2011西城區(qū)高三二模數(shù)學(xué)試卷及答案(文理科).rar
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北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
數(shù)學(xué)(文科) 2011.5
第Ⅰ卷(選擇題 共40分)
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分. 在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項.
1.已知集合,,且,則等于
(A)
(B)
(C)
(D)
2.已知是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點落在
(A)第一象限
(B)第二象限
(C)第三象限
(D)第四象限
3.已知,則下列不等式正確的是
(A)
(B)
(C)
(D)
4.在中,“”是“為直角三角形”的
(A)充分不必要條件
(B)必要不充分條件
(C)充要條件
(D)既不充分又不必要條件
5.1
正(主)視圖
俯視圖
2
2
2
側(cè)(左)視圖
2
1
一個幾何體的三視圖如圖所示,則其體積等于
(A)
(B)
(C)
(D)
6.函數(shù)的部分圖象如圖所示,設(shè)為坐標(biāo)原點,是圖象的最高點,是圖象與軸的交點,則
x
B
P
y
O
(A)
(B)
(C)
(D)
7.若,則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為
(A)0個
(B)1個
(C)2個
(D)3個
8.已知點及拋物線,若拋物線上點滿足,則
的最大值為
(A)
(B)
(C)
(D)
第Ⅱ卷(非選擇題 共110分)
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 已知為等差數(shù)列,,則其前項之和為_____.
10.已知向量,,設(shè)與的夾角為,則_____.
11.在中,若,,則_____.
12.平面上滿足約束條件的點形成的區(qū)域為,則區(qū)域的面積為
________;設(shè)區(qū)域關(guān)于直線對稱的區(qū)域為,則區(qū)域和區(qū)域中距離
開始
輸入
否
結(jié)束
輸出
是
最近的兩點的距離為________.
13.定義某種運算,的運算原理如右圖所示.
則______;
設(shè).則______.
14.數(shù)列滿足,,其中,.給出下列命題:
①,對于任意,;
②,對于任意,;
③,,當(dāng)()時總有.
其中正確的命題是______.(寫出所有正確命題的序號)
三、解答題:本大題共6小題,共80分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分13分)
已知函數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的定義域;
(Ⅱ)若,求的值.
16.(本小題滿分13分)
如圖,菱形的邊長為,,.將菱形沿對角線折起,得到三棱錐,點是棱的中點,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:平面平面;
A
B
A
B
C
C
D
M
O
D
O
(Ⅲ)求三棱錐的體積.
17.(本小題滿分13分)
由世界自然基金會發(fā)起的“地球1小時”活動,已發(fā)展成為最有影響力的環(huán)?;顒又?,今年的參與人數(shù)再創(chuàng)新高.然而也有部分公眾對該活動的實際效果與負(fù)面影響提出了疑問.對此,某新聞媒體進(jìn)行了網(wǎng)上調(diào)查,所有參與調(diào)查的人中,持“支持”、“保留”和“不支持”態(tài)度的人數(shù)如下表所示:
支持
保留
不支持
20歲以下
800
450
200
20歲以上(含20歲)
100
150
300
(Ⅰ)在所有參與調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取個人,已知從“支持”態(tài)度的人中抽取了45人,求的值;
(Ⅱ)在持“不支持”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取5人看成一個總體,從這5人中任意選取2人,求至少有人20歲以下的概率;
(Ⅲ)在接受調(diào)查的人中,有8人給這項活動打出的分?jǐn)?shù)如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8個人打出的分?jǐn)?shù)看作一個總體,從中任取個數(shù),求該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率.
18.(本小題滿分14分)
設(shè)函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)記曲線在點(其中)處的切線為,與軸、軸所圍成的三角形面積為,求的最大值.
19.(本小題滿分14分)
已知橢圓()的焦距為,離心率為.
(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過橢圓頂點,斜率為的直線交橢圓于另一點,交軸于點,且成等比數(shù)列,求的值.
20.(本小題滿分13分)
若函數(shù)對任意的,均有,則稱函數(shù)具有性質(zhì).
(Ⅰ)判斷下面兩個函數(shù)是否具有性質(zhì),并說明理由.
①; ②.
(Ⅱ)若函數(shù)具有性質(zhì),且(),
求證:對任意有;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,是否對任意均有.若成立給出證明,若不成立給出反例.
北京市西城區(qū)2011年高三二模試卷
參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
數(shù)學(xué)(文科) 2011.5
一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
C
A
D
B
B
C
二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分.
