的定義域?yàn)? ………………5分
(Ⅱ) ………………7分
………………8分
. ………………10分
因?yàn)椋? ………………11分
所以, ………………12分
. ………………13分
16.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)證明:因?yàn)辄c(diǎn)是菱形的對(duì)角線的交點(diǎn),
所以是的中點(diǎn).又點(diǎn)是棱的中點(diǎn),
所以是的中位線,. ………………1分
因?yàn)槠矫?平面,
所以平面. ………………3分
A
B
C
O
D
x
y
z
M
(Ⅱ)解:由題意,,
因?yàn)椋?
所以,. ………………4分
又因?yàn)榱庑?,所以?
建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示.
.
所以 ………………6分
設(shè)平面的法向量為,
則有即:
令,則,所以. ………………7分
因?yàn)?所以平面.
平面的法向量與平行,
所以平面的法向量為. ………………8分
,
因?yàn)槎娼鞘卿J角,
所以二面角的余弦值為. ……………9分
(Ⅲ)解:因?yàn)槭蔷€段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè),,
則,
所以, ……………10分
則,,
由得,即,…………11分
解得或, ……………12分
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或. ……………13分
(也可以答是線段的三等分點(diǎn),或)
17.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)事件表示“選出的4名選手均為男選手”.由題意知
………………3分
. ………………5分
(Ⅱ)的可能取值為. ………………6分
, ………………7分
, ………………9分
, ………………10分
. ………………11分
的分布列:
………………12分
. ………………13分
18、(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ), ………………3分
當(dāng)時(shí),,
,,
所以曲線在處的切線方程為, ………………5分
切線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,, ………………6分
所以,所求面積為. ………………7分
(Ⅱ)因?yàn)楹瘮?shù)存在一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),
所以,方程在內(nèi)存在兩個(gè)不等實(shí)根, ………………8分
則 ………………9分
所以. ………………10分
設(shè)為函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn),
則,, ………………11分
因?yàn)?,?
所以,, ………………12分
即,,,
解得,,此時(shí)有兩個(gè)極值點(diǎn),
所以. ………………14分
19.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)因?yàn)闄E圓上一點(diǎn)和它的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形周長(zhǎng)為,
所以, ……………1分
又橢圓的離心率為,即,所以, ………………2分
所以,. ………………4分
所以,橢圓的方程為. ………………5分
(Ⅱ)方法一:不妨設(shè)的方程,則的方程為.
由得, ………………6分
設(shè),,
因?yàn)椋裕? ………………7分
同理可得, ………………8分
所以,, ………………10分
, ………………12分
設(shè),
則, ………………13分
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),
所以面積的最大值為. ………………14分
方法二:不妨設(shè)直線的方程.
由 消去得, ………………6分
設(shè),,
則有,. ① ………………7分
因?yàn)橐詾橹睆降膱A過點(diǎn),所以 .
由 ,
得 . ………………8分
將代入上式,
得 .
將 ① 代入上式,解得 或(舍). ………………10分
所以(此時(shí)直線經(jīng)過定點(diǎn),與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)),
所以
. ……………12分
設(shè),
則.
所以當(dāng)時(shí),取得最大值. ……………14分
20.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)解:集合組1具有性質(zhì). ………………1分
0
1
1
0
0
0
0
1
1
0
0
1
所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為:
………………3分
集合組2不具有性質(zhì). ………………4分
因?yàn)榇嬖冢?
有,
與對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),有或矛盾,所以集合組不具有性質(zhì). ………………5分
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(Ⅱ)
……………7分
. ………………8分
(注:表格中的7行可以交換得到不同的表格,它們所對(duì)應(yīng)的集合組也不同)
(Ⅲ)設(shè)所對(duì)應(yīng)的數(shù)表為數(shù)表,
因?yàn)榧辖M為具有性質(zhì)的集合組,
所以集合組滿足條件①和②,
由條件①:,
可得對(duì)任意,都存在有,
所以,即第行不全為0,
所以由條件①可知數(shù)表中任意一行不全為0. ………………9分
由條件②知,對(duì)任意的,都至少存在一個(gè),使或,所以一定是一個(gè)1一個(gè)0,即第行與第行的第列的兩個(gè)數(shù)一定不同.
所以由條件②可得數(shù)表中任意兩行不完全相同. ………………10分
因?yàn)橛伤鶚?gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的元有序數(shù)組,共有個(gè),又因數(shù)表中任意兩行都不完全相同,所以,
所以.
又時(shí),由所構(gòu)成的元有序數(shù)組共有個(gè),去掉全是的數(shù)組,共個(gè),選擇其中的個(gè)數(shù)組構(gòu)造行列數(shù)表,則數(shù)表對(duì)應(yīng)的集合組滿足條件①②,即具有性質(zhì).
所以. ………………12分
因?yàn)榈扔诒砀裰袛?shù)字1的個(gè)數(shù),
所以,要使取得最小值,只需使表中1的個(gè)數(shù)盡可能少,
而時(shí),在數(shù)表中,
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
的個(gè)數(shù)為的行最多行;
因?yàn)樯鲜龉灿行?,所以還有行各有個(gè),
所以此時(shí)表格中最少有個(gè).
所以的最小值為. ………………14分
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類型:共享資源
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上傳時(shí)間:2019-11-16
2
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- 關(guān) 鍵 詞:
-
2011
西城區(qū)
高三二模
數(shù)學(xué)試卷
答案
文理科
- 資源描述:
-
2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar,2011,西城區(qū),高三二模,數(shù)學(xué)試卷,答案,文理科
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