金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 Word版含解析

高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第四講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的幾種情況(1)若連續(xù)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極大值點(diǎn)x0，則f(x0)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值，f(a)，f(b)min是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值；若函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有唯一的極小值點(diǎn)x0，則f(x0)是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值，f(a)，f(b)max是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值，f(b)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值，f(b)是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值(3)若函數(shù)f(x)在a，b上有極值點(diǎn)x1，x2，xn(nN*，n2)，則將f(x1)，f(x2)，f(xn)與f(a)，f(b)作比較，其中最大的一個(gè)是函數(shù)f(x)在a，b上的最大值，最小的一個(gè)是函數(shù)f(x)在a，b上的最小值2不等式的恒成立與能成立問(wèn)題(1)f(x)>g(x)對(duì)一切xI恒成立I是f(x)>g(x)的解集的子集f(x)g(x)min>0(xI)(2)f(x)>g(x)對(duì)xI能成立I與f(x)>g(x)的解集的交集不是空集f(x)g(x)max>0(xI)(3)對(duì)x1，x2D使得f(x1)g(x2)f(x)maxg(x)min.(4)對(duì)x1D1，x2D2使得f(x1)g(x2)f(x)ming(x)min，f(x)定義域?yàn)镈1，g(x)定義域?yàn)镈2.3證明不等式問(wèn)題不等式的證明可轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，再由單調(diào)性或最值來(lái)證明不等式，其中構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵 考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)(或方程的根)典例示法題型1利用導(dǎo)數(shù)判斷零點(diǎn)(或根)的個(gè)數(shù)問(wèn)題典例120xx·陜西高考設(shè)函數(shù)f(x)ln x，mR.(1)當(dāng)me(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，求f(x)的極小值；(2)討論函數(shù)g(x)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)若對(duì)任意b>a>0，<1恒成立，求m的取值范圍解(1)由題設(shè)，當(dāng)me時(shí)，f(x)ln x，則f(x)，當(dāng)x(0，e)，f(x)<0，f(x)在(0，e)上單調(diào)遞減，當(dāng)x(e，)，f(x)>0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞增，當(dāng)xe時(shí)，f(x)取得極小值f(e)ln e2，f(x)的極小值為2.(2)由題設(shè)g(x)f(x)(x>0)，令g(x)0，得mx3x(x>0)設(shè)(x)x3x(x>0)，則(x)x21(x1)(x1)，當(dāng)x(0,1)時(shí)，(x)>0，(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；當(dāng)x(1，)時(shí)，(x)<0，(x)在(1，)上單調(diào)遞減x1是(x)的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，x1是(x)的最大值點(diǎn)，(x)的最大值為(1).又(0)0，結(jié)合y(x)的圖象(如圖)，可知當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，當(dāng)m>時(shí)，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m或m0時(shí)，函數(shù)g(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0<m<時(shí)，函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)(3)對(duì)任意的b>a>0，<1恒成立，等價(jià)于f(b)b<f(a)a恒成立(*)設(shè)h(x)f(x)xln xx(x>0)，(*)等價(jià)于h(x)在(0，)上單調(diào)遞減由h(x)10在(0，)上恒成立，得mx2x2(x>0)恒成立，m，m的取值范圍是.題型2利用零點(diǎn)(或根)的存在情況求參數(shù)的取值范圍典例2已知函數(shù)f(x)2ln xx2ax(aR)(1)當(dāng)a2時(shí)，求f(x)的圖象在x1處的切線方程；(2)若函數(shù)g(x)f(x)axm在上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解(1)當(dāng)a2時(shí)，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)，切線的斜率kf(1)2，則切線方程為y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，則g(x)2x.x，當(dāng)g(x)0時(shí)，x1.當(dāng)<x<1時(shí)，g(x)>0；當(dāng)1<x<e時(shí)，g(x)<0.故g(x)在x1處取得極大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e2<0，則g(e)<g，g(x)在上的最小值是g(e)g(x)在上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是解得1<m2，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.