9. 10. 11.
12. ; 13. ; 14. ①③
注:12、13題第一問2分,第二問3分.
14題只選出一個正確的命題給2分,選出錯誤的命題即得0分.
三、解答題:本大題共6小題,共80分.若考生的解法與本解答不同,正確者可參照評分標(biāo)準(zhǔn)給分.
15.(本小題滿分13分)
解:解:(Ⅰ)由題意,, ……………2分
所以,. ……………3分
函數(shù)的定義域為. ……………4分
(Ⅱ)因為,所以, ……………5分
, ……………7分
, ……………9分
將上式平方,得, ……………12分
所以. ……………13分
16.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)證明:因為點是菱形的對角線的交點,
所以是的中點.又點是棱的中點,
所以是的中位線,. ……………2分
因為平面,平面,
所以平面. ……………4分
(Ⅱ)證明:由題意,,
因為,所以,. ……………6分
A
B
C
M
O
D
又因為菱形,所以. …………7分
因為,
所以平面, ……………8分
因為平面,
所以平面平面. ……………9分
(Ⅲ)解:三棱錐的體積等于三棱錐的體積. ……………10分
由(Ⅱ)知,平面,
所以為三棱錐的高. ……………11分
的面積為, ……………12分
所求體積等于. ……………13分
17.(本小題滿分13分)
解:(Ⅰ)由題意得, ……………2分
所以. ……………3分
(Ⅱ)設(shè)所選取的人中,有人20歲以下,則,解得.………5分
也就是20歲以下抽取了2人,另一部分抽取了3人,分別記作A1,A2;B1,B2,B3,
則從中任取2人的所有基本事件為 (A1,B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2),(B1 ,B2),(B2 ,B3),(B1 ,B3)共10個. ………7分
其中至少有1人20歲以下的基本事件有7個:(A1, B1),(A1, B2),(A1, B3),(A2 ,B1),(A2 ,B2),(A2 ,B3),(A1, A2), …………8分
所以從中任意抽取2人,至少有1人20歲以下的概率為. ……………9分
(Ⅲ)總體的平均數(shù)為,………10分
那么與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的數(shù)只有8.2, ……………12分
所以該數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值超過0.6的概率為. ……………13分
18.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由已知,
所以, ……………2分
由,得, ……………3分
所以,在區(qū)間上,,
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減; ……………4分
在區(qū)間上,,
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增; ……………5分
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(Ⅱ)因為,
所以曲線在點處切線為:. ……………7分
切線與軸的交點為,與軸的交點為, ……………9分
因為,所以, ……………10分
, ……………12分
在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞增,在區(qū)間上,函數(shù)單調(diào)遞減.
……………13分
所以,當(dāng)時,有最大值,此時,
所以,的最大值為. ……………14分
19、(本小題滿分14分)
x
y
O
D
B
E
解:(Ⅰ)由已知,. ……………2分
解得, ……………4分
所以,
橢圓的方程為. ……………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得過點的直線為,
由 得, ……………6分
所以,所以, ……………8分
依題意,.
因為成等比數(shù)列,所以, ……………9分
所以,即, ……………10分
當(dāng)時,,無解, ……………11分
當(dāng)時,,解得, ……………12分
所以,解得,
所以,當(dāng)成等比數(shù)列時,. ……………14分
20.(本小題滿分13分)
(Ⅰ)證明:①函數(shù)具有性質(zhì). ……………1分
,
因為,, ……………3分
即,
此函數(shù)為具有性質(zhì).
②函數(shù)不具有性質(zhì). ……………4分
例如,當(dāng)時,,
, ……………5分
所以,,
此函數(shù)不具有性質(zhì).
(Ⅱ)假設(shè)為中第一個大于的值, ……………6分
則,
因為函數(shù)具有性質(zhì),
所以,對于任意,均有,
所以,
所以,
與矛盾,
所以,對任意的有. ……………9分
(Ⅲ)不成立.
例如 ……………10分
證明:當(dāng)為有理數(shù)時,均為有理數(shù),
,
當(dāng)為無理數(shù)時,均為無理數(shù),
所以,函數(shù)對任意的,均有,
即函數(shù)具有性質(zhì). ……………12分
而當(dāng)()且當(dāng)為無理數(shù)時,.
所以,在(Ⅱ)的條件下,“對任意均有”不成立.……………13分
(其他反例仿此給分.
如,,,等.)
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