三步解決方程解(或曲線公共點(diǎn))的個(gè)數(shù)問(wèn)題第一步：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與x軸(或直線yk)在該區(qū)間上的交點(diǎn)問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)性、極值(最值)、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖象；第三步：結(jié)合圖象求解考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例示法題型1利用導(dǎo)數(shù)證明不等式典例320xx·貴陽(yáng)監(jiān)測(cè)已知a為實(shí)常數(shù)，函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax1.(1)討論函數(shù)h(x)f(x)g(x)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)f(x)與g(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<x2.求實(shí)數(shù)a的取值范圍；求證：1<y1<0且ey1ey2>2.(注：e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))解(1)h(x)ln xax1，定義域?yàn)?0，)，h(x)a.當(dāng)a0時(shí)，h(x)>0，函數(shù)h(x)在(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)a>0時(shí)，在區(qū)間上，h(x)>0；在區(qū)間上，h(x)<0.h(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)(2)函數(shù)f(x)與g(x)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，其中x1<x2，等價(jià)于函數(shù)h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，且x1<x2.由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)h(x)在(0，)上是增函數(shù)，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)a>0時(shí)，h(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，此時(shí)h為函數(shù)h(x)的最大值當(dāng)h0時(shí)，h(x)最多有一個(gè)零點(diǎn)，hln >0，解得0<a<1.<<，且h11<0，h22ln a132ln a(0<a<1)令F(a)32ln a，則F(a)>0，F(xiàn)(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，F(xiàn)(a)<F(1)3e2<0，則h<0.當(dāng)0<a<1時(shí)，h(x)在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，a的取值范圍是(0,1)證明：由(1)可知函數(shù)h(x)ln xax1在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以h11<0，h(1)1a>0.故<x1<1，即1<f(x1)<0，所以1<y1<0，構(gòu)造函數(shù)G(x)hh(x)ln a(ln xax)，則G(x)2a<0，函數(shù)G(x)在區(qū)間上為減函數(shù)0<x1<，G(x1)>G0.又h(x1)0，hln a1h(x1)G(x1)>0h(x2)由(1)知x2>x1，即ey1ey2>>2，ey1ey2>2.題型2利用導(dǎo)數(shù)解決存在與恒成立問(wèn)題典例420xx·四川高考已知函數(shù)f(x)2xln xx22axa2，其中a>0.(1)設(shè)g(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，討論g(x)的單調(diào)性；(2)證明：存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解解(1)由已知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，g(x)f(x)2(x1ln xa)，所以g(x)2.當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增(2)證明：由f(x)2(x1ln xa)0，解得ax1ln x.令(x)2xln xx22x(x1ln x)(x1ln x)2(1ln x)22xln x，則(1)1>0，(e)2(2e)<0.于是，存在x0(1，e)，使得(x0)0.令a0x01ln x0u(x0)，其中u(x)x1ln x(x1)由u(x)10知，函數(shù)u(x)在區(qū)間(1，)上單調(diào)遞增，故0u(1)<a0u(x0)<u(e)e2<1，即a0(0,1)當(dāng)aa0時(shí)，有f(x0)0，f(x0)(x0)0.再由(1)知，f(x)在區(qū)間(1)上單調(diào)遞增，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，f(x)<0，從而f(x)>f(x0)0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0，從而f(x)>f(x0)0；又當(dāng)x(0,1時(shí)，f(x)(xa0)22xln x>0.故x(0，)時(shí)，f(x)0.綜上所述，存在a(0,1)，使得f(x)0恒成立，且f(x)0在區(qū)間(1，)內(nèi)有唯一解1兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題(1)分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍(2)函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值(最值)；第三步：構(gòu)建不等式求解2利用導(dǎo)數(shù)解決不等式存在性問(wèn)題的方法技巧根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為某函數(shù)在該區(qū)間上最大(小)值滿足的不等式成立問(wèn)題，進(jìn)而用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)在該區(qū)間上的最值問(wèn)題，最后構(gòu)建不等式求解3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的基本步驟(1)作差或變形(2)構(gòu)造新的函數(shù)h(x)(3)利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性或最值(4)根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題典例示法典例520xx·江蘇高考某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路記兩條相互垂直的公路為l1，l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l.如圖所示，M，N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1，l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1，l2的距離分別為20千米和2.5千米以l2，l1所在的直線分別為x，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy.假設(shè)曲線C符合函數(shù)y(其中a，b為常數(shù))模型(1)求a，b的值；(2)設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.請(qǐng)寫出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f(t)，并寫出其定義域；當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度解(1)由題意知，點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為(5,40)，(20,2.5)將其分別代入y，得解得(2)由(1)知，y(5x20), 則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，設(shè)在點(diǎn)P處的切線l交x，y軸分別于A，B點(diǎn)，y，則l的方程為y(xt)，由此得A，B.故f(t) ，t5,20設(shè)g(t)t2，則g(t)2t.令g(t)0，解得t10.當(dāng)t(5,10)時(shí)， g(t)<0，g(t)是減函數(shù)；當(dāng)t(10，20)時(shí)，g(t)>0，g(t)是增函數(shù)；從而，當(dāng)t10時(shí)，函數(shù)g(t)有極小值，也是最小值，所以g(t)min300，此時(shí)f(t)min15.故當(dāng)t10時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為15千米 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題的一般步驟(1)建模：分析實(shí)際問(wèn)題中各量之間的關(guān)系，列出實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，寫出實(shí)際問(wèn)題中變量之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)(2)求導(dǎo)：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)，解方程f(x)0.(3)求最值：比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和使f(x)0的點(diǎn)的函數(shù)值的大小，最大(小)者為最大(小)值(4)作答：回歸實(shí)際問(wèn)題作答針對(duì)訓(xùn)練某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價(jià)格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)10(x6)2，其中3<x<6，a為常數(shù)已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí)，每日可售出該商品11千克(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價(jià)格x的值，使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大解(1)因?yàn)閤5時(shí)，y11，代入y10(x6)2，所以1011，a2.(2)由(1)可知，該商品每日的銷售量y10(x6)2，所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)f(x)(x3)·210(x3)(x6)2,3<x<6.從而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)·(x6)于是，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)單調(diào)遞增極大值42單調(diào)遞減由上表可得，x4是函數(shù)f(x)在區(qū)間(3,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)所以，當(dāng)x4時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：當(dāng)銷售價(jià)格為4元/千克時(shí)，商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大 全國(guó)卷高考真題調(diào)研120xx·全國(guó)卷設(shè)函數(shù)f(x)ex(2x1)axa，其中a<1，若存在唯一的整數(shù)x0使得f(x0)<0，則a的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析由題意可知存在唯一的整數(shù)x0，使得ex0(2x01)<ax0a，設(shè)g(x)ex(2x1)，h(x)axa，由g(x)ex(2x1)可知g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，作出g(x)與h(x)的大致圖象如圖所示，故即所以a<1，故選D.220xx·全國(guó)卷已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)(ex2a)()設(shè)a0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增()設(shè)a<0，由f(x)0得x1或xln (2a)若a，則f(x)(x1)(exe)，所以f(x)在(，)上單調(diào)遞增若a>，則ln (2a)<1，故當(dāng)x(，ln (2a)(1，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(ln (2a)，1)時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在(，ln (2a)，(1，)上單調(diào)遞增，在(ln (2a)，1)上單調(diào)遞減若a<，則ln(2a)>1，故當(dāng)x(，1)(ln (2a)，)時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x(1，ln (2a)時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在(，1)，(ln (2a)，)上單調(diào)遞增，在(1，ln (2a)上單調(diào)遞減(2)()設(shè)a>0，則由(1)知，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b<0且b<ln ，則f(b)>(b2)a(b1)2a>0，所以f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)()設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，所以f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)()設(shè)a<0，若a，則由(1)知，f(x)在(1，)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x1時(shí)f(x)<0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)；若a<，則由(1)知，f(x)在(1，ln (2a)上單調(diào)遞減，在(ln (2a)，)上單調(diào)遞增，又當(dāng)x1時(shí)f(x)<0，故f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0，)其它省市高考題借鑒320xx·陜西高考如圖，某飛行器在4千米高空水平飛行，從距著陸點(diǎn)A的水平距離10千米處開始下降，已知下降飛行軌跡為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()Ayx3x Byx3xCyx3x Dyx3x答案A解析根據(jù)題意知，所求函數(shù)在(5,5)上單調(diào)遞減對(duì)于A，yx3x，yx2(x225)，x(5,5)，y<0，yx3x在(5,5)內(nèi)為減函數(shù)，同理可驗(yàn)證B、C、D均不滿足此條件，故選A.420xx·福建高考已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<x1；(3)確定實(shí)數(shù)k的所有可能取值，使得存在x0>1，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，恒有f(x)>k(x1)解(1)f(x)x1，x(0，)由f(x)>0得解得0<x<.故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)證明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)則F(x).當(dāng)x(1，)時(shí)，F(xiàn)(x)<0，所以F(x)在1，)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x>1時(shí)，F(xiàn)(x)<F(1)0，即當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<x1.(3)由(2)知，當(dāng)k1時(shí)，不存在x0>1滿足題意當(dāng)k>1時(shí)，對(duì)于x>1，有f(x)<x1<k(x1)，則f(x)<k(x1)，從而不存在x0>1滿足題意當(dāng)k<1時(shí)，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，則G(x)x1k.由G(x)0得，x2(1k)x10.解得x1<0，x2>1.當(dāng)x(1，x2)時(shí)，G(x)>0，故G(x)在1，x2)內(nèi)單調(diào)遞增從而當(dāng)x(1，x2)時(shí)，G(x)>G(1)0，即f(x)>k(x1)，綜上，k的取值范圍是(，1)520xx·山東高考已知f(x)a(xln x)，aR.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a1時(shí)，證明f(x)>f(x)對(duì)于任意的x1,2成立解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.當(dāng)a0時(shí)，x(0,1)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，x(1，)時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減當(dāng)a>0時(shí)，f(x).0<a<2時(shí)，>1，當(dāng)x(0,1)或x時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減a2時(shí)，1，在x(0，)內(nèi)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增a>2時(shí)，0<<1，當(dāng)x或x(1，)時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減綜上所述，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a2時(shí)，f(x)在(0，)內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)內(nèi)單調(diào)遞增(2)證明：由(1)知，a1時(shí)，f(x)f(x)xln xxln x1，x1,2設(shè)g(x)xln x，h(x)1，x1,2則f(x)f(x)g(x)h(x)由g(x)0，可得g(x)g(1)1，當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取得等號(hào)，又h(x).設(shè)(x)3x22x6，則(x)在x1,2上單調(diào)遞減，因?yàn)?1)1，(2)10，所以x0(1,2)，使得x(1，x0)時(shí)，(x)>0，x(x0,2)時(shí)，(x)<0.所以h(x)在(1，x0)內(nèi)單調(diào)遞增，在(x0,2)內(nèi)單調(diào)遞減由h(1)1，h(2)，可得h(x)h(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2時(shí)取得等號(hào)所以f(x)f(x)>g(1)h(2)，即f(x)>f(x)對(duì)于任意的x1,2成立一、選擇題120xx·陜西高考設(shè)f(x)xsinx，則f(x)()A既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C是有零點(diǎn)的減函數(shù)D是沒(méi)有零點(diǎn)的奇函數(shù)答案B解析f(x)xsin(x)(xsinx)f(x)，f(x)為奇函數(shù)又f(x)1cosx0，f(x)單調(diào)遞增，選B.220xx·河南洛陽(yáng)質(zhì)檢對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足0，則必有()Af(0)f(2)>2f(1) Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)<2f(1) Df(0)f(2)2f(1)答案A解析當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0，此時(shí)函數(shù)f(x)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)遞增，即當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值同時(shí)也取得最小值f(1)，所以f(0)>f(1)，f(2)>f(1)，則f(0)f(2)>2f(1)，故選A.320xx·河北石家莊模擬若不等式2xln xx2ax3對(duì)x(0，)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B(，4C(0，) D4，)答案B解析2xln xx2ax3，則a2ln xx.設(shè)h(x)2ln xx(x>0)，則h(x).當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)minh(1)4，所以ah(x)min4，故a的取值范圍是(，4420xx·河北衡水中學(xué)調(diào)研已知函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，點(diǎn)P(m，n)表示的平面區(qū)域?yàn)镈，若函數(shù)yloga(x4)(a>1)的圖象上存在區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(1,3) B(1,3C(3，) D3，)答案A解析f(x)x2mx0的兩根為x1，x2，且x1(0,1)，x2(1，)，則即作出區(qū)域D，如圖陰影部分，可得loga(14)>1，所以1<a<3.520xx·江西八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)x(ln xax)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，0) B.C(0,1) D(0，)答案B解析f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，令f(x)0，則2a，設(shè)g(x)，則g(x)，g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，又當(dāng)x0時(shí)，g(x)，當(dāng)x時(shí)，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需0<2a<10<a<.620xx·河北秦皇島二模已知函數(shù)yf(x)是R上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，有f(x)>0，則函數(shù)F(x)xf(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A0 B1C2 D3答案B解析x0時(shí)，f(x)>0，>0，即>0.當(dāng)x>0時(shí)，由式知(xf(x)>0，U(x)xf(x)在(0，)上為增函數(shù)，且U(0)0·f(0)0，U(x)xf(x)>0在(0，)上恒成立又>0，F(xiàn)(x)>0在(0，)上恒成立，F(xiàn)(x)在(0，)上無(wú)零點(diǎn)當(dāng)x<0時(shí)，(xf(x)<0，U(x)xf(x)在(，0)上為減函數(shù)，且U(0)0·f(0)0，U(x)xf(x)>0在(，0)上恒成立，F(xiàn)(x)xf(x)在(，0)上為減函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，xf(x)0，F(xiàn)(x)<0，當(dāng)x時(shí)，0，F(xiàn)(x)xf(x)>0，F(xiàn)(x)在(，0)上有唯一零點(diǎn)綜上所述，F(xiàn)(x)在(，0)(0，)上有唯一零點(diǎn)，故選B.二、填空題720xx·山西四校聯(lián)考函數(shù)f(x)若方程f(x)mx恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_答案解析在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)yf(x)的圖象，如圖，而函數(shù)ymx恒過(guò)定點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)與函數(shù)yln x的圖象相切的直線為l1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，ln x0)因?yàn)閥ln x的導(dǎo)函數(shù)y，所以圖中yln x的切線l1的斜率為k，則，解得x0，所以k.又圖中l(wèi)2的斜率為，故當(dāng)方程f(x)mx恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.820xx·河南鄭州質(zhì)檢三設(shè)函數(shù)f(x)是定義在(，0)上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且有2f(x)xf(x)>x2，則不等式(x20xx)2f(x20xx)4f(2)>0的解集為_答案(，20xx)解析由2f(x)xf(x)>x2，x<0得2xf(x)x2f(x)<x3，x2f(x)<x3<0.令F(x)x2f(x)(x<0)，則F(x)<0(x<0)，即F(x)在(，0)上是減函數(shù)，因?yàn)镕(x20xx)(x20xx)2f(x20xx)，F(xiàn)(2)4f(2)，所以不等式(x20xx)2f(x20xx)4f(2)>0即為F(x20xx)F(2)>0，即F(x20xx)>F(2)，又因?yàn)镕(x)在(，0)上是減函數(shù)，所以x20xx<2，x<20xx.9已知偶函數(shù)yf(x)對(duì)于任意的x滿足f(x)cosxf(x)sinx>0(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，則下列不等式中成立的有_(1)f<f(2)f>f(3)f(0)<f(4)f<f答案(2)(3)(4)解析因?yàn)榕己瘮?shù)yf(x)對(duì)于任意的x滿足f(x)cosxf(x)sinx>0，且f(x)cosxf(x)sinxf(x)cosxf(x)(cosx)，所以可構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x)>0，所以g(x)為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，所以有g(shù)g2f，ggf，gf.由函數(shù)單調(diào)性可知g<g<g，即f<f<2f，所以(2)(4)正確，(1)錯(cuò)對(duì)于(3)，ggf>g(0)f(0)，所以(3)正確三、解答題1020xx·珠海模擬某造船公司年最大造船量是20艘，已知造船x艘的產(chǎn)值函數(shù)為R(x)3700x45x210x3(單位：萬(wàn)元)，成本函數(shù)為C(x)460x5000(單位：萬(wàn)元)，又在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利潤(rùn)函數(shù)P(x)及邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)；(提示：利潤(rùn)產(chǎn)值成本)(2)問(wèn)年造船量安排多少艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大？(3)求邊際利潤(rùn)函數(shù)MP(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，并說(shuō)明單調(diào)遞減在本題中的實(shí)際意義是什么？解(1)P(x)R(x)C(x)10x345x23240x5000(xN*，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30x260x3275(xN*，且1x19)(2)P(x)30x290x324030(x12)(x9)，因?yàn)閤>0，所以P(x)0時(shí)，x12，當(dāng)0<x<12時(shí)，P(x)>0，當(dāng)x>12時(shí)，P(x)<0，所以x12時(shí)，P(x)有極大值，也是最大值即年造船量安排12艘時(shí)，可使公司造船的年利潤(rùn)最大(3)MP(x)30x260x327530(x1)23305.所以，當(dāng)x1時(shí)，MP(x)單調(diào)遞減，所以單調(diào)減區(qū)間為1,19，且xN*.MP(x)是減函數(shù)的實(shí)際意義是：隨著產(chǎn)量的增加，每艘利潤(rùn)與前一艘比較，利潤(rùn)在減少11已知函數(shù)f(x)xaln x1.(1)當(dāng)aR時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0對(duì)于任意x1，)恒成立，求a的取值范圍解(1)由f(x)xaln x1，得f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)，當(dāng)a<0時(shí)，當(dāng)0<x<a時(shí)，f(x)<0，當(dāng)x>a時(shí)，f(x)>0，所以f(x)在(0，a)上為減函數(shù)，f(x)在(a，)上為增函數(shù)(2)由題意知xaln x10在x1，)恒成立，設(shè)g(x)xaln x1，x1，)，則g(x)1，x1，)，設(shè)h(x)2x22ax1ln x，則h(x)4x2a，當(dāng)a0時(shí)，4x為增函數(shù)，所以h(x)a>0，所以g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0，當(dāng)a<0時(shí)，h(x)a0，所以g(x)在1，)上單調(diào)遞增，g(x)g(1)0，當(dāng)a<時(shí)，當(dāng)x時(shí)，2a1<2x，由(1)知，當(dāng)a1時(shí)，xln x10，ln xx1，ln x1，h(x)2x22axln x12x22ax2x22axx2x2(2a1)x<0，此時(shí)g(x)<0，所以g(x)在上單調(diào)遞減，在上，g(x)<g(1)0，不符合題意綜上所述a.1220xx·濟(jì)寧模擬已知函數(shù)f(x)exaxa(其中aR，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e2.71828)(1)當(dāng)ae時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；(2)當(dāng)0a1時(shí)，求證f(x)0；(3)求證：對(duì)任意正整數(shù)n，都有<e.解(1)當(dāng)ae時(shí)，f(x)exexe，f(x)exe，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0.所以函數(shù)f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在x1處取得極小值f(1)e，函數(shù)f(x)無(wú)極大值(2)證明：由f(x)exaxa，f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)ex>0恒成立，滿足條件當(dāng)0<a1時(shí)，由f(x)0，得xln a，則當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0，所以函數(shù)f(x)在(，ln a)上單調(diào)遞減，在(ln a，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)f(x)在xln a處取得極小值即為最小值f(x)minf(ln a)eln aaln aaaln a因?yàn)?<a1，所以ln a0，所以aln a0所以f(x)min0，所以當(dāng)0a1時(shí)，f(x)0；(3)證明：由(2)知，當(dāng)a1時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)exx10恒成立，即exx1，所以ln (x1)x，令x(nN*)，得ln ，所以ln ln ln 1n<1.所以<e.典題例證20xx·全國(guó)卷設(shè)函數(shù)f(x)ln xx1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)證明當(dāng)x(1，)時(shí)，1<<x；(3)設(shè)c>1，證明當(dāng)x(0,1)時(shí)，1(c1)x>cx.審題過(guò)程求出導(dǎo)函數(shù)f(x)然后確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性利用(1)的結(jié)論證明不等式；構(gòu)造新函數(shù)，通過(guò)研究新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.(1)由題設(shè)知，f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1，令f(x)0解得x1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減(2)證明：由(1)知f(x)在x1處取得最大值，最大值為f(1)0.所以當(dāng)x1時(shí)，ln x<x1.故當(dāng)x(1，)時(shí)，ln x<x1，ln <1，所以>1且x·ln x>x1，即1<<x.(3)證明：由題設(shè)c>1，設(shè)g(x)1(c1)xcx，則g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0.當(dāng)x<x0時(shí)，g(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>x0時(shí)，g(x)<0，g(x)單調(diào)遞減由(2)知1<<c，故0<x0<1.又g(0)g(1)0，故當(dāng)0<x<1時(shí)，g(x)>0.所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，1(c1)x>cx.模型歸納利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的模型示意圖如下：